6.2平面向量的运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（Word含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【6.2平面向量的运算】
【学习目标】熟练掌握平面向量的运算方法
【难点突破】
知识点1：向量的加法运算
1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
2.向量加法的方法：向量加法的三角法则
已知非零向量false，false在平面内任取一点A，做false=false，false=false，则向量false叫做false与false的和，记作false，即false,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则
三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点
平行四边形法则
以同一O为起点的两个已知向量false，false，以false，false为邻边做falseOACB，则以O为起点的向量false，（OC是falseOACB的对角线）就是向量false与false的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
规定：对于零向量与任意向量false，我们规定false+false=false+false=false
知识点2：向量的减法运算
定义：向量false加上false的相反向量，叫做false与false的差，即false，求两个向量差的运算叫做向量的减法.
相反向量：我们规定，与向量false,长度相等，方向相反的向量，叫做false的相反向量，记作﹣false
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此false和﹣false互为相反量，于是-（-false）=false.
由两个向量和的定义易知false
即任意向量与其相反向量的和是零向量
几何意义：已知向量false，false，在平面内任取一点O，作false，false，则false，即false可以表示为从false的终点指向向量false的终点的向量
知识点3向量数乘的定义
一般地，我们规定实数false与向量false的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作falsefalse，它的长度与方向规定
如下；falsefalse
false当false>0时，falsefalse的方向与false的方向相同；当false<0时，falsefalse的方向与false的方向相反.
由false可知，当false=0时，falsefalse=0
由falsefalse可知，false
向量数乘的运算律
根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.
设false，false为实数，那么falsefalse
falsefalse
falsefalse
特别的，我们有
false
false
向量的加、减数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量false，false以任意实数false，false，false，恒有
false
【例题分析】
7.在 △ABC 中，点D是线段 BC (不包括端点)上的动点，若 AB=xAC+yAD ，则（??? ）
A.?x>1?????????????????????????????????B.?y>1?????????????????????????????????C.?x+y>1?????????????????????????????????D.?xy>1
【答案】 B
【解析】设 BD=λBC(0<λ<1) ，所以 AD?AB=λAC?λAB ，
所以 (1?λ)AB=AD?λAC ，所以 AB=11?λAD?λ1?λAC ，
所以 x=?λ1?λ,y=11?λ ，所以 x=?λ1?λ<0 ， y=11?λ=1?λ+λ1?λ=1+λ1?λ>1 ，
又 x+y=1?λ1?λ=1 ， xy=?λ(1?λ)2<0 ，
故答案为：B.
8.如图，在边长1为正方形 ABCD 中， M ， N 分别是 BC ， CD 的中点，则 AM?AC= ________，若 AC=λAM+μBN ，则 λ+μ= ________.
【答案】 32；85
【解析】设向量 AB=a,AD=b ，则 |a|=|b|=1,a?b=0 ，
可得 AM?AC=(a+12b)?(a+b)=a2+32a?b+12b2=1+0+12=32 ，
λAM+μBN=λ(AB+BM)+μ(BD+DN)=λ(AB+12AD)+μ[(AD?AB)+DN)] =λ(a+12b)+μ(b?12a)=(λ?12μ)a+(12λ+μ)b ，
又因为 AC=a+b ，可得 {λ?12μ=112λ+μ=1 ，解得 λ=65,μ=25 ，所以 λ+μ=85 。
【小题演练】
1.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且 AO+OB=DO+OC ,则四边形ABCD是(?? )
A.?空间四边形???????????????????????????B.?平行四边形???????????????????????????C.?等腰梯形???????????????????????????D.?矩形
2.如图，在底面为正方形的平行六面体 ABCD?A′B′C′D′ 的棱中，与向量 AA′ 模相等的向量有（??? ）.
A.?0个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?7个???????????????????????????????????????D.?9个
3.下列命题是真命题的是（??? ）
A.?若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B.?AB=CD 的充要条件是A与C重合，B与D重合
C.?若向量 AB,CD 满足 |AB|>|CD| ，且 AB 与 CD 同向，则 AB>CD
D.?若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB+CD=0 ，则 AB//CD
4.已知 O?ABC 为空间四面体， P 为底面 ABC 上一点，且满足 2AP=xOA+yOB+zOC ，则以下等式一定成立的是（??? ）
A.?x+y+z=1??????????????????B.?x+y+z=0??????????????????C.?x+y+z=?1??????????????????D.?x+y+z=12
5.四棱锥 S?ABCD 的底面是平行四边形， SE=2EC ，若 BE=xAB+yAD+zAS ，则 x+y+z= ________．
6.已知在空间四边形 OABC 中， OA=a,OB=b,OC=c, 点 M 在 OA 上，且 OM=3MA ， N 为 BC 中点，用 a,b,c 表示 MN ，则 MN 等于________．
【参考答案】
1.【答案】 B
【解析】由已知得 AB=DC ,即 AB,DC 是相等向量,因此 AB,DC 的模相等,方向相同,
即四边形ABCD是平行四边形.故答案为：B.
2.【答案】 C
【解析】向量模相等即向量的长度相等.根据平行六面体的性质可知，与向量 AA′ 模相等的向量为 A′A ， BB′ ， B′B ， CC′ ， C′C ， DD′ ， D′D ，共7个.故答案为：C.
【分析】根据题意由向量相等的定义结合平行六边形的几何性质即可得出答案。
3.【答案】 D
【解析】因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，故答案为：项A是假命题；
由 AB=CD 知， |AB|=|CD| ，且 AB 与 CD 同方向，但A与C，B与D不一定重合，故答案为：项B是假命题；
因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 AB>CD 这种写法，故答案为：项C是假命题；
因为 AB+CD=0 ，所以 AB=?CD ，即 AB 与 CD 共线，故 AB//CD ，D是真命题．
故答案为：D．
4.【答案】 B
【解析】因为 P∈ 平面 ABC ，设 AP=mAB+nAC(m,n∈R) ，
则 AP=m(OB?OA)+n(OC?OA)=(?m?n)OA+mOB+nOC ，
所以， 2AP=(?2m?2n)OA+2mOB+2nOC=xOA+yOB+zOC ，
则 x=?2m?2n ， y=2m ， z=2n ，因此， x+y+z=0 。
故答案为：B.
5.【答案】 23
【解析】由 SE=2EC ，则 CE=13CS
四棱锥 S?ABCD 的底面是平行四边形,即 ABCD 为平行四边形，则 AD+AB=AC
则 BE=BC+CE=AD+13CS=AD+13(AS?AC)
=AD+13(AS?AB?AD)=13AS+23AD?13AB
又 BE=xAB+yAD+zAS
所以 x=?13,y=23,z=13 ，故 x+y+z=23
故答案为： 23
6.【答案】 ?34a+12b+12c
【解析】如图：
∵MN=ON?OM,ON=12(OB?OV)? ，
∴MN=12(OB+OC)?34OA= ?34a→+12b→+12c→ 。