6.1平面向量的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专题训练（Word版含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【6.1平面向量的概念专题训练】
【基础巩固】
1.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（??? ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若 a≠b ，则 |a→|≠|b→| ；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
2.已知向量 a=(2,3,1) ， b=(1,2,0) ，则 |a+b| 等于（??? ）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.?35?????????????????????????????????????????D.?9
3.已知向量 a ， b 的夹角为120°， |a|=2|b|=2 ，则 |2a+3b|= （??? ）
A.?13???????????????????????????????????????B.?37???????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????D.?13
4.已知向量 a=(2,?1) ， b=(3,?2) ， c=(1,m) ，若 (a?b)⊥c ，则 |c|= （??? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?2
5.已知向量 a=(1,?1,0) ，则与 a 共线的一个单位向量 e= （??? ）
A.?(1,1,0)????????????????????????B.?(?22,22,0)????????????????????????C.?(22,22,0)????????????????????????D.?(0,0,1)
6.已知 a,b 是单位向量，且 a,b 的夹角为 π3 ，若向量 c 满足 |c?a+2b|=2 ，则 |c| 的最大值为（?? ）
A.?2?3????????????????????????????????B.?2+3????????????????????????????????C.?7+2????????????????????????????????D.?7?2
7.已知向量 OA=(2,?1,2) ， OB=(2,2,1) ，则以 OA ， OB 为邻边的三角形 OAB 的面积（? ?）
A.?654??????????????????????????????????????B.?652??????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?4
8.下列向量中不是单位向量的是（??? ）
A.?(1,0)?????????????????????????????B.?(1,1)?????????????????????????????C.?(cosα,sinα)?????????????????????????????D.?a|a|(|a|≠0)
9.|a|=2 ， |b|=3 , |a?b|=4 ，若对任意实数 t ， |ka+tb|>1 恒成立，则实数 k 的范围（??? ）
A.?(?∞,?215]∪[215,+∞)????????????????????????????B.?(?∞,?215)∪(215,+∞)
C.?(?215,215)???????????????????????????????????????????????????D.?[?215,215]
10.如图，在棱长为2的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， E 为 BC 的中点，点 P 在底面 ABCD 上（包括边界）移动，且满足 B1P⊥D1E ，则线段 B1P 的长度的最大值为（??? ）
A.?655??????????????????????????????????????B.?25??????????????????????????????????????C.?22??????????????????????????????????????D.?3
【培优提升】
11.已知空间向量 a=(2,?1,1),b=(1,1,2) ，则 |a+b|= ________；向量 a 与 b 的夹角为________.
12.在空间直角坐标系中，O为坐标原点， A(a,1,0) ， B(0,a,1) ，若 a=2 ，则 |AB|= ________，若 ∠AOB=π3 ，则 a= ________.
13.已知空间四个不同的点 A ， B ， C ， D ，若 C 是线段 AB 的中点，且 A(?1,1,3) ， B(3,?1,1) ， D(?2,4,2) ，则 C 的坐标为________， |CD|= ________.
14.四棱柱 ABCD?A1BC1D1 中， AB=AD=2 ， AA1=3 ， ∠BAD=90° ， ∠BAA1=∠DAA1=60° ，则向量 AC1 的模长 |AC1|= ________.
15.已知向量 a,b 满足： |a|=2,|b|=4,a?(b?a)=?8 ．
（1）求 a 与 b 的夹角；
（2）求 |a?2b| ．
16.已知向量 a=(1,2) ， b=(x,1) ．
（1）若 (a+2b)⊥(2a?b) 时，求 x 的值；
（2）若向量 a 与向量 b 的夹角为锐角，求 x 的取值范围．
17.已知△AOB中，边 OA=2,?OB=3 ，令 OA=a,OB=b,a?b=1, 过AB边上一点 P1 (异于端点)引边OB的垂线 P1Q1, 垂足为 Q1, 再由 Q1 引边OA的垂线 Q1R1, 垂足为 R1, 又由 R1 引边AB的垂线 R1P2, 垂足为 P2, 设 AP1=t1(b?a)(0（1）求 |AB| ；
（2）证明： BQ1=?23(1?t1)b ；
（3）当 P1、P2 重合时，求 △P1Q1R1 的面积.
