整式的除法与因式分解
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(共31张PPT)
15、3~15、4
整式的除法与因式分解
兖州八中
学习目标
2、能够熟练利用运算性质、运算法则进行计算。
3、了解因式分解的含义以及它与整式乘法的区别与联系。
4、熟练利用提供因式法和公式法分解因式。
重点： 整式除法的运算法则及其熟练进行分解因式。
难点：对需要综合应用提供因式法与运用公式的多项式进行因式分解。
1、掌握同底数幂的运算性质及整式的除法运算法则。
预习指导
综合应用
拓展探究
一、 同底数幂除法的性质
am ÷ an = am-n
(a不为0，m、n为正整数，m>n)
零指数幂的意义
任何不等于零的数的0次幂都等于1。
a0=1 (a≠0）
要点归纳
(1) a9÷a3
(2) 212÷27
例 计算:
=a9-3 = a6
=212-7=25=32
单项式相除，把系数、同底数幂分别除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
1、单项式除以单项式的法则：
理解
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
底数不变
指数相减
保留在商里
作为因式
二、整式除法法则
例如：
多项式除以单项式，先把这
个多项式的每一项除以这个
单项式，再把所得的商相加
(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m
(m≠0)
2、多项式除以单项式的法则
（12a3－6a2+3a）÷3a
解:原式
=12a3 ÷3a-6a2 ÷3a+3a ÷3a
多项式的每一项分别除以单项式
=4a2-2a+1
多项式除以单项式，被除式有几项，商就有几项，不可以丢项
例如：
三、因式分解的方法：
（1） 提取公因式法
（2） 运用公式法
把一个多项式化为几个整式的
乘积形式，就叫做把这个多项式
因式分解
特征:
1、 等号左边是一个多项式；
2、等号右边是几个整式积的形式
下列从左边到右边的变形中，是
因式分解的是: ( )
(1)(x+2)(x-2)=x2-4;
(2) x2-4= (x+2)(x-2);
(3) ma+mb+c=m(a+b)+c;
(4)x2-9+x=(x+3)(x-3)+x;
(5)2ax+4bx=2x(a+2b)
因式分解与整式的乘法是什么关系？
因式分解与整式的乘法相反
想
一
想
(×)
(√)
(×)
(×)
(√)
(2) (5)
多项式：
中的每一项都含有一个相同的因式
我们称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积了。像这种因式分解的方法，叫做：
提公因式法。
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
最大公约数
相同字母
公因式
4
a
b2
一、看系数
观察方向
例如： 把8a3b2 + 12ab3c
分解因式.
最低指数
三、看指数
二、看字母
a - b = (a+b)(a-b)
因式分解
整式乘法
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a - b
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
整式乘法与因式分解是互逆的过程
注：这里公式中的
都表示单项式。
把下列各式分解因式:
完全平方公式反过来就是：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或差)的平方。
a ＋2ab＋ b = (a＋b)2
a －2ab＋ b = (a－b)2
因式分解
完全平方公式：
(a＋b)2 = a ＋2ab＋ b
(a－b)2 = a －2ab＋ b
整式乘法
例：分解因式
（1）
（2）
分析：在（1）中， ， ，
，所以
是一个完全平方公式，既
(1) a5÷a4.a2
=a5-4+2=a3
(2) (ab)5÷(ab)2
=(ab)5-2=(ab)3 =a3b3
综合应用
例1
（3）(21x4y3－35x3y2+7x2y2)÷(－7x2y)
=21x4y3 ÷(－7x2y) －35x3y2
÷(－7x2y) +7x2y2 ÷(－7x2y)
=-3x2y2+5xy-y
解：（1）
计算：
(1)
(2)
解：（2）
计算：
(1)
(2)
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解
因式
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解: 2a(b+c) – 3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
例3 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析:在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2,即可用平方差公式分解因式.
4x2 – 9
= (2x)2 – 3 2
= (2x+3)(2x-3).
(x+p)2 – (x+q) 2
= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
=(2x+p+q)(p-q).
把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体,设x+p=m,x+p=n,则原式化为m2-n2.
例4 分解因式:
(1)x4-y4; (2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.
解:(1) x4-y4
= (x2+y2)(x2-y2)
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
(2) a3b-ab
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1).
