8.6空间直线、平面的垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专题训练（Word含答案解析）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【8.6空间直线、平面的垂直专题训练】
【基础巩固】
1.设 l ， m 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，（??? ）
A.?若 l⊥m ， m//α ，则 l⊥α??????????????????????????????B.?若 l//β ， α⊥β ，则 l⊥α
C.?若 l⊥m ， m⊥β ， α⊥β ，则 l⊥α????????????D.?若 l⊥β ， m⊥β ， m⊥α ，则 l⊥α
2.已知空间中l，m，n是三条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（??? ）
A.?若 m//α ， n//α ，则 m//n???????????????????????????B.?若 m//α ， m//β ，则 α//β
C.?若 m⊥α ， m⊥β ，则 α//β?????????????????????????D.?若 l⊥m ， l⊥n ，则 m//n
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中有记载将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图四面体 ABCD 为鳖臑，其中 AB⊥ 平面 BCD ， ∠BCD=90° ， AB=3BC ，球 O 为该四面体的内切球，当过 CD 边的平面也过球心 O 时，记该平面与平面 BCD 所成角为 θ ，则 θ 角满足（???? ）
A.?cosθ=325???????????????????????????B.?sinθ=24???????????????????????????C.?θ=π6???????????????????????????D.?θ=π4
4.设 l 是直线， α ， β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（??? ）
A.?若 l//α ， l//β ，则 α//β
B.?若 l//α ， l⊥β ，则 α⊥β
C.?若 α⊥β ， l⊥α ，则 l//β
D.?若 α⊥β ， l//α ，则 l⊥β
5.已知直线 m? 平面 α ，则直线 l⊥ 平面 α 是直线 l⊥m 的（??? ）
A.?充要条件?????????????B.?充分不必要条件?????????????C.?必要不充分条件?????????????D.?既不充分又不必要条件
6.类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（??? ）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?①④
7.设 l,m 是两条不同的直线， α 是一个平面，则下列说法正确的是（??? ）
A.?若 l⊥m,m?α ，则 l⊥α????????????????????????????????B.?若 l⊥α,l⊥m ，则 m//α
C.?若 l⊥α,l//m ，则 m⊥α??????????????????????????????????D.?若 l//α,m//α ，则 l//m
8.已知直线 l? 平面 α ，直线 m? 平面 α ，下面四个结论：①若 l⊥α ，则 l⊥m ；②若 l//α ，则 l//m ；③若 l⊥m ，则 l⊥α ；④若 l//m ，则 l//α .其中正确的结论是（??? ）
A.?①②④????????????????????????????????????B.?③④????????????????????????????????????C.?②③????????????????????????????????????D.?①④
9.已知直线 l? 平面 α ，则“直线 m⊥ 平面 α ”是“ m⊥l ”的（??? ）
A.?充分不必要条件???????????B.?必要不充分条件???????????C.?充分必要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
10.已知平面 α ， β ，直线l，m，且有 l⊥α ， m?β ，给出下列命题：①若 α//β ，则 l⊥m ；②若 l//m ，则 α⊥β ；③若 α⊥β ，则 l//m ；④若 l⊥m ，则 α//β .其中正确命题的个数是（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【培优提升】
11.设平面 α 与向量 a=(?1,2,?4) 垂直，平面 β 与向量 b=(2,3,1) 垂直，则平面 α 与 β 的位置关系是________．
12.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=1，AC= 2 。三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为________；若点M，N分别是△ABC与△PAC的重心，直线MN与球O的表面相交于D，E两点，则线段DE的长度为________。
13.如图，在四棱锥 P?ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD⊥ 底面 ABCD ， M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC ，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为________．（填序号）
14.鳖臑（biē nào）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥 A?BCD 是一个鳖臑，其中 AB⊥BC ， AB⊥BD ， BC⊥CD ，且 AB=BC=DC=4 ，过点B向AC引垂线，垂足为E，过E作CD的平行线，交AD于点F，连接BF．设三棱锥 A?BCD 的外接球的表面积为 S1 ，三棱锥 A?BEF 的外接球的表面积为 S2 ，则 S1S2= ________．
15.如图，已知在三棱锥 P?ABC 中， △ABC 是边长为2的正三角形， △PAC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，若直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 π6 ．
（Ⅰ）若 PB>PC ，求证：平面 PAC⊥ 平面 ABC ；
（Ⅱ）若 PB16.在三棱柱 ABC?A1B1C1 中， AB=AC=1 ， AA1=3 ， AB⊥AC ， B1C⊥ 平面 ABC ， E 是 B1C 的中点.
