6.4平面向量的应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专题训练（Word版含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【6.4平面向量的应用专题训练】
【基础巩固】
1.在 △ABC 中， B=π3 ， C=π4 ， AB=2 ，则 AC= （??? ）
A.?3????????????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?33
2.2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台.根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回收点A，B，他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A，再向南偏东60°方向走30米，到达回收点B，则他从回收点B回到自家楼下至少还需走（??? ）
A.?50米????????????????????????????????????B.?57米????????????????????????????????????C.?64米????????????????????????????????????D.?70米
3.如图所示，在四面体ABCD中， △ABC 为等边三角形， AB=1 ， CD=12 ， ∠ACD=60° ， AB⊥CD ，则 BD= （??? ）
A.?32???????????????????????????????????????B.?72???????????????????????????????????????C.?52???????????????????????????????????????D.?32
4.已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F ，准线为 l ， M 是 x 轴正半轴上的一点，线段 FM 交抛物线于点 A ，过 A 作 l 的垂线，垂足为 B .若 BF⊥BM ，则 |FM|= （??? ）
A.?52???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?72???????????????????????????????????????????D.?4
5.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 b2=ac ， c=2a ，则 cosC= （??? ）．
A.?24?????????????????????????????????????B.?34?????????????????????????????????????C.??24?????????????????????????????????????D.??34
6.《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为 π8 米，一只手臂长约为 π4 米，“弓”所在圆的半径约为 1516 米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（??? ）
A.?1516 米?????????????????????????????B.?15216 米?????????????????????????????C.?15316 米?????????????????????????????D.?15332 米
7.在 △ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 b=3 ， 2c?a=2bcosA ，则 a+c 的最大值为（??? ）
A.?3??????????????????????????????????????B.?23??????????????????????????????????????C.?32??????????????????????????????????????D.?2
8.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 ，点 E,F 分别是棱 B1C1 ， A1D1 的中点，则异面直线BE，DF所成角的余弦值为（??? ）
A.?55???????????????????????????????????????B.?35???????????????????????????????????????C.?45???????????????????????????????????????D.?255
9.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是（??? ）
A.?25????????????????????????????????????B.??25????????????????????????????????????C.?215????????????????????????????????????D.??215
10.在 ΔABC 中，若 3sinA+cosA=1 ， AB=2 ， AC=3 ，则边 BC 的长为（??? ）
A.?7???????????????????????????????????????B.?19???????????????????????????????????????C.?10???????????????????????????????????????D.?4
【培优提升】
11.在 △ABC 中， cosC=23 ， AC=4 ， BC=3 ，则 sinB= ________.
12.在 △ABC 中，三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 a=2 ， b=3 ， c=4 ，则 cosA= ________.
13.如图，在 △ABC 中， AC=1 ， BC=3 ， C=π2 ，点 D 是边 AB （端点除外）上的一动点.若将 △ACD 沿直线 CD 翻折，能使点 A 在平面 BCD 内的射影 A′ 落在 △BCD 的内部（不包含边界），且 A′C=73 .设 AD=t ，则的取值范围是________.
14.在 △ABC 中， AB=2 ， AC=32 ， ∠BAC=135° ，M是 △ABC 所在平面上的动点，则 w=MA?MB+MB?MC+MC?MA 的最小值为________．
15.已知a，b，c分别是 △ABC 三个内角A，B，C的对边，且 3asinC=ccosA+c ．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）在① △ABC 的周长为 6+23 ，② △ABC 的面积为 3 ，③ c?1cosB=32 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求B的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：已知 b=2 ，? ▲? ?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16.在 △ABC C中，角A，B，C所对的边分别为a，b、c，已知 b=c?cosA+a2 ．
（1）求角C的大小；
（2）若 c=23 ， △ABC 的面积为 3 ，分别求a+b、 sinA+sinB 的值．
17.在 △ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 所对的边，已知 acosA=R ，其中 R 为 △ABC 外接圆的半径.
（Ⅰ）求 A ；
（Ⅱ）若 b?a=1 ， tanB=22 ，求 △ABC 的面积.
