6.3平面向量基本定理及坐标表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专题训练（Word版含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【6.3平面向量基本定理及坐标表示专题训练】
【基础巩固】
1.若平面向量 a 与 b 满足： |a|=2,|b|=1,|a+b|=7 则 a 与 b 的夹角为（??? ）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?60°??????????????????????????????????????D.?120°
2.在平面直角坐标系中，以 O(0,0) ， A(1,1) ， B(3,0) 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（??? ）
A.?(?3,1)????????????????????????????????B.?(4,1)????????????????????????????????C.?(?2,1)????????????????????????????????D.?(2,?1)
3.若过点 P(3,2m) 和点 Q(?m,2) 的直线与方向向量为 a=(?5,5) 的直线平行，则实数 m 的值是（?? ）
A.?13?????????????????????????????????????????B.??13?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?-2
4.过 A4,y ， B(2,?3) 两点的直线的一个方向向量为 n=(?1,?1) 则 y= （??? ）
A.??32???????????????????????????????????????B.?32???????????????????????????????????????C.?-1???????????????????????????????????????D.?1
5.设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ ，若平面 α,β 的法向量分别为 n1,n2 ，则 |cosθ|= （??? ）
A.?n1?n2|n1||n2|?????????????????????????????????B.?|n1?n2||n1||n2|?????????????????????????????????C.?|n1||n2|n1?n2?????????????????????????????????D.?|n1||n2||n1?n2|
6.已知向量 a=(2,1,?5) ， b=(4,y,z) ，且 a//b ，则 y+z= （??? ）
A.?-8?????????????????????????????????????????B.?-12?????????????????????????????????????????C.?8?????????????????????????????????????????D.?12
7.已知向量 a=(4,4,5) ， b=(?7,x,y) 分别是直线 l1 、 l2 的方向向量，若 l1⊥l2 ，则下列几组解中可能正确的是（??? ）
A.?x=2,y=4??????????????????????B.?x=4,y=3??????????????????????C.?x=1,y=3??????????????????????D.?x=6,y=2
8.如图，在棱长为1的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，点M是底面正方形 ABCD 的中心，点P是底面 ABCD 所在平面内的一个动点，且满足 ∠MC1P=30° ，则动点P的轨迹为（??? ）
A.?圆????????????????????????????????????B.?抛物线????????????????????????????????????C.?双曲线????????????????????????????????????D.?椭圆
9.已知向量 a=(?2,1),b=(3,5) ，则 a?2b= （??? ）
A.?(?8,?9)??????????????????????????B.?(?4,?9)??????????????????????????C.?(?5,?6)??????????????????????????D.?(8,11)
10.已知 e1,e2 是单位向量， e1?e2=?23 ，若平面向量 a 满足 a?e1=1 ， a?e2=2 且 a=xe1+ye2 ，则 x+y= （??? ）
A.?9???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?6
【培优提升】
11.若 A(0,2,198) ， B(1,?1,58) ， C(?2,1,58) 是平面内的三点，设平面的法向量 a=(x,y,z) ，则 x:y:z= ________．
12.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为4，M、N、P分别在棱 AB 、 BC 、 CC1 上，且 AM=1,BN=2,CP=3 ．过M、N、P三点的平面交 AC1 于点Q，则A、Q两点间的距离为________．
13.设 △OAB 中， OA=a ， OB=b 且满足 |a?b|=|a| ， |a+b|=2 ，当 △OAB 面积最大时，则 a+b 与 b 夹角的大小是________.
14.如图，在四边形 ABCD 中， ∠B=60° ， AB=2 ， BC=6 ， AD=1 ，若M，N是线段 BC 上的动点，且 |MN|=1 ，则 DM?DN 的取值范围为________．
15.已知平面向量 a=(3,?2) ， b=(1,?m) 且 b?a 与 c=(2,1) 共线.
（1）求 m 的值；
（2）a+λb 与 a?b 垂直，求实数 λ 的值.
16.如图，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中， AB=AC,A1C⊥BC1,AB1⊥BC1 ，D，E分别是 AB1,BC 的中点.求证：
（1）DE// 平面 ACC1A1 ；
（2）AE⊥ 平面 BCC1B1 .(用向量方法证明)
17.已知 |a|=4,|b|=3,(2a?3b)?(2a+b)=61 .
