8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专题训练（Word版含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【专题训练】
【基础巩固】
1.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（??? ）
A.?A，B，C，D四点中必有三点共线
B.?直线 AB 与 CD 相交
C.?A，B，C，D四点中不存在三点共线
D.?直线 AB 与 CD 平行
2.设l为一条直线， α,β 是两个不同的平面，下列命题正确的是（??? ）
A.?若 α⊥β,l//α ，则 l⊥β
B.?若 l//α ， l//β ，则 α//β
C.?若 l⊥α,l⊥β ，则 α//β
D.?若 l⊥α,l//β ，则 α//β
3.在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为 a=(1,?2,1) ，平面 α 的法向量为 n=(2,3,4) ，则（??? ）
A.?l//α?????????????????????????????B.?l⊥α?????????????????????????????C.?l?α 或 l//α?????????????????????????????D.?l与 α 斜交
4.已知m，n为两条不同的直线， α//β 是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（??? ）
A.?m⊥n,m//α?n⊥α??????????????????????????????????????B.?n//β,β⊥α?n⊥α
C.?m//n,m⊥β?n⊥β??????????????????????????????????????D.?m//α,n?α?m//n
5.已知m，n为两条不同的直线， α，β 是两个不同的平面，给出下列4个命题：
① m⊥n,m//α?n⊥α ；② n//β,β⊥α?n⊥α ；③ m//n,m⊥β?n⊥β ；④ m//α,n⊥α?m⊥n .其中所有真命题的序号是（??? ）
A.?①③?????????????????????????????????????B.?②④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?③④
6.已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线， α ， β 是不同的平面，则下列数学符号表示的命题中，不是公理的是（??? ）
A.?P∈l ， Q∈l ， P∈α ， Q∈α?l?α
B.?P∈α ， P∈β? 存在唯一直线l， α∩β=l ，且 P∈l
C.?l//m ， m//n?l//n
D.?m⊥α ， n⊥α?m//n
7.设 α ， β 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下结论正确的是（??? ）
A.?若 l⊥α ， α//β ，则 l⊥β
B.?若 l//α ， l//β ，则 α//β
C.?若 l⊥α ， α⊥β ，则 l?β
D.?若 l//α ， α⊥β ，则 l⊥β
8.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为3，E，F，G分别为棱 AA1 ， AB ， CC1 上的点，其中 AE=1 ， AF=2 ， CG=32 ，平面 α 经过点E，F，G，则 α 截此正方体所得的截面为（??? ）
A.?三角形????????????????????????????????B.?四边形????????????????????????????????C.?五边形????????????????????????????????D.?六边形
9.下列命题中正确的是（??? ）
A.?三点确定一个平面
B.?垂直于同一直线的两条直线平行
C.?若直线 l 与平面 α 上的无数条直线都垂直，则直线 l⊥α
D.?若 a、b、c 是三条直线， a//b 且与 c 都相交，则直线 a、b、c 共面.
10.已知 a,b 是两条直线， α,β 是两个平面，则 a⊥b 的一个充分条件是（??? ）
A.?a⊥α ， b//β ， α⊥β???????????????????????????????????B.?a⊥α ， b⊥β ， α//β
C.?a?α ， b⊥β ， α//β???????????????????????????????????D.?a?α ， b//β ， α⊥β
【培优提升】
11.已知 α，β 是两个不同的平面， l，m 是两条不同的直线， l⊥α，m?β .给出下列命题：
① α//β?l⊥m ；② α⊥β?l//m ；③ m//α?l⊥β ；④ l⊥β?m//α .
其中正确的命题是________.
12.如图所示，在直角梯形 ABCD 中， BC⊥DC,AE⊥DC,M,N 分别是 AD,BE 的中点，将三角形 ADE 沿 AE 折起，下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）.
①不论 D 折至何位置（不在平面 ABC 内）都有 MN∥ 平面 DEC ；
②不论 D 折至何位置都有 MN⊥AE ；
③不论 D 折至何位置（不在平面 ABC 内）都有 MN∥AB .
13.下列说法中正确的有________个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面 α 和 β ，若 A∈α ， A∈β ，且 α∩β=l ，则点A在直线 l 上.
14.在四棱锥 P?ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2的菱形， ∠ABC=120° ， PA=PB ， M 为 AB 中点，设 l 为平面 ABP 与平面 CDP 的交线.
（1）判断直线 l 与平面 ABCD 的位置关系，并说明理由；
（2）求证：平面 PCD⊥ 平面 PMD ；
（3）若平面 PAB⊥ 平面 ABCD ，且二面角 B?AP?D 的余弦值为 55 ，求四棱锥 P?ABCD 的体积.
15.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 中的棱长为2， O1 是 A1C1 中点．则一定有__________．
（1）在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由.
① AO1? 面 DBC1 ② AO1 与平面 DBC1 相交??????????? ③ AO1// 面 DBC1
（2）设 BB1 的中点为 M ，过 A 、 C1 、 M 作一截面，交 DD1 于点 G ，求截面 AMC1G 面积．
16.图1是由矩形 ADEB . RtΔABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 BE=BF ，将其沿 AB ， BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG ，如图2.