18.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上有一点 A ，它关于原点的对称点为 B ，点 F 为椭圆的右焦点，且满足 AF⊥BF ，设 ∠ABF=α ，且 α∈[π12,π6] ，求该椭圆的离心率 e 的取值范围．
【参考答案】
1.【答案】 B
2.【答案】 D
3.【答案】 D
4.【答案】 B
5.【答案】 C
6.【答案】 C
7.【答案】 B
8.【答案】 B
9.【答案】 A
10.【答案】 B
11.【答案】 459
12.【答案】 78
13.【答案】 (23,21?32)
14.【答案】 ?283
15.【答案】 解：（Ⅰ）在 △ABC 中， 3asinC=ccosA+c ，
由正弦定理可得 3sinAsinC=sinCcosA+sinC ，
∵sinC≠0 ，则 3sinA=cosA+1 ，
即 23sinA2cosA2=2cos2A2 ，由 A2∈(0,π2) ，
则 3sinA2=cosA2 ，所以 tanA2=33 ，
所以 A2=π6 ，解得 A=π3 .
（Ⅱ）选① △ABC 的周长为 6+23 ，
由 b=2 ，则 a+c=4+23 ，
又 asinA=bsinB=csinC=a+csinA+sinC=4+2332+sinC ，
sinC=casinA=32?ca ，所以 a32=4+2332+sinC ，
? a32=4+2332+32?ca ，解得 a+c=4+23 ，（i）
又 a2=b2+c2?2bccosA=4+c2?2c ，（ii）
由（i）（ii）可得 a=23 ， c=4 ，
asinA=bsinB?2332=2sinB ，解得 sinB=12 ，
由因为 a>b ，所以 B=π6 .
选②， △ABC 的面积为 3 ， b=2 ， A=π3 ，
则 S△ABC=12bcsinA=32c=3 ，解得 c=2 ，
所以 △ABC 为等边三角形，所以 B=π3 .
选③， c?1cosB=32 ， A=π3 ， b=2 ，
由余弦定理可得 c?1=32?a2+c2?b22ac=3?a2+c2?44ac ，（iii）
又 a2=b2+c2?2bccosA=4+c2?2c ，（iv）
由（iii）（iv）联立，无解，三角形不存在.
16.【答案】 （1）解：∵ sinB=sinC?cosA+12sinA
∴ 2sin(A+C)=2sinC?cosA+sinA
∴ 2sinAcosC=sinA ,
∵ A∈(0,π),∴sinA≠0 ,
∴ cosC=12,∵C∈(0,π)∴C=π3
（2）解：∵ 12absinC=3 ? ∴ ab=23sinC=4
又∵ c2=a2+b2?2abcosC
∴ 12=a2+b2?ab=(a+b)2?3ab
∴ (a+b)2=12+3ab=24,∴a+b=26
∴ sinA+sinB=sinCc?(a+b)=14?26=62
17.【答案】 解：（Ⅰ）由正弦定理得 2RsinAcosA=R 有 sin2A=1 ，
又 2A∈(0,2π) ，故 2A=π2 ， A=π4 .
（Ⅱ）由题得 sinB=223 ，故 ba=sinBsinA=43 ，
又 b?a=1 ，则 b=4 ， a=3 .
sinC=sin(B+π4)=223?22+13?22=4+26 ，
S△ABC=12absinC=4+2
18.【答案】 解：如图所示，设椭圆的左焦点为 F1 ，连接 AF1,BF1 ，则四边形 AFBF1 为矩形，
∴|AB|=|FF1|=2c,|AF|+|BF|=2a ．
∵|AF|=2csinα,|BF|=2ccosα ，
∴2csinα+2ccosα=2a ，
∴e=1sinα+cosα=12sin(α+π4) ．
∵α∈[π12,π6] ，
∴α+π4∈[π3,5π12] ，
∴sin(α+π4)∈[32,2+64] ，
∴2sin(α+π4)∈[62,1+32] ，
∴椭圆的离心率 e∈[3?1,63]