专题复习：轴对称性质的应用

北京师范大学出版社·七年级数学（下册）
《专题复习：轴对称性质的应用》教学设计
学情分析
已知学习了轴对称的性质，并且通过七年级上册的学习已经知道了“两点之间，线段最短”的基本事实；对转化思想有初步了解.
内容解析
内容：专题复习：轴对称性质的应用.
内容解析：轴对称现象是按照从简单到复杂、从特殊到一般的顺序展开讨论的，其性质在生活中有广泛的应用. 本节课在学习了整章知识的基础上对轴对称性质在最短距离问题中的应用进行研究. 主要研究思路是从将军饮马的故事开始，通过构造对称点将折线问题转化成直线问题，体现知识之间的内在联系. 在具体研究过程中，以作一次对称和作两次对称为例，引导学生通过自学、议论、引导等学习方法更加系统地认识轴对称现象及性质的应用，体现类比、转化等数学思想.
教学重点：应用轴对称性质构造对称点，将折线问题转化为直线问题；
教学难点：一次对称向两次对称的过渡；有条理地表述作图过程.
教学目标
理解轴对称的性质，能根据“两点之间，线段最短”将折线问题转化为直线问题；
经历由两点同侧问题向两点异侧问题的转化，
通过将军饮马的故事问题感受轴对称现象与实际生活的必然联系，发展数学应用意识与数学应用能力.
教学条件支持分析
为了方便画图，学生需准备答题纸. 同时教师使用希沃白板及授课助手的课堂交互性，有力地保证学生作图活动以及成果展示的实时开展，为课堂提供信息技术支持.
教学过程
教学环节 教学过程 师生活动

温
故
知
新
1.小蚂蚁从点A出发，欲到点B处觅食，试问怎样爬行时路程最短？
A B
2.如图，A,B两点位于直线l的两侧，你能在直线l上找一点P，使得点P到A、B两点距离之和最短吗？

教师先点明本节课主旨：应用轴对称性质解决相关实际问题，然后呈现蚂蚁觅食问题和直线异侧两点的距离问题，学生自主思考后回答，感受“两点之间，线段最短”的实际应用背景.

情
境
引
入
“将军饮马”故事
（1）建模、解决方案
① 如何用数学图形表示这个问题？
② 怎样找到符合题意的点P？
（2）为什么点P能使得PA+PB最小呢？你能说明理由吗？

此环节为本节课的重点所在. 教师通过将军饮马的故事创设情境，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面启迪学生的求知欲，并经历完整的思维探索过程：
建立数学模型；
寻找解决问题的方案；
说明方案的可行性.
在说理环节，教师充分挖掘“自学·议论·引导”学法三结合的教学功能，在鼓励学生自主思考的基础上引导讨论，将点P的合理性最终归结为三角形三边关系问题，突破本节课的重点及难点.

新
知
探
究
新
知
探
究 探究一次对称问题
例1. 如图，M，N为△ABC边AB，AC上的两个定点，请在BC边上找一点P，使得△PMN周长最小.
练习1. 如图，点E为等边△ABC中AC边上一点，AD⊥BC，且EC=3，P为AD上的一个动点. 说明点P在何处时，△PEC的周长最小.
探讨二次对称问题
例2. 已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM，ON上确定点B和点C ，使得△ABC的周长最小.
由于点M和点N的位置已经确定，所以本题只需找到点P，使得PM+PN最小即可.
教师将学习的机会充分留给学生，引导学生先进行自主探究，并将想法在黑板上进行展示，然后教师再加以深度剖析：去掉AB和AC后，例题即与将军饮马问题完全一致！从而发展学生数学思维的深刻性与灵活性.
教师引导学生认真分析题目，充分挖掘题中已知条件，然后尝试找出符合题意的点P. 在此过程中感受等边三角形的轴对称特点，并深刻感受三线合一性质的重要性.共两种解题方法，其中一种由学生上台在希沃白板5上直接操作画图，另外一中方法由学生口述完成. 两种教学方式相辅相成，最大程度发挥学生学习的主体性.
通过例1和练习1，学生初步掌握作一次对称的经验，教师循循善诱，总结“折线拉直”的方法. 在此基础上讲解例2，教师引导学生类比发现例1与例2之间的相同点和不同点，获得解决例2的思路：作两次对称！
教师板书示范作图，规范学生的几何作图顺序，并逐步发展学生有条理的表述的能力.

拓
展
提
升 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人要从马厩牵出马，先到草地某处牧马，再到河边饮水后回帐篷,请帮他确定最短路线.
在例2的基础上，本题的解答水到渠成. 然而相比前面的问题，此处综合了“折线拉直”和作两次对称的核心思想，并对学生的口头表述能力有了更高的要求. 所以在此环节学生展开小组讨论，合作解决问题. 教师关注学生的思维发展过程，并鼓励他们积极讨论、发言，勇敢地表达自己，进一步发展学生的合作意识和数学思维，并促进其人格的提升.
课
堂
小
结
本节课你学到了哪些知识和思想方法？与同伴交流你的收获. 教师鼓励学生总结本节课收获的知识与思想方法，系统梳理知识脉络，深化所学内容，加深对知识的理解与掌握.

课
后
作
业 类比本节课所学尝试在直线l上找一点P，使得PB与PA的差最大.
（1） （2）

学生课后独立完成作业.
及时巩固，提升学习效果.
板书设计： 轴对称性质的应用
折线问题 直线问题