2020-2021学年北师大版七年级下册第四章 三角形 章末整合提升考点分析（word版无答案）

第4章《三角形》章末整合提升
考点一：三角形的三边关系
三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的重要依据，它的主要应用：（1）判断三条线段能否组成三角形（2）已知两边长求第三边长的取值范围。
例题1：三角形的两边长分别为4cm和8cm
（1）若它的周长是一个奇数，则这样的三角形的周长有几种不同的情况？
（2）若它的周长是大于20的一个偶数，则这样的三角形的周长又有几种不同的情况？并求出此时三角形的周长。
分析：（1）设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系，求出x的取值范围，再根据三角形的周长为奇数，而另两边的和为偶数，得出x一定是奇数，从而求出x的值即得出答案；
（2）根据周长是偶数，得出x
一定是偶数，求出符合三边关系的x的值，再根据它的周长是一个大于20
的偶数，从而得出答案，求出此时三角形的周长，
解：（1）设第三边长为xcm，则x大于8-4且小于8+4，即x大于4小于12
因为周长为奇数，而4+8=12为偶数，所以x一定为奇数，所以x=5，7，9，11，
所以这样的三角形的周长有4种不同的情况
（2）因为周长是偶数，而4+8=12是偶数，所以x一定是偶数，所以x=6，8，10，
因为它的周长是一个大于20的偶数，所以x=10，所以这样的三角形周长只有1种情况
此时三角形的周长为4+8+10=22cm
考点二：三角形的内角和定理
在三角形中求一个内角的度数时，一般要用到三角形内角和定理，并经常综合角平分线，平行线及垂直的知识一起考。
例题2:如图，BE为△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB与点D，∠1=25°，
∠A=45°EF垂直BC于点F，求∠2的度数。
分析：求∠2的关键是求∠C，而在先求∠ABC,因为∠1已知，利用平行线的性质和角平分线的概念求出∠ABC即可解决问题。
解：因为DE∥BC，所以∠EBC=∠1=25°,
因为BE为△ABC的角平分线，
所以∠ABC=2∠EBC=50°,
所以∠C=180°-∠A-∠ABC=85°
因为EF垂直BC，所以∠C+∠2=90°
所以∠2=90°-∠C=90°-85°=5°
考点三：三角形三条重要线段的应用
三角形的高、中线和角平分线在三角形问题中应用广泛，主要应用：（1）依据三角形的高可求三角形面积，（2）三角形的中线把三角形的面积氛围相等的两部分（3）三角形的角平分线通常结合三角形的内角和进行有关角度的计算。
例题3:如图，已知在△ABC中，，CD为高，且CD，CE三等分．
（1）求的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且．
分析：（1）求∠B关键在于求∠DCB，由∠CDB=90°，
∠CDB-∠DCB=∠B，利用三等分角可以求出∠DCB即可解决问题，
（2）由（1）∠B的度数，可知∠A=60°，利用CE是AB边上的中线，和角三等分线知∠ACE=60°，所以△ACE是等边三角形，就可以知道CE=AE,而E是AB
的中点，从而得出答案
解:(1)因为，CD，CE三等分，所以∠DCB=60°，而CD垂直AB，所以∠CDB=90°，而∠CDB-∠DCB=∠B，所以∠B=30°
（2）由（1）可知∠B是30度，∠A=60°，CD，CE三等分，所以∠DCB=60°，所以△ACE是等边三角形，所以CE=AE，又E是AB
的中点，所以
考点四：全等三角形的判定和性质
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等，这是说明线段（或角）相等的常用方法，应用全等三角形的性质的关键就是找准对应元素。
（2）判定两个三角形全等的方法主要有：SSS,SAS,ASA,AAS,HL五种方法，注意要说明两个三角形全等，至少需要三个条件，三个条件中还必须有边的条件。
例题3:已知：如图5—132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．
证明：∵
△ACM和△BCN都是正三角形，
∴
∠ACM＝∠BCN＝60°，AC＝CM，BC＝CN．
∵
点C在线段AB上，
∴
∠ACM＝∠BCN＝∠MCN＝60°．
∴
∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN＝120°．
即
∠NCA＝∠BCM＝120°．
在△ACN和△MCB中
∴
△ACN≌△MCB（SAS）．
∴
∠ANC＝∠MBC．
在△PCN和△QCB中
∴
△PCN≌△QCB（AAS）．
∴
PC＝QC．
∵
∠PCQ＝60°
∴
△PCQ是等边三角形．
∴
∠PQC＝60°
∴
∠PQC＝∠QCB．
∴
PQ∥AB．
考点五：尺规作三角形
尺规作图就是利用圆规和无刻度的直尺进行画图，依据三角形全等的条件——SSS,ASA,SAS,我们可以用尺规作三角形，在作图时，要熟练掌握使用尺规作图的一些基本操作依据，并保留作图痕迹以及写出结论。
例题5:已知一直角边和这条直角边的对角，求作直角三角形(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．
已知：线段a和∠α如下图（1）．
求作Rt△ABC使．
作法：（1）作∠α的余角∠β．
（2）作∠MBN＝∠β．
（3）在射线BM上截取BC＝a．
（4）过点C作CA⊥BM，交BN于点A，如图（2）．
∴
△ABC就是所求的直角三角形．
考点六：利用三角形全等测距离的实际应用
在现实生活中，会遇到许多测量问题，利用三角形全等测距离是很重要的方法，测距离的关键是怎样把实际问题转化为数学问题，从实际问题中抽象概括出基本几何图形，并充分利用所学知识构造全等三角形，利用全等三角形的性质得出未知和已知之间的关系，将不易解决的问题转化为较易解决的问题。
例题6:如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)试说明:△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
解:(1)因为BF=CE,
所以BF+FC=FC+CE,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,因为
所以△ABC≌△DEF(SSS).
(2)结论:AB∥DE,AC∥DF.
理由:因为△ABC≌△DEF,
所以∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
所以AB∥DE,AC∥DF.
课后练习题
1.如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE,还可以添加的一个条件是(　　)
A.
AD=FB
B.DE=BD
C.BF=DB
D.以上都不对
2.如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时,下面的4个条件中:
①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE,可利用的是(　　)
A.①或②
B.②或③
C.①或③
D.①或④
3．在△ABC和△EMN中，已知∠A=50°，∠B=60°，∠E=70°，∠M=60°，AC=EN，则这两个三角形（　　）
A．一定全等
B．一定不全等
C．不一定全等
D．以上都不对
4．如图，∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，添加下列条件后仍不能使△ABD≌△CAE的条件是（　　）
A．AD=AE
B．AB=AC
C．BD=AE
D．AD=CE
5．如图，AC平分∠BAD，∠B=∠D，AB=8cm，则AD=（　　）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．4cm
2、解答
6．已知，如图，△ABC中，AB=AC，动点D、E、F在AB、BC、AC上移动，移动过程中始终保持BD=CE，∠DEF=∠B，请你分析是否存在始终与△BDE全等的三角形，并说明理由。
7．如图，AB=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=∠E，求证：AE=AC。
8.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B,D,E三点共线.试说明:∠3=∠1+∠2.
9.如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,若CE=BF,AE=EF+BF.试判断AC与BC的位置关系,并说明理由.
E
D
C
B
A