章末综合测评(一) 解三角形
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝( )
A．或
B．
C．
D．
4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos
B＝( )
A．±
B．
C．－
D．
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin
A∶sin
B∶sin
C等于( )
A．6∶5∶4
B．7∶5∶3
C．3∶5∶7
D．4∶5∶6
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A．
B．1＋
C．
D．2
7．已知△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
C．
D．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
cos
C＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．]
9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2
B．8
C．
D．
10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为( )
A．
B．
C．
D．
11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )
A．小时
B．1小时
C．小时
D．2小时
12．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin
C的值为( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为
．
14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin
A＝5sin
B，则角C＝
．
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于
，AC的取值范围为
．
16．在△ABC中，A满足sin
A＋cos
A＝1，AB＝2，BC＝2，则△ABC的面积为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a
sin
A
sin
B＋b
cos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos
B＝.
(1)若b＝4，求sin
A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
19．(本小题满分12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos
2C＋2cos
C＋2＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝a，△ABC的面积为sin
A
sin
B，求sin
A及c的值．
22．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin
A＋cos
A＝2.
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
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(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
A [由正弦定理得＝，
所以sin
B＝＝>1，即sin
B>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]
2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
B [设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos
θ，解得cos
θ＝，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝( )
A．或
B．
C．
D．
C [由＝，得sin
C＝.
∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.]
4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos
B＝( )
A．±
B．
C．－
D．
A [因为＝，所以＝，解得sin
B＝.
因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos
B＝±.]
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin
A∶sin
B∶sin
C等于( )
A．6∶5∶4
B．7∶5∶3
C．3∶5∶7
D．4∶5∶6
[答案] B
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A．
B．1＋
C．
D．2
B [∵S△ABC＝ac
sin
B，∴ac＝6.
又∵b2＝a2＋c2－2ac
cos
B
＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos
30°＝4b2－12－6，∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.]
7．已知△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
C．
D．
D [由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)，
∵即
∴k>.]
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
B [由已知可得＝－，
即cos
A＝，b＝c
cos
A.
法一：由余弦定理得cos
A＝，则b＝c·，
所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．
法二：由正弦定理，得sin
B＝sin
C
cos
A.
在△ABC中，sin
B＝sin
(A＋C)，
从而有sin
A
cos
C＋cos
A
sin
C
＝sin
C
cos
A，
即sin
A
cos
C＝0.在△ABC中，sin
A≠0，所以cos
C＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．]
9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )
A．2
B．8
C．
D．
C [∵＝＝＝2R＝8，
∴sin
C＝，∴S△ABC＝ab
sin
C＝＝＝.]
10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为( )
A．
B．
C．
D．
B [∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，
∵sin
α＝，∴α＝120°.
由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3，5，7，S△ABC＝×3×5×sin
120°＝.]
11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )
A．小时
B．1小时
C．小时
D．2小时
B [在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OB
cos
120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．]
12．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin
C的值为( )
A．
B．
C．
D．
D [设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.
在△ABD中，由余弦定理，得
cos
A＝
＝＝.
又∵A为△ABC的内角，
∴sin
A＝.
在△ABC中，由正弦定理得，＝.
∴sin
C＝·sin
A＝·＝.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为
．
a2＋b2
C＝，且C为钝角，
∴cos
C<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b214．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin
A＝5sin
B，则角C＝
．
[由3sin
A＝5sin
B，得3a＝5b.
又因为b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cos
C＝
＝＝－.
因为C∈(0，π)，所以C＝.]
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于
，AC的取值范围为
．
2 (，) [设A＝θ?B＝2θ.
由正弦定理得＝，
∴＝1?＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°.
又0°<180°－3θ<90°?30°<θ<60°，
故30°<θ<45°?θ<，
∴AC＝2cos
θ∈(，).]
16．在△ABC中，A满足sin
A＋cos
A＝1，AB＝2，BC＝2，则△ABC的面积为________．
[由?sin
A＋cos
A＝1，
sin2A＋cos2A＝1，?
得
∴A＝120°，
由正弦定理得＝，
∴sin
C＝.
∴C＝30°，∴B＝30°，
∴S△ABC＝AB×BC×sin
B
＝×2×2×sin
30°＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a
sin
A
sin
B＋b
cos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
[解] (1)由正弦定理得，sin2A
sinB＋sin
B
cos2A＝sinA，即sin
B(sin2A＋cos2A)＝sinA.
故sin
B＝sin
A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，
得cos
B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cosB>0，
故cos
B＝，所以B＝45°.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos
B＝.
(1)若b＝4，求sin
A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
[解] (1)∵cos
B＝>0，且0∴sin
B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin
A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝ac
sin
B＝4，
∴×2×c×＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac
cos
B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
19．(本小题满分12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
[解] (1)∵cos
A＝2cos2－1，
∴2cos2＝cosA＋1.
又2cos2＋cosA＝0，∴2cos
A＋1＝0，
∴cos
A＝－，∴A＝120°.
(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc
cos
A，
又a＝2，b＝2，cos
A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
[解]
如图所示，设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CBD中，由余弦定理得cos
β＝
＝＝－，∴sin
β＝.
而sin
α＝sin
(β－60°)＝sin
βcos
60°－sin
60°cos
β＝
×＋×＝.
在△ACD中，＝，
∴AD＝＝15(千米).
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos
2C＋2cos
C＋2＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝a，△ABC的面积为sin
A
sin
B，求sin
A及c的值．
[解] (1)∵cos
2C＋2cos
C＋2＝0，
∴2cos2C＋2cosC＋1＝0，
即(cos
C＋1)2＝0，∴cos
C＝－.
又C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2ab
cos
C＝3a2＋2a2＝5a2，
∴c＝a，即sin
C＝sin
A，
∴sin
A＝sin
C＝.
∵S△ABC＝ab
sin
C，
且S△ABC＝sin
A
sin
B，
∴ab
sin
C＝sin
A
sin
B，
∴sin
C＝，由正弦定理得
sin
C＝，解得c＝1.
22．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin
A＋cos
A＝2.
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
[解] (1)依题意得2sin
＝2，
即sin
＝1，
∵0(2)参考方案：选择①②.
由正弦定理＝，得b＝＝2.
∵A＋B＋C＝π，∴sin
C＝sin
(A＋B)＝sin
A
cos
B＋
cos
A
sin
B＝，
∴S△ABC＝ab
sin
C＝×2×2×＝＋1.
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