（1）求证：平面 AB1C⊥ 平面 ABB1A1 ；
（2）求直线 AE 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值.
17.如图，四棱锥 P-ABCD 中，△ PAD 为正三角形， AB//CD ， AD=DC=12AB=2 ， BC=23 ， PC=3 .
（1）求证： AD⊥PC ；
（2）求 AB 与平面 PAD 所成角的正弦值.
18.如图所示，在直角 △ABC 中， ∠ABC=90° ， ∠ACB=30° ， BC=6 ， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 BD 的中点.连结 AE 并延长交 BC 于点 F ，将 △ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD⊥ 平面 BCD .
（1）求证： EF⊥AD ；
（2）若 M 是线段 AC 的中点，求二面角 C?DF?M 的余弦值；
（3）点 P 在线段 AC 上，且满足 EP// 平面 DFM .求 APAC 的值.
【参考答案】
1.【答案】 D
2.【答案】 C
3.【答案】 C
4.【答案】 B
5.【答案】 B
6.【答案】 B
7.【答案】 C
8.【答案】 D
9.【答案】 A
10.【答案】 B
11.【答案】 垂直
12.【答案】 32；266
13.【答案】 ①
14.【答案】 125
15.【答案】 解：（Ⅰ）取 AC 中点M，连接PM，BM，
∵BC=BA,PA=PC ， ∴BM⊥AC,PM⊥AC ，
∵PM∩BM=M ， ∴AC⊥ 平面 PMB ，
∵ AC? 平面 ABC ， ∴ 平面 ABC⊥ 平面 PMB ，
∴P 在平面 ABC 的投影在直线 BM 上，则 ∠PBM 即为直线 PB 与平面 ABC 所成的角，
∴∠PBM=π6 ， ∵PM=12AC=1,BM=3 ,
由余弦定理可得 cosπ6=(3)2+PB2?1223?PB ，解得 PB=1 或2，
∵PB>PC ， PC=2 ， ∴PB=2 ，
则满足 PM2+BM2=PB2 ， ∴PM⊥BM ，
∵PM⊥AC,AC∩BM=M ， ∴PM⊥ 平面 ABC ，
∵PM? 平面 PAC ， ∴ 平面 PAC⊥ 平面 ABC ；
（Ⅱ）若 PB取 BM 中点 O ，连接 PO ，
∵PM=1 ， ∴PO⊥BM ，
由（Ⅰ） AC⊥ 平面 PMB ， AC? 平面 ABC ，
∴ 平面 ABC ⊥ 平面 PMB ， ∵ 平面 ABC ∩ 平面 PMB=BM ，
∴PO⊥ 平面 ABC ，且 PO=12?(32)2=12 ，
设点B到平面PAC的距离为 d ，
则由 VP?ABC=VB?PAC 可得 13S△ABC?PO=13S△PAC?d ，
即 13×12×2×3×12=13×12×2×1×d ，解得 d=32 ，
设直线 AB 与平面 PAC 所成角为 θ ，则 sinθ=dAB=34
16.【答案】 （1）证明：由 B1C⊥ 平面 ABC ， AB? 平面 ABC ，得 AB⊥B1C ，
又 AB⊥AC ， CB1∩AC=C ，故 AB⊥ 平面 AB1C ，
AB? 平面 ABB1A1 ，故平面 ABB1A1⊥ 平面 AB1C
（2）解：以 C 为原点， CA 为 x 轴， CB1 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 C(0,0,0) ， A(1,0,0) ， B(1,1,0)
又 BC=2 ， BB1=AA1=3 ，
故 CB1=1 ， B1(0,0,1) ， E(0,0,12) ， CA=(1,0,0)
AA1=BB1=(?1,?1,1) ， AE=(?1,0,12)
设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，则
{n?CA=0n?AA1=0 ，即 {x=0?x?y+z=0 ，令 y=1 ，则 z=1 ， n=(0,1,1) ，
设直线 AE 与平面 AA1C1C 所成的角为 θ ，
故 sinθ=|n?AE|n||AE||=122×1+14=1010 ，
即直线 AE 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为 1010
17.【答案】 （1）证明：取 AD 中点 O ，连结 OP,?OC,?AC .因为 AD=DC=12AB=2 ， BC=23 ，
由平几及解三角形知识得 cos∠BAC=42+AC2?(23)22×4×AC=cos∠ACD=AC2+22?222×2×AC ，解得 AC=2 ，所以 ∠ADC=60° ，
因此△ ADC 为正三角形，故 AD⊥OC ，又因为△ PAD 也是正三角形，因此 AD⊥OP ，又 OC∩OP=O ，所以 AD⊥ 平面 POC ，而 PC? 平面 POC ，所以 AD⊥PC
（2）解：方法一：
因为 AB//CD ，所以 AB 与平面 PAD 所成角即 CD 与平面 PAD 所成角，记作 θ .
