江西省宜春市上高县第二高级中学校2021届高三（1）班下学期4月半月考数学（文）试题 2021-4-15 Word版含答案

上高二中高三（1）班数学（文科）半月考卷 2021-4-15
一、单选题
1．已知集合，.若，则实数的值为（ ）
A．-1或0 B．0或1 C．-1或2 D．1或2
2．设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|＝（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知命题，，则命题的真假以及命题的否定分别为（ ）
A．真，， B．真，，
C．假，，
D．假，，
4．若则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为（ ）A． B． C． D．
7．若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数满足且，，则（ ）
A．e B． C． D．
8．如图，圆过正六边形的两个顶点，记圆与正六边形的公共部分为，则往正六边形内投掷一点，该点不落在内的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知是椭圆（）上一点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．在边长为1的正中，点D在边BC上，点E是AC中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量，且向量与的夹角为_______.
14．若实数,满足不等式组，且恒有，则实数的取值范围是______．
15．已知函数，若，且的最小值为m，则__________.
16．在平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为________________.
三、解答题
17．2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：
男 女 合计
喜欢吃月饼人数(单位：万人) 50 40 90
不喜欢吃月饼人数(单位：万人) 30 20 50
合计 80 60 140
为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：
已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.
（1）试根据所给数据分析，能否有以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关？
参考公式与临界值表：，
其中：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（2）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？
18．已知向量，，函数．
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对的角为B，试求B的范围及此时函数的值域．
19．已知数列前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若=，求数列的前项和.
20．在多面体中，为菱形，，为正三角形.
（1）求证：；
（2）若平面平面，，求点到平面的距离.
21．已知.
（1）已知函数在点的切线与圆相切，求实数的值.
（2）当时，，求实数的取值范围.
22．在直角坐标系xOy上取两个定点A1（，0），A2（，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2.
（1）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；
（2）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若（λ＞1），求证：.
23．在直角坐标系中，曲线的参数方程是为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程为
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线相交于两点，，求实数的值．
24．已知a，b，c为正数，函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|.
(1)求不等式f(x)≤10的解集；
(2)若f(x)的最小值为m，且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥12.
高三（1）班数学（文科）半月考卷 2021-4-15答题卡
班级： 学号： 姓名：
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案











二、填空题（每小题5分，共20分）
13、 14、 15、 16、
三、解答题（共70分）
17.（10分）
18. （12分）
19. （12分）
20. （12分）
21.
22.
23.
24.
高三（1）班数学（文科）半月考卷 2021-4-15参考答案
1．D
【分析】
因为，，本身含有元素，0，1，2，根据元素的互异性，0，求出即可．
【详解】
解：集合，0，，，，，
因为，本身含有元素，0，1，2，所以根据元素的互异性，，0即可，
故或2，
故选：．
【点睛】
本题考查已知集合并集求含参问题，属于基础题．
2．D
【分析】
利用复数除法运算化简已知条件，根据复数相等的知识求得，由此求得，进而求得.
【详解】
由题意可知：，
∴a＝1，b＝﹣1，
∴3a+bi＝3﹣i，
∴|3a+bi|＝|3﹣i|，
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查复数除法、复数相等、复数模的求法等知识，属于基础题.
3．B
【分析】
根据命题，当时，判断出命题为真命题，根据含有一个量词的命题的否定，写出命题的否定.
【详解】
命题，，
当时，，
所以命题为真命题；
命题的否定为：，.
故选：B.
【点睛】
本题考查判断命题的真假，含有一个量词的命题的否定，属于简单题.
4．A
【分析】
根据诱导公式得，再根据二倍角的余弦公式求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦公式，属于基础题．
5．C
【分析】
模拟程序的运行即可求出答案．
【详解】
解：模拟程序的运行，可得：
p＝1，
S＝1，输出S的值为1，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，
此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，
故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查程序框图，属于基础题．
6．C
【分析】
由三视图可知,原几何体为半球体与圆柱体拼接而成,且半径为2, 高为2.进而可求表面积.