（1）求 a 与 b 的夹角为θ；
（2）求 |a+b| ；
（3）若 AB ＝ a ， BC ＝ b ，求△ABC的面积．
18.从① (DA+DC)⊥(DA?DC) ，② AC?D1B=0 ，③ cos?A1D1,AC?=22 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，求异面直线 D1B 与 CB1 所成角的余弦值.
问题：如图，在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中，以D为原点建立空间直角坐标系，已知 D1(0,0,4),C(0,2,0) ，? ▲? .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
【参考答案】
1.【答案】 C
2.【答案】 A
3.【答案】 B
4.【答案】 C
5.【答案】 B
6.【答案】 A
7.【答案】 A
8.【答案】 D
9.【答案】 A
10.【答案】 A
11.【答案】 2：3：（-4）
12.【答案】 23
13.【答案】 31010
14.【答案】 [114,15]
15.【答案】 （1）解：由题意得： b?a=(?2,2?m) ， c=(2,1)
因为 b?a 与 c=(2,1) 共线
所以 (?2)×1?2(2?m)=0 ，
解得 m=3
（2）解：由（1）可知 b=(1,?3) ，于是 a+λb=(3+λ,?2?3λ) ，
而 a?b=(2,1) ，
由于 (a+λb)⊥(a?b) ，
从而 2(3+λ)?(2+3λ)=0 ，
解得： λ=4
16.【答案】 （1）证明：设 AB=a,AC=b,AA1=c .
DE=AE?AD=12(a+b)?12AB1=12(a+b)?12(a+c)=12(b?c) ，
∵ A1C=AC?AA1=b?c ，
∴ DE=12A1C ，
∴ DE//A1C ，又 DE? 平面 ACC1A1,A1C? 平面 ACC1A1 ，
∴ DE// 平面 ACC1A1
（2）证明：易知 AE=12(a+b),BC=b?a,BB1=c,BC1=b?a+c,AB1=a+c ，
∵ A1C⊥BC1,AB1⊥BC1 ，
∴ {A1C?BC1=0AB1?BC1=0
即 {(b?c)?(b?a+c)=0,(a+c)?(b?a+c)?0,
两式相加，整理得 b2?a2+b?c+a?c=0 ，
∵ AB=AC ，
∴ |a|=|b| ，
∴ b?c+a?c=0 .
∵ AE?BB1=12(a+b)?c=12(a?c+b?c)=0 ，
∴ AE⊥BB1 .
又 AE?BC=12(b2?a2)=0 ，
∴ AE⊥BC .
又 BC∩BB1=B ，
∴ AE⊥ 平面 BCC1B1
17.【答案】 （1）解：因为 (2a?3b)?(2a+b)=61 ，
所以 4|a|2?4a?b?3|b|2=61 .
又 |a|=4,|b|=3 ，
所以 64?4a?b?27=61 ，
所以 a?b=?6 ，
所以 cosθ=a?b|a||b|=?64×3=?12 .
又0≤θ≤π，所以 θ=2π3
（2）解： |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a?b+|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以 |a+b|=13
（3）解：因为 AB 与 BC 的夹角 θ=2π3 ，
所以∠ABC＝ π?2π3=π3 .
又 |AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3 ，
所以S△ABC＝ 12×4×3×32=33
18.【答案】 解：选①.
∵ (DA+DC)⊥(DA?DC) ，
∴ (DA+DC)?(DA?DC)=0 ，
∴ DA2?DC2=0 ，
即 DA=DC=2 .
∴ B(2,2,0),B1(2,2,4) ，
∴ D1B=(2,2,?4),CB1=(2,0,4) ，
∵ cos=D1B?CB1→|D1B|?|CB1|=?1226×25=?3010 ，
∴异面直线 D1B 与 CB1 所成角的余弦值为 3010 .
选②.
设 A(a,0,0) ，其中 a>0 ，
从而 B(a,2,0),B1(a,2,4) ，
∴ AC=(?a,2,0),D1B=(a,2,?4) .
∵ AC?D1B=0 ，∴ ?a2+4=0 ，
由于 a>0 ，所以 a=2 .
∴ D1B=(2,2,?4),CB1=(2,0,4) ，
∴ cos?D1B,CB1?=D1B?CB1|D1B|?|CB1|=?1226×25=?3010 ，
∴异面直线 D1B 与 CB1 所成角的余弦值为 3010 .
选③.
cos?A1D1,AC?=cos?AD,AC?=22 ，
∴ ∠DAC=45° ，
∴ DA=DC=2 .
解法同①.