（1）证明：图2中的 A,C,G,D 四点共面；
（2）证明：平面 ABC⊥ 平面 BCGE .
17.如图，在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中，点E，F分别在棱 DD1 ， BB1 上，且 2DE=ED1 ， BF=2FB1 ．证明：
（1）当 AB=BC 时， EF⊥AC ；
（2）点 C1 在平面 AEF 内．
18.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l ? 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________.
① p1∧p4 ② p1∧p2 ③ ?p2∨p3 ④ ?p3∨?p4
【参考答案】
1.【答案】 C
2.【答案】 C
3.【答案】 C
4.【答案】 C
5.【答案】 D
6.【答案】 D
7.【答案】 A
8.【答案】 C
9.【答案】 D
10.【答案】 C
二、培优提升
11.【答案】 ①④
12.【答案】 ①②
13.【答案】 2
14.【答案】 （1）解：直线 l 与平面 ABCD 平行.理由如下：
由已知， AB//CD ， AB? 平面 CDP ， CD? 平面 CDP ，
则 AB// 平面 CDP ，
又 l 为平面 ABP 与平面 CDP 的交线， AB? 平面 ABP ，
则 l//AB ，
又 l? 平面 ABCD ， AB? 平面 ABCD ，
所以 l/ 平面 ABCD .
（2）证明：连接 BD ， ∵ 菱形 ABCD 中， ∠BAD=π3 ，
∴ △ABD 为等边三角形，
又 M 为 BC 中点， ∴ DM⊥AB ，
又 PA=PB ，则 PM⊥AB ，
又 DM∩PM=M ， ∴ AB⊥ 平面 PMD ，
又 AB//CD ， ∴ CD⊥ 平面 PMD ，
又 CD? 平面 PCD ， ∴ 平面 PCD⊥ 平面 PMD .
（3）解： ∵ 平面 PAB⊥ 平面 ABCD ，平面 PAB∩ 平面 ABCD=AB ，
因为 PM⊥AB ， PM? 平面 PAB ， ∴ PM⊥ 平面 ABCD ，
以 M 为原点， MB ， MD ， MP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，
设 PM=a ，则 P(0,0,a) ， A(?1,0,0) ， D(0,3,0) ，
则 AD=(1,3,0) ， AP=(1,0,a) ，
设平面 ADP 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，
则 {AD?n=0AP?n=0 ，即 {x+3y=0x+az=0 ，可取 n=(3a,?a,?3) ，
又平面 PAB 的法向量可取 m=(0,1,0) ，
由题意得 |cos?m,n?|=|m?n||m||n|=a4a2+3=55 ，
解得 a=3 ，即 PM=3 ，
又菱形 ABCD 的面积为 AB×DM=23 ，
∴ 四棱锥 P?ABCD 的体积为 V=13×SABCD×PM=13×23×3=2 .
15.【答案】 （1）解：③ AO1// 面 DBC1 ，如图所示：
连接BD，AC交于点O，连接 OC1 ，
因为 AO//O1C1,AO=O1C1 ，
所以 AOC1O1 是平行四边形，
所以 AO1//OC1 ，又 AO1? 面 DBC1 ， OC1? 面 DBC1 ，
所以 AO1// 面 DBC1 .
（2）解：如图所示：
因为过 A 、 C1 、 M 作一截面，交 DD1 于点 G ，且M为中点，
所以G为中点，由正方体知： AM//GC1,AM=GC1 ，
所以截面 AMC1G 是平行四边形，又 AM=AG ，
所以截面 AMC1G 是菱形，连接 AC1,MG,AC1⊥MG ，
所以截面 AMC1G 的面积为： 12AC1?MG=12×23×22=26 .
16.【答案】 （1）证明：由已知得AD ∥ BE，CG ∥ BE，
所以AD ∥ CG，
AD，CG确定一个平面，
从而A，C，G，D四点共面
（2）证明：由已知得AB ⊥ BE，AB ⊥ BC， BE∩BC=B ，
AB ⊥ 平面BCGE.
又因为AB ? 平面ABC，
所以平面ABC ⊥ 平面BCGE.
17.【答案】 （1）解：因为长方体 ABCD?A1B1C1D1 ,所以 BB1 ⊥ 平面 ABCD∴ AC⊥BB1 ,
因为长方体 ABCD?A1B1C1D1,AB=BC ,所以四边形 ABCD 为正方形 ∴AC⊥BD
因为 BB1∩BD=B,BB1、BD? 平面 BB1D1D ,因此 AC⊥ 平面 BB1D1D ,
因为 EF? 平面 BB1D1D ,所以 AC⊥EF
（2）解：在 CC1 上取点M使得 CM=2MC1 ,连 DM,MF ,
因为 D1E=2ED,DD1//CC1,DD1=CC1 ,所以 ED=MC1,ED//MC1,
所以四边形 DMC1E 为平行四边形， ∴DM//EC1
因为 MF//DA,MF=DA, 所以四边形 MFAD 为平行四边形， ∴DM//AF,∴EC1//AF
因此 C1 在平面 AEF 内
18.【答案】 ①③④