6.2平面向量的运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专题训练（Word版含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【6.2平面向量的运算专题训练】
【基础巩固】
1.已知空间四边形 OABC 中， OA=a ， OB=b ， OC=c ，点M在OA上，且 OM=2MA ，N为BC的中点，则 MN 等于（??? ）
A.?12a?23b+12c??????????B.??23a+12b+12c??????????C.?12a+12b?12c??????????D.?23a+23b?12c
2.已知三棱柱 ABC?A1B1C1 中， AB=AC=12AA1=1 ， ∠A1AC=∠A1AB=π3 ，D点是线段 AB 上靠近A的一个三等分点，则 CD?B1B= （??? ）
A.?23???????????????????????????????????????B.??23???????????????????????????????????????C.?43???????????????????????????????????????D.??43
3.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（??? ）
A.?OM=OA+OB+OC??????????????????????????????????????B.?OM=2OA?OB?OC
C.?OM=OA+12OB+13OC????????????????????????????????D.?OM=13OA+13OB+13OC
4.在空间四边形 OABC 中， OA=a ， OB=b ， OC=c ，且 AM=2MB ，则 MC= （??? ）
A.??13a?23b+c?????????????B.??23a?13b+c?????????????C.?13a+23b?c?????????????D.?23a+13b?c
5.如图，在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中， M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若 AB=a ， AD=b ， AA1=c ，则下列向量中与 AM 相等的向量是（??? ）
A.??12a+12b+c?????????????B.?12a+12b+c?????????????C.??12a?12b+c?????????????D.?12a?12b+c
6.在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， AC 与 BD 的交点为 M ，设 AB=a ， AD=b ， AA1=c ，则下列向量中与 D1M 相等的向量是（??? ）
A.??12a+12b+c??????????????B.?12a?12b+c??????????????C.?12a+12b?c??????????????D.?12a?12b?c
7.如图，向量 b?a 等于（???? ）
A.??2e1?4e2??????????????????????B.??4e1?2e2??????????????????????C.?e1?3e2??????????????????????D.??e1+3e2
8.若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（? ?）
A.?EF=OF+OE?????????B.?EF=OF?OE?????????C.?EF=?OF+OE?????????D.?EF=?OF?OE
9.已知 a,b,c 是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（??? ）.
① a=b?a2=b2 ；② |a|=|b|?|a?c|=|b?c| ；
③ a⊥b?|a+b|=|a?b| ；④ |a?b|=|a|?|b|?a//b .
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
10.如图所示，在菱形 ABCD 中， AB=1 ， ∠DAB=60? ， E 为 CD 的中点，则 AB?AE 的值是（??? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?-2
【培优提升】
11.已知点 D 为圆 O:x2+y2=4 的弦 MN 的中点，点 A 的坐标为 (1,0) ，且 AM?AN=1 ，则 OA?OD 的最大值为________
12.已知 a=(?3,1) ，则与 a 方向相同的单位向量 a0= ________.
13.三棱锥 O?ABC 中， OA 、 OB 、 OC 两两垂直，且 OA=OB=OC .给出下列四个命题：
?
① (OA+OB+OC)2=3(OA)2 ；
② BC?(CA?CO)=0 ；
③ (OA+OB) 和 CA 的夹角为 60? ；
④三棱锥 O?ABC 的体积为 16|(AB?AC)BC| .
其中所有正确命题的序号为________.
14.已知菱形 ABCD 的边长为 2 ， ∠BAD=120° ，点 E,F 分别在边 BC,DC 上， BC=3BE ， DC=λDF .若 AE?AF=1 ，则 λ 的值为________.
15.在直角坐标系中，O为坐标原点， OA=(3,1) ， OB=(2,?1) ， OC=(a,b) .
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
（2）若 AC=?3AB ，求点C的坐标.
16.已知向量 e1=(2,1) ， e2=(?2,2) ， a=(?2,8) .
