6.4.3(1) 余弦定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册复习巩固训练（Word含答案解析）

6.4.3（1） 余弦定理
一、知识梳理
1.余弦定理：,
,
.
2. 余弦定理的推论1：，
，
。
3. 余弦定理的推论2：角A为锐角，
__________，
___________.
4.解三角形
（1）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角．
（2）已知三边，求三个角；
⑶已知两边一对角，求第三边和其他两个角．
二、重点题型
知识点一：已知三角形的两边及夹角求解三角形
在△ABC中，已知，解此三角形．
知识点二：已知三角形的三条边就可以求出其它角．
2.在△ABC中，已知，，，解三角形(依次求解A．B．C).
知识点三：已知两边及一边对角解三角形
3.在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为(　　)
A．5 B．8 C．5或－8 D．－5或8
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cosA＝，且b＜c，则b＝(　　)
A. B．2 C．2 D．3
知识点四 ：余弦定理的推论的应用
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，当a2＋b2A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
6.在△ABC中，a＝4，b＝6，c＝8，则此三角形为（ ）
A．钝角三角形　　　B．直角三角形 C．锐角三角形　　　　D．不能确定
知识点五 ：余弦定理的在综合题中的应用
7.在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
8. △ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，
q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(　　)
A. B. C. D.
三、巩固练习
1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝＋，且B＝30°，则b＝(　　)
A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－
2．在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是(　　)
A. B. C．0 D.
3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为(　　)
A．90° B．120° C．135° D.150°
4．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　)
A．4 B．8 C．4或8 D．无解
5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A．8－4 B．1 C. D.
6．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则的值为(　　)
A．19 B．14 C．－18 D．－19
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sinB＝________.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，tanC＝3.
(1)求cosC；(2)若·＝－且a＋b＝9，求c.
6.4.3（1） 余弦定理 答案
一、知识梳理
1. ,
2. ，。
3.角A为直角，角A为钝角。
二、重点题型
1.解：由余弦定理，，。由余弦定理得， ，。
2.解：由余弦定理得，
，，
3.B 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴49＝9＋b2－3b?(b－8)(b＋5)＝0.∵b＞0，∴b＝8.故选B.
4.B 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.∵b＜c，∴b＝2.故选B.
5.C cosC＝<0，则C是钝角，所以△ABC是钝角三角形．
6.A 由余弦定理得：，又∵07.D ∵·＝||||cos〈，〉，由向量模的定义和余弦定理可得出||＝3，
||＝2，cos〈，〉＝＝.故·＝3×2×＝.
8.B p∥q?(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0?＝＝cosC，
∵0三、巩固练习
1.A 在△ABC中，B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos30°，∴b2＝2(＋)2－2(＋)2×＝(2－)(＋)2＝4(2＋)(2－)＝4，∴b＝2，故选A.
2. C ∵c>b>a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cosC＝＝0.
3.B 设长为7的边所对的角为θ，由已知条件可知角θ为中间角．
∵cosθ＝＝，∴θ＝60°，∴最大角与最小角的和为120°.
4.C 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
5.C. ∵C＝60°，∴c2＝a2＋b2－2abcos60°，即c2＝a2＋b2－ab①又∵(a＋b)2－c2＝4，∴c2＝a2＋b2＋2ab－4②,比较①②知－ab＝2ab－4，
∴ab＝.
6. D 由余弦定理的推论cosB＝＝，又·
＝||·||·cos(π－B)＝5×7×＝－19.
7. . 由余弦定理及题中条件可得cosC＝＝＝，解得c＝2，所以△ABC为以BC为底边的等腰三角形，故∠B＝∠C，得cosB＝.由同角三角函数的基本关系式可得sin2B＝1－cos2B＝，又因为∠B∈(0，π)，可得sinB＝.
8. 解：(1)∵tanC＝3，∴＝3，又∵sin2C＋cos2C＝1，∴cosC＝±.
又∵tanC>0，∴C为锐角．∴cosC＝.
(2)∵·＝－，∴·＝. ∴abcosC＝. 又∵cosC＝，∴ab＝20.
∵a＋b＝9，∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝81，∴a2＋b2＝41.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝41－2×20×＝36，∴c＝6