8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专题训练（Word版含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【8.3简单几何体的表面积与体积专题训练】
【基础巩固】
1.如图，在三棱锥 D?ABC 中， AD⊥BC,BC=1,AD=1 ．且 AB+BD=AC+CD=2 ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（??? ）
A.?14???????????????????????????????????????B.?212???????????????????????????????????????C.?36???????????????????????????????????????D.?524
2.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（??? ）
A.?42π?????????????????????????????????????B.?4π?????????????????????????????????????C.?22π?????????????????????????????????????D.?2π
3.一个体积为 243 的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（??? ）
A.?63???????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????C.?123???????????????????????????????????????D.?12
4.已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则这个三棱锥的外接球的表面积为（??? ）．
A.?56π???????????????????????????????B.?224π???????????????????????????????C.?5614π3???????????????????????????????D.?44814π3
5.将周长为4的矩形 ABCD 绕 AB 旋转一周所得圆柱体积最大时， AB 长为（?? ）
A.?43??????????????????????????????????????????B.?23??????????????????????????????????????????C.?13??????????????????????????????????????????D.?1
6.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为2， E 为棱 AA1 的中点，截面 CD1E 交棱 AB 于点 F ，则四面体 CDFD1 的外接球表面积为（??? ）
A.?39π4?????????????????????????????????????B.?41π4?????????????????????????????????????C.?12π?????????????????????????????????????D.?43π4
7.如图是某四面体 ABCD 水平放置时的三视图，图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体 ABCD 外接球的体积为（??? ）
A.?500π3??????????????????????????????????B.?100π3??????????????????????????????????C.?125π6??????????????????????????????????D.?20π
8.现有一个三棱锥形状的工艺品 P?ABC ，点 P 在底面 ABC 的投影为 Q ，满足 S△QABS△PAB=S△QACS△PAC=S△QBCS△PBC=12 ， QA2+QB2+QC2AB2+BC2+CA2=13 ， S△ABC=93 ，若要将此工艺品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（??? ）
A.?42π?????????????????????????????????????B.?44π?????????????????????????????????????C.?48π?????????????????????????????????????D.?49π
9.用与球心距离为1的平面去截面面积为 π ，则球的体积为（?? ）
A.?32π3????????????????????????????????????B.?8π3????????????????????????????????????C.?82π????????????????????????????????????D.?82π3
10.已知三棱锥 A?BCD 的四个顶点A、B、C、D都在半径为 3 的球O的表面上，AC⊥平面 BCD ，BD=3，BC=2， CD=5 ，则该三棱锥的体积为（??? ）
A.?153???????????????????????????????????B.?2153???????????????????????????????????C.?156???????????????????????????????????D.?15
【培优提升】
11.在四面体 ABCD 中， AD=BC=4 ， AB=CD=2 ， AC=BD=x(x>0) ，当 x2= ________ 时，四面体 ABCD 的体积最大.
12.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 2π3 ，半径为1的扇形，则圆锥的底面半径为________，体积为________.
13.某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是 83 ，则它的表面积是________，外接球的体积是________．
14.张衡（78年~139年）是中国东汉时期杰出的天文学家、数学家、发明家、地理学家、文学家，他的数学著作有《算罔论》.张衡给立方体定名为质，给球体定名为浑.他研究过球的外切立方体体积和内接立方体体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为10的开平方，直到五百多年后，印度和阿拉伯的数学家才得出这个数值.现有棱长为 610 的正方体，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的体积为________.
15.将棱长为2的正方体 ABCD?A1B1C1D1 沿平面 A1BCD1 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点 E ， F 分别是 BC ， DC 的中点.
（Ⅰ）证明： EF⊥ 平面 A1AC ；
（Ⅱ）求三棱锥 A?D1EF 的体积.
16.如图，在三棱锥 P?ABC 中， PA=PC,AB=BC ，O是 AC 的中点， PO⊥BO ， PO=AC=2,BO=3 .
（1）证明： AC⊥PB ；
（2）求三棱锥 A?PBC 的体积.
17.如图，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中， B1C⊥ 平面 ABC ，侧面 ABB1A1 为矩形， AB=1,AA1=AC=2 .