【详解】
解:将三视图还原,可知原几何体由半球体与圆柱体拼接而成
其中半球体的半径为2,圆柱体的底面半径为2,高为2.
故所求几何体的表面积
故选:C.
【点睛】
本题考查了三视图,考查了圆柱的表面积,考查了球的表面积.由三视图求几何体的表面积时,需要由三视图还原几何体.本题的难点也正是几何体的还原.本题的易错点是求表面积时,多加、少加了底面的面积.
7．A
【分析】
首先根据等差数列和等比数列的定义，可得，，即可求出；又，所以函数的最小正周期为4，由此根据题意即可求出，进而求出结果.
【详解】
因为数列为等差数列，且，所以；
又为等比数列，且，所以，所以；
又，所以，
所以函数的最小正周期为4，
又，
所以 ，即.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，同时考查了函数的周期性，属于基础题.
8．D
【分析】
不妨设,求出正六边形的面积以及的面积,结合几何概型,可求所求的概率.
【详解】
解:依题意,不妨设,故正六边形的面积
公共部分为的面积.故所求概率
故选:D.
【点睛】
本题考查了几何概型.当题目已知为平面区域,在求概率时,往往用面积之比;当已知为射线问题时,往往用角度之比;当已知为区间时,往往用长度之比;当已知为几何体时,往往用体积之比.
9．C
【分析】
根据，求出点P的轨迹是圆，再由点P在直线上，由圆心到直线的距离不大于半径求解.
【详解】
设，则，
因为，
所以，则点P的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，
又点P在直线上，
则圆心到直线的距离不大于半径，
即，
解得，
故选：C
10．A
【分析】
可依次设出三点的坐标代入表示出，计算即可求出关系式，即可求解
【详解】
由题可设，，，则
，，两式相减可得
即
，，
故选：A
【点睛】
（1）该题来自椭圆的一个小结论：
若椭圆方程为，是该椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上异于的任意一点，则为定值，为.
（2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
11．C
【分析】
设，，，则，，则由求出，即可得到.
【详解】
设，，，则，，则
故，即.
【点睛】
本题考查向量的线性运算及向量的数量积的运算，属中档题.
12．D
【分析】
利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
的定义域为，，
所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，，
所以在区间上的最大值为.
要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，
则需恒成立，且，
也即，也即当、时，成立，
即，且，解得.所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.
13．0
【分析】
根据向量数量积的定义求解即可．
【详解】
解：∵向量，且向量与的夹角为，
∴||；
所以：?（）2cos2﹣2＝0，
故答案为：0．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题．
14．．
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，再求出的最大值即得解.
【详解】
不等式组对应的可行域为图中的阴影平面区域.
由题， 表示平面区域内的点与点B连线的斜率，
当取点A时，的最大值为，
所以.
所以．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．3
【分析】
由题意，由可得，即，结合，且的最小值为m，即可求出的值．
【详解】
由可得，即，
∴，则，当且仅当，即时，取得最小值2.故.
即答案为3.
【点睛】
本题考查分段函数的运用，考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力，属中档题．
16．
【解析】
【分析】
由得，结合直二面角，可证平面，从而有，因此中点就是外接球球心．由此可求得表面积．
【详解】
由得，又平面平面，∴平面，∴，同理，取中点，则到四顶点的距离相等，即为三棱锥的外接球的球心．
，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心．利用直角三角形寻找球心是最简单的方法．三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线．
17．（1）没有（2）182.25吨
【分析】
（2）计算卡方系数再与2.706进行比较大小，即可得到答案；
（2）先求出的值，再计算喜欢吃月饼的人数所占比例为，即可得答案.
【详解】
（1）由所给条件可得
，
所以，没有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关.
（2）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：
，
则人均消费月饼的数量为：
（克）
喜欢吃月饼的人数所占比例为：，
根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：
(克)=128.25(吨).
【点睛】
本题考查独立性检验和频率分布直方图的应用，考查数据处理能力，求解时注意计算的准确性和单位的换算.
