2020-2021学年华东师大新版九年级下册数学期中复习试卷1（word含解析）

2020-2021学年华东师大新版九年级下册数学期中复习试卷1
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．在﹣1，0，2，四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣1
B．0
C．2
D．
2．如图所示的几何体的左视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.51×109
B．5.1×108
C．5.1×109
D．51×107
4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件
B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨
C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定
D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7
6．在正六边形ABCDEF的中，若BE＝10，则这个正六边形外接圆半径是（　　）
A．
B．5
C．
D．5
7．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则下列结论中正确的有（　　）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝4，∠B＝60°，则CD的长为（　　）
A．2
B．4
C．6
D．2
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．分解因式：4a3b2﹣6a2b2＝　
　．
12．若关于x的分式方程无解，则m＝　
　．
13．圆锥的底面半径是1，高是，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是　
　．
14．如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；
如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；
如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；
……
依此类推，当CD＝AC时，tanα6＝　
　．
15．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@（b+c）＝a@b+a@c；
③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2；
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．
其中正确的是　
　．
三．解答题（共11小题，满分90分）
16．（5分）计算：﹣|﹣2|+sin60°﹣（﹣）﹣1+（π﹣3.14）0．
17．（6分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
19．（8分）我市创全国卫生城市，某街道积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．
①求购买温馨提示牌和垃圾箱所需费用w（元）与温馨提示牌的个数x的函数关系式；
②若该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？
20．（8分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．
21．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了格点△ABC和直线l．
（1）画出△ABC关于直线l对称的格点△A′B′C；
（2）在直线l上选取一格点，在网格内画出格点△DPE，使得△DPE∽△ABC，且相似比为2：1．
22．（10分）第七次全国人口普查期间，某中学为了提高学生对人口普查的认识，在全校开展了主题为“人口普查，人人有责”的知识竞赛活动，共有1200名学生参加了此次竞赛（满分为100分），学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题：组别
分数/分
频数
A
70≤x＜75
2
B
75≤x＜80
6
C
80≤x＜85
10
D
85≤x＜90
a
E
90≤x＜95
16
F
95≤x≤100
4
（1）本次调查随机抽取了　
　个参赛学生的成绩；所抽取参赛学生成绩的中位数所在的“组别”是　
　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校1200名学生中，知识竞赛成绩达到“优秀（90≤x≤100）”的有　
　名；
（4）成绩前四名的学生中有两名男生和两名女生，若从这四名学生中选两人为该校的人口普查知识宣传员，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
23．（10分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　
　；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
…
y
…
1
2
4
4
2
m
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；
①　
　；
②　
　；
（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　
　；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝　
　；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝　
　．
24．（8分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
25．（9分）如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．
26．（12分）已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜＜2，
∴在：﹣1，0，2，四个数中，最大的数是2．
故选：C．
2．解：从左边看，是一个正方形，正方形的右上角有一条虚线．
故选：B．
3．解：510000000＝5.1×108，
故选：B．
4．解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
5．解：A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误；
B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B错误；
C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误；
D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确．
故选：D．
6．解：因为正六边形ABCDEF的中，BE＝10，
所以这个正六边形外接圆半径是，
故选：B．
7．解：∵CD、BE为△ABC的中线，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，所以①正确；
DE∥BC；
∴△DOE∽△COB，
∴＝（）2＝，所以②错误；
∵中线BE，CD相交于点O，
∴O点为△ABC的重心，
∴OB＝2OE，
而AB＝2AD，
∴＝＝，所以③正确；
∵O点为△ABC的重心，
∴OC＝2OD，
∴S△ODE＝S△CDE，
∵AE＝CE，
∴S△CDE＝S△ADC，
∴S△DOE＝S△ADC，所以④错误．
故选：B．
8．解：依题意得
A：（1）当0≤x≤120，yA＝30，
（2）当x＞120，yA＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
B：（1）当0≤x＜200，yB＝50，
当x＞200，yB＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确；
当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确；
当y＝60时，A：60＝0.4x﹣18，∴x＝195，
B：60＝0.4x﹣30，∴x＝225，故（3）正确；
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将yA＝40或60代入，得x＝145分或195分，故（4）错误；
故选：C．
9．解：在Rt△ABC中，AC＝4，∠B＝60°，
∴AB＝4，BC＝8，
由旋转得，AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴BD＝AB＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣4＝4，
故选：B．
10．解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0．
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＜0，①错误；
②当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，②错误；
③∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝2时与x＝0时，y值相等，
∵当x＝0时，y＝c＞0，
∴4a+2b+c＝c＞0，③正确；
④∵抛物线与x轴有两个不相同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0，
∴△＝b2﹣4ac＞0，④正确．
综上可知：成立的结论有2个．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．解：4a3b2﹣6a2b2＝2a2b2（2a﹣3）．
故答案为：2a2b2（2a﹣3）．
12．解：∵关于x的分式方程无解，
∴x＝﹣，
原方程去分母得：m（x+1）﹣5＝（2x+1）（m﹣3）
解得：x＝，m＝6时，方程无解．
或＝﹣是方程无解，此时m＝10．
故答案为6，10．
13．解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝2，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
根据题意得2π?1＝，解得n＝180，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为180°．
故答案为180°．
14．解：根据规律可得，
当n＝2时，CD＝AC，tanα1＝＝
当n＝3时，CD＝AC，tanα2＝＝，
当n＝4时，CD＝AC，tanα3＝＝，
………………
当n＝7时，CD＝AC，tanα6＝＝，
故答案为：．
15．解：①根据题意得：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，
整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）＝0，即4ab＝0，
解得：a＝0或b＝0，正确；
②∵a@（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac
a@b+a@c＝（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac，
∴a@（b+c）＝a@b+a@c，正确；
③∵a@b＝a2+5b2，a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
∴a2+5b2＝4ab，
∴a2﹣4ab+5b2＝0，
∴（a﹣2b）2+b2＝0，
∴，
∴，
故错误；
④∵a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，
∴a2+b2+2ab≥4ab，
∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab＝4ab，
解得a＝b，
∴a@b最大时，a＝b，故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共11小题，满分90分）
16．解：原式＝﹣2+2×+2+1，
＝﹣2+3+2+1，
＝4．
17．解：原式＝（+）?