（1）证明：平面 ABB1A1⊥ 平面 BB1C ；
（2）求四棱锥 C?ABB1A1 的体积.
18.如图，四棱锥 S?ABCD 的底面是正方形， SD⊥ 平面 ABCD ， SD=2 ， AD=2 ，点 E 是线段 SD 上的点，且 DE=a(0（1）求证：对任意的 0（2）当 a=1 时，点 M 是 SC 上的点，且 SM=2MC ，求三棱锥 E?BCM 的体积.
【参考答案】
1.【答案】 B
2.【答案】 C
3.【答案】 C
4.【答案】 A
5.【答案】 B
6.【答案】 B
7.【答案】 C
8.【答案】 D
9.【答案】 D
10.【答案】 A
11.【答案】 20+8133
12.【答案】 13；2281π
13.【答案】 83；43π
14.【答案】 3600
15.【答案】 解：（Ⅰ）如图所示：
连接 BD ，易知 BD⊥AC ，
因为 A1A⊥ 平面 ABCD ， BD? 平面 ABCD ，
所以 A1A⊥BD ，又 A1A∩AC=A ，
所以 BD⊥ 平面 A1AC .
在 △CBD 中，点 E ， F 分别是 BC ， DC 的中点，
所以 BD//EF .
所以 EF⊥ 平面 A1AC .
（Ⅱ）∵ D1D⊥ 平面 ABCD ，
∴ D1D 是三棱锥 D1?AEF 在平面 AEF 上的高，且 D1D=2 .
∵点 E ， F 分别是 BC ， DC 的中点，
∴ DF=CF=CE=BE=1 .
∴ S△AEF=22?12?AD?DF?12?CF?CE?12?AB?BE=32 .
∴ VA?D1EF=VD1?AEF=13?S△AEF?D1D=13×32×2=1
16.【答案】 （1）证明： ∵ PA=PC,AB=BC ，O是 AC 的中点，
∴PO⊥AC,BO⊥AC ，
∵PO∩BO=O ， ∴AC⊥ 平面 POB ，
∴ AC⊥PB
（2）解： ∵PO⊥AC,PO⊥BO ， AC∩BO=O ，
∴PO⊥ 平面 ABC ，即 PO 是三棱锥的高，
∴VA?PBC=13S△ABC?PO=13×12×2×3×2=2
17.【答案】 （1）证明：∵ B1C⊥ 平面 ABC ， AB? 平面 ABC ，∴ B1C⊥AB ，
又四边形 ABB1A1 为矩形，∴ AB⊥B1B .
又∵ B1B∩B1C=B1 ， B1B? 平面 BB1C ， B1C? 平面 BB1C ，∴ AB⊥ 平面 BB1C ，
又 AB? 平面 ABB1A1 ，∴平面 ABB1A1⊥ 平面 BB1C
（2）解：由（1）知 AB⊥ 平面 BB1C ，∴ AB⊥BC ，
则 BC=AC2?AB2=3 ，从而 B1C=22?(3)2=1 ，
在 △BB1C 中，过点 C 作 CD⊥BB1 于点 D ，
由于平面 ABB1A1⊥ 平面 BB1C ，平面 ABB1A1∩ 平面 BB1C=BB1 ，
∴ CD⊥ 平面 ABB1A1 ，
由 S△B1BC=12B1C?BC=12BB1?CD 可得 CD=32 ，
∴四棱锥 C?ABB1A1 的体积为 V=13S?ABB1A1?CD=13×1×2×32=33
18.【答案】 （1）证明：连接 BD ，由 ABCD 是正方形，
则 AC⊥BD ，
又 SD⊥ 平面 ABCD .
则 AC⊥SD ， SD∩BD=D ，
所以 AC⊥ 面 SBD ，又 BE? 面 SBD ，
所以 AC⊥BE .
（2）解：由题 VE?BCM=VB?ECM=13SΔECM?? ，
易知 BC⊥ 面 SDC ，所以 ?=BC=2 ，
SΔECM=16SΔSDC=16×12×2×2=26 ，
则 VE?BCM=13SΔECM??=13×26×2=19