18．（1） ；（2），的值域为．
【分析】
（1）由整理可得,令,进而求解即可；
（2）由余弦定理及均值不等式可得,即可求得的范围,进而求得的值域.
【详解】
（1）
,
令,解得,
所以对称中心是；
（2）∵,,
当且仅当时等号成立,
∴,则,
∴,
∴,∴,
即的值域为,
综上所述,,的值域为
【点睛】
本题考查向量的数量积的坐标表示,考查三角函数的化简,考查利用余弦定理求角,考查正弦型函数的对称中心和值域.
19．（1） （2）
【分析】
（1）由化简得出，由等比数列的定义，得出数列为等比数列，即可写出数列通项公式；
（2）由（1）得出，利用错位相减法求数列的和即可.
【详解】
（1）由题知，即
即，，
数列是首项为3，公比为3的等比数列
，；
（2）由（1）知，
①
②
①②得，
【点睛】
本题主要考查了判断数列为等比数列以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.
20．（1）证明见解析 （2）
【分析】
（1）取的中点为，连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的性质定理即可证明；
（2）由面面垂直的性质定理得出平面，利用勾股定理，余弦定理以及三角形面积公式得出，再由等体积法得出点到平面的距离.
【详解】
（1）取的中点为，连接
为正三角形，
为菱形，，为正三角形，
，面
平面
平面
.
（2）由（1）知，
平面平面，平面平面，平面
平面
在等边和中，
在中，
在中，
，
设到平面的距离为，
，即
解得，到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查了证明线线垂直以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.
21．（1） （2）
【分析】
（1）利用导数的几何意义得出切线方程，再由圆心到切线方程的距离为1，求出实数的值；
（2）构造函数，讨论参数的值，当时，利用导数证明函数在在上是增函数，从而得出时，，；当，利用导数得出函数在是减函数，从而得出，此时不满足题意，即可得出答案.
【详解】
（1）由题知，，
在点的切线斜率为
在点的切线方程为，即
由题知，，解得.
（2）设
设，
当时，，，
即在上是增函数，
当时，，则当时，
函数在上是增函数
当时，，满足题意，即成立
当时，
在上是增函数，趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大
存在上，使
当时，，函数在是减函数
当时，，不满足题意
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求参数，利用导数研究函数的恒成立问题，属于中档题.
22．（1）1（x≠±）；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据题意先写出两直线的方程，再根据条件化简即可求得答案；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设l：x＝ty+3，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理得y1+y2且y1y2，根据题意得 x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，再代入即可证明结论．
【详解】
（1）解：依题意知直线A1N1的方程为：y（x）…①；
直线A2N2的方程为：y（x）…②
设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①、②相乘，得y2（x2﹣6）
由mn＝2整理得：1
∵N1、N2不与原点重合，可得点A1，A2不在轨迹M上，
∴轨迹C的方程为1（x≠±）；
（2）证明：设l：x＝ty+3，代入椭圆方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+3＝0.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，﹣y1），可得y1+y2且y1y2，
，可得（x1﹣3，y1）＝λ（x2﹣3，y2），∴x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，
证明，只要证明（2﹣x1，y1）＝λ（x2﹣2，y2），∴2﹣x1＝λ（x2﹣2），
只要证明，只要证明2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，
由y1+y2且y1y2，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，
∴．
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．
23．（1），（2）或或.
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.（2）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.
【详解】
（1），
故曲线的普通方程为.
，，
直线的直角坐标方程为.
（2）直线的参数方程可以写为（为参数），
设两点对应的参数分别为，
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，
可以得到，
,解得.
所以，
或，
解得或或.
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查直线的参数方程的几何意义的应用，是中档题.
24．(1) {x|－3≤x≤7} (2) 证明见解析
【分析】
（1）分段讨论的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；
（2）求出的值，根据基本不等式得出结论．
【详解】
解：（1），
等价于或或，
解得或或，
所以不等式的解集为．
（2）因为，
当且仅当即时取等号．
所以，即．
，，，
，
．
．当且仅当时等号成立．