福建省福州市平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期4月数学补习练（7）试题 Word版含答案

平潭县新世纪学校2020-2021学年高一4月数学补习练（7）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知复数z＝(2＋i)m2－false－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是(1)虚数，(2)纯虚数．
47910757905752．如图是一个以false为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为△ABC，已知false，false，false，false，false，求：
（1）该几何体的体积；（2）截面△ABC的面积.
3．已知单位向量false，false，且false，求：
（1）向量false，false的夹角；（2）false；（3）若向量false与向量false垂直，求实数k的值.
42525959505954．如图所示，在false中，点false为false边的中点，点false为false上靠近点false的三等分点，线段false与false交于点false .（1）设false，求false的值；（2）若false，false，false，求false .
5．已知在锐角false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，false的面积为false，若false，false.（1）求false；（2）若___________，求false的面积false的大小.
(在①false，②false，这两个条件中任选一个，补充在横线上)
6．某市规划一个平面示意图为如图的五边形false的一条自行车赛道，false，false，false，false，false为赛道（不考虑宽度），false，false为赛道内的两条服务通道，false，false，false，false．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道false的长度；①false；②false．
（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道false最长（即false最大）．
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7．在①false，②false，③false这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
问题：在false中，角false、false、false对应的边分别为false、false、false，若false，___________，求角false的值和false的最小值.
参考答案
1．(1) m≠2且m≠1；(2)false或false.
【解析】
试题分析：根据复数的有关概念以及复数的几何意义，建立条件关系式，即可得到结论．
试题解析：
题由于m∈R，复数z可表示为
z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
(1)当m2－3m＋2≠0，
即m≠2且m≠1时，z为虚数．
(2)当，即m＝－时，z为纯虚数．
所以当或时，z1，z2互为共轭复数．
2．（Ⅰ）6；（Ⅱ）false.
【解析】
分析：（Ⅰ）过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由题意可知B2C⊥平面ABB2A2，据此可得V＝false+false＝6 ，
（Ⅱ）在△ABC中，由题意可得false，据此可得false.
详解：（Ⅰ）过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.
由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，
则该几何体的体积V＝false
＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6 ，
（Ⅱ）在△ABC中，AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝2.
则S△ABC＝×2×＝
点睛：一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.
3．（1）false；（2）false；（3）false.
【分析】
（1）给false两边平方化简，求出false，然后利用向量的夹角公式求解即可；
（2）给false平方化简，再开方可得结果；
（3）由向量false与向量false垂直，得false，化简后可求出k的值.
【详解】
解：（1）设向量false的夹角为false；由已知得，false；
false；
false；
false；
false；false.
（2）false
false；
false
（3）false向量false与向量false垂直，
false.
false，
解得false.
【点睛】
此题考查向量的夹角、向量的模、两向量垂直的关系等知识，考查了计算能力，属于基础题.
4．（1）false
（2）false
【分析】
（1）过点false作false，交false于点false，根据false是false的中位线，得到false，再由false，由比例性质得到false，从而得到false，然后再利用平面向量的基本定理求解.
（2）根据（1）得到false，从而false，然后利用向量的数量积运算求解.
【详解】
（1）如图所示：
过点false作false，交false于点false，
则false是false的中位线，所以false.
又因为false，
所以false，所以false，
所以false.
所以false
false
false
所以false，
所以false.
（2）由（1）可知，false，
所以false.
所以false，
false.
所以false.
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5．（1）false；（2）条件选择见解析；false.
【分析】
（1）利用三角形面积公式由false，得到false，再利用余弦定理求解；
（2）若选①，由false，易得false，再结合（1）利用正弦定理求得a，再利用三角形面积公式求解；若选②，由false，利用余弦定理得易得false，再利用三角形面积公式求解.
【详解】
（1）因为false，
所以false，即false，
所以false，故false，
因为false，
所以false.
（2）若选①，因为false，
所以false，
所以false.
因为false，
所以false.
由正弦定理false，得false，
所以false.
所以false.
若选②，因为false，
由余弦定理得false，
解得false.
false.
【点睛】
方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．
6．（1）选择见解析，10；（2）设计为false时，折线段赛道false最长.
【分析】
（1）选①时，先利用正弦定理求出false再利用勾股定理求解；选②时，先利用正弦定理求出false再利用余弦定理求解；
（2）利用余弦定理得到false，再利用基本不等式求出false的最大值即得解.
【详解】
（1）选①时，在false中，由正弦定理得：false
所以false
因为false，所以false，
所以false
选②时，在false中，由正弦定理得：false
所以false
在false中，由余弦定理得：false
所以false，所以false.
（2）在false中，false，false．
由余弦定理得：false，
即false
故false，
从而false
即false，当且仅当false时，等号成立，
即设计为false时，折线段赛道false最长.
【点睛】
方法点睛：最值范围问题常用的解法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择条件求解.
7．条件选择见解析；false，false最小值为false.
【分析】
选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出false，结合false可求得false，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得false的最小值；
选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出false的值，结合false可求得false，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得false的最小值；
选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得false，结合false可求得false，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得false的最小值.
【详解】
解：若选择①：在false中，有false，
则由题可得：false，
false，
false，false，
又false，所以false，则false.
又false，所以false，
因为false，所以false，false.
由余弦定理可得：
falsefalsefalsefalse，
false，又false，
所以，当false时，false，即false的最小值为false；
若选择②：在false中，有false，
则由题可得false，
解得false或false（舍去），
又false，所以false.（剩下同①）
若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为false，
false，
代入上式得false，
又false，所以false，false.
又false，所以false.（剩下同①）
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有false、false、false的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.