专题强化训练(一) 解三角形
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( )
A．12 B． C．28 D．6
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )
A．
B．
C．1
D．
3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cosθ等于( )
A．
B．－
C．±
D．±
4．某人从出发点A向正东走xm后到B，向左转150°再向前走3
m到C，测得△ABC的面积为
m2，则此人这时离开出发点的距离为( )
A．3
m
B．
m
C．2
m
D．
m
5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为( )
A．
B．3
C．
D．7
二、填空题
6．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为
．
7．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于，则三边长为
．
8．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos
A＝
．
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos
A＝，sin
B＝cos
C.
(1)求tan
C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b
cos
A＝(2c－a)cos
B.
(1)求B；
(2)若b＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b
cos
C＋c
cos
B＝a
sin
A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
2．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5
B．
C．2
D．1
3．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且＝－，则B的大小为
．
4．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若D为BC的中点，·＝，则B＝________．
5．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinA
sin
B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．
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(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( )
A．12 B． C．28 D．6
D [由余弦定理得cos
A＝＝＝，所以sin
A＝，则S△ABC＝bc
sin
A＝×3×8×＝6.]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )
A．
B．
C．1
D．
D [由正弦定理可得＝＝＝.]
3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cosθ等于( )
A．
B．－
C．±
D．±
C [∵S△ABC＝AB·BC
sin
∠ABC＝×2×5×sin
θ＝4.∴sin
θ＝.又θ∈(0，π)，∴cos
θ＝±＝±.]
4．某人从出发点A向正东走xm后到B，向左转150°再向前走3
m到C，测得△ABC的面积为
m2，则此人这时离开出发点的距离为( )
A．3
m
B．
m
C．2
m
D．
m
D [在△ABC中，S＝AB×BC
sin
B，
∴＝×x×3×sin
30°，∴x＝.
由余弦定理，得
AC＝
＝＝(m).]
5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为( )
A．
B．3
C．
D．7
A [∵S△ABC＝AB·AC
sin
A＝，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC
cos
A＝4＋1－2×2×1×cos
60°＝3，即BC＝.]
二、填空题
6．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为
．
等边三角形 [由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，即ac＝a2＋c2－ac，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．]
7．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于，则三边长为
．
a＝7，b＝5，c＝3 [由题意知a边最大，sin
A＝，∴A＝120°，
∴a2＝b2＋c2－2bc
cos
A.
∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4).
∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.
∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.]
8．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos
A＝
．
[由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝
－2bc
cos
A＋2bc.
又S＝bc
sin
A，∴bc
sin
A＝2bc－2bc
cos
A.
∴4－4cos
A＝sin
A，平方得17cos2A－32cosA＋15＝0.
∴(17cos
A－15)(cos
A－1)＝0.
∴cos
A＝1(舍去)或cos
A＝.]
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos
A＝，sin
B＝cos
C.
(1)求tan
C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
[解] (1)因为0
A＝，
所以sin
A＝＝，
又cosC＝sin
B＝sin
(A＋C)
＝sin
A
cos
C＋cos
A
sin
C＝cos
C＋sin
C，
所以cos
C＝sin
C，tan
C＝.
(2)由tan
C＝得sin
C＝，cos
C＝，于是sin
B＝cos
C＝.
由a＝及正弦定理＝得c＝，所以△ABC的面积S△ABC＝ac
sin
B＝×××＝.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b
cos
A＝(2c－a)cos
B.
(1)求B；
(2)若b＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解] (1)由b
cos
A＝(2c－a)cos
B，
得2c
cos
B＝b
cos
A＋a
cos
B.
由正弦定理可得2sin
C
cos
B＝sin
B
cos
A＋sin
A
cos
B＝sin
(A＋B)＝sin
C，
因为sin
C≠0，所以cos
B＝.
因为0＜B＜π，所以B＝.
(2)因为S△ABC＝ac
sin
B＝，所以ac＝4.
又13＝a2＋c2－2ac
cos
B＝a2＋c2－ac，
所以a2＋c2＝17，
所以a＋c＝5，
故△ABC的周长为5＋.
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b
cos
C＋c
cos
B＝a
sin
A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
B [∵b
cos
C＋c
cos
B＝b·＋c·＝
＝＝a＝a
sin
A，∴sin
A＝1.
∵A∈(0，π)，∴A＝，即△ABC是直角三角形．]
2．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5
B．
C．2
D．1
B [∵S＝AB·BC
sin
B＝×1×sin
B＝，
∴sin
B＝，∴B＝或.
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.]
3．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且＝－，则B的大小为
．
π [根据余弦定理，得＝＝×＝－.
化简可得：a2＋c2－b2＝－ac，
所以cos
B＝＝－，B为△ABC的内角，所以B＝.]
4．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若D为BC的中点，·＝，则B＝________．
30° [∵D为BC的中点，∴＝(＋).
又＝－，∴·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(b2－c2)，
∴(b2－c2)＝，
∴b2＝a2＋c2－ac.
∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac
cos
B知，cos
B＝，
又0°＜B＜180°，∴B＝30°.]
5．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinA
sin
B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．
[解] (1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinA
sin
B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinA
sin
B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理得cos
C＝＝＝－，又∵0(2)由正弦定理得＝＝＝2，∴a＝2sin
A，b＝2sin
B，
则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sin
A＋sin
B)＋＝
2[sin
A＋sin(－A)]＋＝2sin
＋.
∵0∴≤1，
∴2<2sin
＋≤2＋，
∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋].
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