由（1）得 AD⊥ 平面 POC ，又 AD? 平面 PAD ，所以平面 PAD⊥ 平面 POC ，
平面 PAD∩ 平面 POC=PO ，故过点 C 作 CH⊥ 平面 PAD ，则垂足 H 必在直线 PO 上，
此时 θ=∠CDH ，在正△ PAD 中， PO=32AD=3 ，而 OC=3 ， PC=3 ，
所以在△ POC 中，由余弦定理可得 ∠POC=120° ，所以 CH=OC?sin60°=32 ，又 CD=2 ，
所以 sinθ=sin∠CDH=CHCD=34 ，所以 AB 与平面 PAD 所成角的正弦值为 34 .
方法二：
由（1）知 AD⊥ 平面 POC ，又 AD? 平面 ABCD ，所以平面 POC⊥ 平面 ABCD ，
平面 POC∩ 平面 ABCD=OC .故过点 O 作直线 Oz⊥OC ，则 Oz⊥ 平面 ABCD ，
又 AD⊥CO ，故可如图建立空间直角坐标系.又 OD=1 ， OC=3 ， OP=3 ， ∠POC=120° ，可求得各点坐标： O(0,?0,?0) ， D(1,?0,?0) ， C(0,?3,?0) ， P(0,??32,?32) ，
设平面 PAD 的一个法向量为 n=(x,?y,?z) ，则 {n?OD=0n?OP=0 ，即 {(x,?y,?z)?(1,?0,?0)=0(x,?y,?z)?(0,??32,?32)=0 ，
故 {x=0??32y+32z=0 ，令 z=1 ，故 n=(0,?3,?1) ，又 CD=(1,??3,?0) ，
记 CD 与平面 PAD 所成角为 θ ，则 sinθ=|cos?n,?CD?|=|n?CD||n|?|CD|=|?3|2×2=34 .
又因为 AB//CD ，故 AB 与平面 PAD 所成角的正弦值为 34 .
18.【答案】 （1）证明：由条件可知 AB=12AC=AD ，
而 E 为等边 △ABD 底边 BD 的中点，
∴ AE⊥BD ， EF⊥BD
又平面 ABD⊥ 平面 BCD ，平面 ABD∩ 平面 BCD=BD ，
且 EF? 平面 BCD ，
∴ EF⊥ 平面 ABD ，
又因为 AD? 平面 ABD ，∴ EF⊥AD .
（2）解：由（1）可知， EB ， EF ， EA ，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，
则： E(0,0,0) ， A(0,0,3) ， F(0,1,0) ，
D(?3,0,0) ， C(?23,3,0) ， M(?3,32,32) ，
∵ AE⊥ 平面 CFD ， EA=(0,0,3) 是平面 CFD 的一个法向量.
设平面 MDF 的法向量为 n=(a,b,c) ，
则 {n?DM=32y+32z=0n?DF=3x+y=0, 取 n=(1,?3,3) .
则 cos?EA,n?=EA?n|EA|?|n|=333?1+3+3=217 .
所以二面角 C?DF?M 的余弦值 217
（3）解：设 AP=λAC(0<λ<1) ，则 AP=λAC=λ(?23,3,?3) ，
∴ EP=EA+AP=(0,0,3)+λ(?23,3,?3)=(?23λ,3λ,3?3λ)
∵ EP// 平面 MDF ，∴ EP⊥n ，
∴ EP?n=(?23λ,3λ,3?3λ)?(1,?3,3)
=?23λ?33λ?33λ+33=0 ，
解得 λ=38
即 APAC=38