18.已知 |a|=4 ， |b|=3 ， (2a?3b)?(2a+b)=61 .
（1）求向量 a 与 b 的夹角 θ ；
（2）若 c=ta+(1?t)b ，且 b?c=0 ，求实数t的值及 |c| .
【参考答案】
1.【答案】 B
2.【答案】 C
3.【答案】 A
4.【答案】 B
5.【答案】 B
6.【答案】 B
7.【答案】 B
8.【答案】 B
9.【答案】 B
10.【答案】 D
11.【答案】 32；60°
12.【答案】 6；1
13.【答案】 （1,0,2）；5
14.【答案】 29
15.【答案】 （1）解：设向量 a 与 b 的夹角 θ ，
a?(b?a)=a?b?a2=a?b?4 =2×4×cosθ?4 =?8 ，
解得 cosθ=?12 ，又 ∵θ∈[0，π] ， ∴θ=2π3
（2）解：由向量的模的公式可得：
|a?2b|=(a?2b)2 =a2?4a?b+4b2 = 4?4×2×4×(?12)+64 =221
16.【答案】 （1）解：因为向量 a=(1,2) ， b=(x,1) ，
所以 a+2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4) ， 2a?b=2(1,2)?(x,1)=(2?x,3) ，
因为 (a+2b)⊥(2a?b) ，所以 (a+2b)?(2a?b)=0 ，
所以 (2x+1)(2?x)+4×3=0 ，即 2x2?3x?14=0 ，
解得 x=?2 或 x=72 ，
（2）解：因为向量 a 与向量 b 的夹角为锐角，所以 a?b>0 ，且向量 a 与向量 b 不共线，
所以 {x+2>012≠x1 ，解得 x>?2 且 x≠12 ，
所以 x 的取值范围为 {x|x>?2 且 x≠12}
17.【答案】 （1）解：在 △OAB 中，因为 OA=2,OB=3 ，且 OA=a,OB=b ，
可得 |a|=2,|b|=3,a?b=1 ，
则 |AB|=|b?a|=|b|2+|a|2?2a?b=3 ，所以 |AB|=3 .
（2）解：由（1）与已知，可得 |AB|=3,|OA|=2,|OB|=3 ，
由余弦定理可得 cos∠ABO=|OB|2+|AB|2?|OA|22|OB||AB|=3+3?22×3×3=23 ，
又因为 |AP1|=t1|b?a|=3t1 ，则 |BP1|=|AB|?|AP1|=3?3t1 ，
则 |BQ1|=|BP1|cos∠ABO=233(1?t1) ，所以 BQ1=?23(1?t1)b .
（3）解：由已知可得 cos∠BOA=a?b|a|?|b|=12×3=16 ，
因为 |OB|=|AB|=3 ，所以 cos∠BAO=16 ，
|OR1|=|OQ1|cos∠BOA=(|OB|?|BQ1|)cos∠BOA=[3?233(1?t1)]×16=132(1+2t1) ，
因为 |AP2|=|AR1|cos∠BAO=(|OA|?|OR1|)cos∠BAO
=[2?132(1+2t1)]×16=163(5?2t1) ，
所以 t2=|AP1||b?a|=118(5?2t1)=?19t1+518 ，
当 P1,P2 重合时， t1=t2 ，解得 t1=?19t1+518 ，解得 t1=14 ，
此时 BQ1=?12b ，
所以 |BQ1|=12|OB|=32,|OR1|=122=24,|AP1|=34,|BP1|=334,|R1A|=324,|Q1P1|=154 ，
可得 S△OAB=52,S△OR1Q1=516,S△R1AP1=3532,S△BQ1P1=3516 ，
所以 S△P1Q1R=S△OAB?S△OR1Q1?S△R1AP1?S△BQ1P1=5532 .
18.【答案】 （1）解：因为 (2a?3b)?(2a+b)=61
故 4|a|2?4|a|?|b|cosθ?3|b|2=61
解得： cosθ=?12
因为 θ∈[0,π] ，所以 θ=2π3 .
（2）解： b?c=0
则 b?(ta+(1?t)b)=0
ta?b+(1?t)|b|2=0
化简得： 15t=9
解得： t=35
此时 |c|=|35a+25b|
= (35a+25b)2
= 925|a|2+425|b|2+1225a?b
= 10825
= 635