分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
利用因式分解计算
782-222
25×1012-992×25
解：782-222
=(78+22)(78-22)=100×56
=5600
25×1012-992×25
=25×(1012-992)
=25×(101+99)×(101-99)
=25×200×2
=10000
提取公因式
用平方差公式分解因式
(1) [(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
解:原式
=(x2+2xy+y2-2xy-y2-8x) ÷2x
=(x2-8x) ÷2x
=x2 ÷2x-8x ÷2x
=0.5x-4
多项式的每一项分别除以单项式
有乘方,先算乘方
合并
拓展与探究
（2）已知a、b、c是三角形的三边,请你判断
a2-b2-c2-2bc的值的正负
解： a2-b2-c2-2bc=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c)
a-b-c＜0,a+b+c﹥0
∴ (a-b-c)(a+b+c) ＜0
（3）20042+2004能被2005 整除吗
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
15、3~15、4
整式的除法与因式分解
兖州八中
学习目标
2、能够熟练利用运算性质、运算法则进行计算。
3、了解因式分解的含义以及它与整式乘法的区别与联系。
4、熟练利用提供因式法和公式法分解因式。
重点： 整式除法的运算法则及其熟练进行分解因式。
难点：对需要综合应用提供因式法与运用公式的多项式进行因式分解。
1、掌握同底数幂的运算性质及整式的除法运算法则。
预习指导
综合应用
拓展探究
一、 同底数幂除法的性质
am ÷ an = am-n
(a不为0，m、n为正整数，m>n)
零指数幂的意义
任何不等于零的数的0次幂都等于1。
a0=1 (a≠0）
要点归纳
(1) a9÷a3
(2) 212÷27
例 计算:
=a9-3 = a6
=212-7=25=32
单项式相除，把系数、同底数幂分别除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
1、单项式除以单项式的法则：
理解
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
底数不变
指数相减
保留在商里
作为因式
二、整式除法法则
例如：
多项式除以单项式，先把这
个多项式的每一项除以这个
单项式，再把所得的商相加
(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m
(m≠0)
2、多项式除以单项式的法则
（12a3－6a2+3a）÷3a
解:原式
=12a3 ÷3a-6a2 ÷3a+3a ÷3a
多项式的每一项分别除以单项式
=4a2-2a+1
多项式除以单项式，被除式有几项，商就有几项，不可以丢项
例如：
三、因式分解的方法：
（1） 提取公因式法
（2） 运用公式法
把一个多项式化为几个整式的
乘积形式，就叫做把这个多项式
因式分解
特征:
1、 等号左边是一个多项式；
2、等号右边是几个整式积的形式
下列从左边到右边的变形中，是
因式分解的是: ( )
(1)(x+2)(x-2)=x2-4;
(2) x2-4= (x+2)(x-2);
(3) ma+mb+c=m(a+b)+c;
(4)x2-9+x=(x+3)(x-3)+x;
(5)2ax+4bx=2x(a+2b)
因式分解与整式的乘法是什么关系？
因式分解与整式的乘法相反
想
一
想
(×)
(√)
(×)
(×)
(√)
(2) (5)
多项式：
中的每一项都含有一个相同的因式
我们称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积了。像这种因式分解的方法，叫做：
提公因式法。
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
最大公约数
相同字母
公因式
4
a
b2
一、看系数
观察方向
例如： 把8a3b2 + 12ab3c
分解因式.
最低指数
三、看指数
二、看字母
a - b = (a+b)(a-b)
因式分解
整式乘法
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a - b
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
整式乘法与因式分解是互逆的过程
注：这里公式中的
都表示单项式。
把下列各式分解因式:
完全平方公式反过来就是：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或差)的平方。
a ＋2ab＋ b = (a＋b)2
a －2ab＋ b = (a－b)2
因式分解
完全平方公式：
(a＋b)2 = a ＋2ab＋ b
(a－b)2 = a －2ab＋ b
整式乘法
例：分解因式
（1）
（2）
分析：在（1）中， ， ，
，所以
是一个完全平方公式，既
(1) a5÷a4.a2
=a5-4+2=a3
(2) (ab)5÷(ab)2
=(ab)5-2=(ab)3 =a3b3
综合应用
例1
（3）(21x4y3－35x3y2+7x2y2)÷(－7x2y)
=21x4y3 ÷(－7x2y) －35x3y2
÷(－7x2y) +7x2y2 ÷(－7x2y)
=-3x2y2+5xy-y
解：（1）
计算：
(1)
(2)
解：（2）
计算：
(1)
(2)
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解
因式
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解: 2a(b+c) – 3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
例3 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析:在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2,即可用平方差公式分解因式.
4x2 – 9
= (2x)2 – 3 2
= (2x+3)(2x-3).
(x+p)2 – (x+q) 2
= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
=(2x+p+q)(p-q).
把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体,设x+p=m,x+p=n,则原式化为m2-n2.
例4 分解因式:
(1)x4-y4; (2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.
解:(1) x4-y4
= (x2+y2)(x2-y2)
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
(2) a3b-ab
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1).
分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
利用因式分解计算
782-222
25×1012-992×25
解：782-222
=(78+22)(78-22)=100×56
=5600
25×1012-992×25
=25×(1012-992)
=25×(101+99)×(101-99)
=25×200×2
=10000
提取公因式
用平方差公式分解因式
(1) [(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
解:原式
=(x2+2xy+y2-2xy-y2-8x) ÷2x
=(x2-8x) ÷2x
=x2 ÷2x-8x ÷2x
=0.5x-4
多项式的每一项分别除以单项式
有乘方,先算乘方
合并
拓展与探究
（2）已知a、b、c是三角形的三边,请你判断
a2-b2-c2-2bc的值的正负
解： a2-b2-c2-2bc=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c)
a-b-c＜0,a+b+c﹥0
∴ (a-b-c)(a+b+c) ＜0
（3）20042+2004能被2005 整除吗
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除