（1）试将向量 a 表示成 e1 、 e2 的线性组合；
（2）若向量 b=?2e1+te2 （ t∈R ），当 a 与 b 的夹角为钝角时，求 t 的取值范围.
17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M : x2+y2?12x?14y+60=0 及其上一点A(2，4).
（1）设圆N与x轴相切，与圆 M 外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆 M 相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆 M 上的两点P和Q，使得 TA+TP=TQ, 求实数t的取值范围.
18.三棱柱 ABC?A1B1C1 中， M、N 分别是 A1B 、 B1C1 上的点，且 BM=2A1M ， C1N=2B1N .设 AB=a ， AC=b ， AA1=c .
（1）试用 a,b,c 表示向量 MN ；
（2）若 ∠BAC=90? ， ∠BAA1=∠CAA1=60? ， AB=AC=AA1=1 ，求MN的长.
【参考答案】
1.【答案】 B
2.【答案】 A
3.【答案】 D
4.【答案】 A
5.【答案】 B
6.【答案】 D
7.【答案】 C
8.【答案】 B
9.【答案】 B
10.【答案】 A
11.【答案】 2
12.【答案】 (?32,12)
13.【答案】 ①②③
14.【答案】 2
15.【答案】 （1）解：由题意知， AB=OB?OA=(?1,?2) ，
AC=OC?OA=(a?3,b?1) .
因为A，B，C三点共线，所以 AB//AC ，
所以 ?(b?1)?(?2)×(a?3)=0 ，
所以 b=2a?5 .
（2）解：因为 AC=?3AB ，
所以 (a?3,b?1)=?3(?1,?2)=(3,6) ，
所以 {a?3=3,b?1=6, 解得 {a=6,b=7,
所以点C的坐标为 (6,7) .
16.【答案】 （1）解：设 a=xe1+ye2=x(2,1)+y(?2,2)=(2x?2y,x+2y)=(?2,8)
所以 {2x?2y=?2x+2y=8 ，所以 x=2,y=3 .所以 a=2e1+3e2 .
（2）解：由题得 a=(?2,8),b=(?4?2t,?2+2t) ，
因为 a 与 b 的夹角为钝角，
所以 {?2(?4?2t)+8(?2+2t)=8+4t?16+16t<0?2(?2+2t)?8(?4?2t)=4?4t+32+16t≠0 ，
所以 t<25 且 t≠?3 .
17.【答案】 （1）解：圆M的标准方程为 (x?6)2+(y?7)2=25 ，所以圆心M（6，7），半径为5，.
由圆心N在直线x=6上，可设 N(6,y0) .因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以 0因此，圆N的标准方程为 (x?6)2+(y?1)2=1
（2）解：因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为 4?02?0=2 .
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
d=|2×6?7+m|5=|m+5|5.
因为 BC=OA=22+42=25,
而 MC2=d2+（BC2）2,
所以 25=(m+5)25+5 ，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0
（3）解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2).
因为 A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ ，所以 {x2=x1+2?ty2=y1+4 ……①
因为点Q在圆M上，所以 (x2?6)2+(y2?7)2=25. …….②
将①代入②，得 (x1?t?4)2+(y1?3)2=25 .
于是点 P(x1,y1) 既在圆M上，又在圆 [x?(t+4)]2+(y?3)2=25 上，
从而圆 (x?6)2+(y?7)2=25 与圆 [x?(t+4)]2+(y?3)2=25 有公共点，
所以 5?5≤[(t+4)?6]2+(3?7)2≤5+5, 解得 2?221≤t≤2+221 .
因此，实数t的取值范围是 [2?221,2+221]
18.【答案】 （1）解： MN=MA1+A1B1+B1N = 13BA1+AB+13B1C1 = 13(c?a)+a+13(b?a)=13a+13b+13c .
（2）解： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a?b+2b?c+2c?a
= 1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5 ，
即 |a+b+c|=5 ，
所以 |MN|=13|a+b+c|=53 .