＝?
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
18．解：（1）∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x＝1代入方程x2+ax+a﹣2＝0得，1+a+a﹣2＝0，解得a＝；
方程为x2+x﹣＝0，即2x2+x﹣3＝0，
设另一根为x1，则
1?x1＝﹣，
解得x1＝﹣．
19．解：（1）设温馨提示牌的单价为a元，
4×3a﹣5a＝350
解得：a＝50，
则3a＝150，
答：温馨提示牌、垃圾箱的单价分别为50元和150元；
（2）①由题意可得，
w＝50x+150（3000﹣x）＝﹣100x+450000，
即购买温馨提示牌和垃圾箱所需费用w（元）与温馨提示牌的个数x的函数关系式是：w＝﹣100x+450000；
②由题意得，
，
解得：1000≤x≤1200，
∵x为整数，
∴共有201种可供选择的方案，
∵k＝﹣100＜0，w随x的增大而减小，
∴当x＝1200时，w取得最少值，此时w＝330000元，3000﹣x＝1800，
答：有201种可供选择的方案，其中购买温馨提示牌1200个，垃圾桶1800个时所需资金最少，最少为330000元．
20．解：CD∥AB，CD＝AB，
理由是：∵CE＝BF，
∴CE﹣EF＝BF﹣EF，
∴CF＝BE，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴CD＝AB，∠C＝∠B，
∴CD∥AB．
21．解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：△DPE即为所求．
22．解：（1）10÷20%＝50（个），则a＝50﹣2﹣6﹣10﹣16﹣4＝12，
所抽取参赛学生成绩的中位数是第25个、第26个参赛学生成绩的平均数，
∴所抽取参赛学生成绩的中位数所在的“组别”是D，
故答案为：50，D；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）1200×＝480（名），
即估计全校1200名学生中，知识竞赛成绩达到“优秀（90≤x≤100）”的有480名，
故答案为：480；
（4）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中一名男生和一名女生的结果有8个，
∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为＝．
23．解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，
∴m＝1，
故答案为：1；补全图象如图所示：
（2）由函数图象的对称性可知，函数的图象关于y轴对称，
从函数的增减性可知，在y轴的左侧（x＜0），y随x的增大而增大；在y轴的右侧（x＞0），y随x的增大而减小；
故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；
（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，
②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，
③S四边形OABC＝2|k|＝2k，
故答案为：4，4，2k．
24．解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG＝，
∴EG＝＝＝7（米）．
∴DH＝EG＝7米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝7米．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+7＝（30+7）米．
答：大楼BC的高度是（30+7）米．
25．（1）证明：连接OB、OD，如图1所示：
∵AB＝DB，AO＝DO，BO＝BO，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠ABO＝∠DBO，
∵OA＝OB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ABO＝∠BAC＝∠BDC，
∴∠DBO＝∠BDC，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DC，
∴BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：延长BO交AD于点F，如图2所示：
由（1）可知，∠ABO＝∠DBO，
∵AB＝BD，
∴BF⊥AD，AF＝DF＝AD＝3，
∵∠BAF＝∠BCE，∠AFB＝∠E＝90°，BE＝2CE，
∴△ABF∽△CBE，
∴＝＝2，
∴BF＝2AF＝6，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝＝＝3，
∴BD＝AB＝3．
26．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0），
把C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0）中，得
4＝﹣6a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣，
即y＝﹣+；
（2）设P点的坐标为（t，），过点P作PM⊥x轴，与BC交于点M，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣，
∴M（t，），
∴，
∴＝﹣t2+3t，
，
，
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S△BOC+S△BPC＝，
∴当t＝时，S四边形ABPC的最大值为，
∴此时P点的坐标为（，）；
（3）∵将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，
∴y′的解析式为y′＝﹣（x﹣）2+（x﹣）+4﹣2，即y′＝﹣x2+x+，
∴抛物线y′的对称轴为x＝1，
∵抛物线y＝﹣+＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线y＝﹣+的对称轴为直线x＝，
把x＝代入y′＝﹣x2+x+，中，得y′＝2，
∴Q点的坐标为（，2），
设E的坐标为（1，n）
①当PE＝QE时，则PE2＝QE2，
即，
解得，n＝，
∴E（1，），
②当PQ＝QE时，则PQ2＝QE2，
即，
解得，n＝2±，
∴E点的坐标为（1，2+）或（1，2﹣）；
③当PQ＝PE时，则PQ2＝PE2，
即，
解得，n＝，
∴点E的坐标为（1，）或（1，）．
综上，当△PQE是等腰三角形时，点E的坐标为（1，）或（1，2+）或（1，2﹣）或（1，）或（1，）．