7.1复数的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【7.1复数的概念】
【学习目标】掌握复数的有关概念
正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系
理解复数的几何意义
【难点突破】
知识点1：.复数的概念
我们把形如falsefalse的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.
全体复数梭构成的集合C=false叫做复数集，其中false
知识点2：复数的几何意义
复数z=a+bifalse.这是复数的一种几何意义.
复数的几何意义---与向量对应
复数z=a+bifalse,这是复数的另一种几何意义.
知识点3：复数的模和共轭复数
1.向量false模叫做复数z=false,的模或绝对值，记作false或false.即false=false=false，其中a,b∈R，false表示复平面内的点Zfalse到原点的距离。
2.如果b=0，那么z=false是一个实数a，它的模就等于falsefalse.
共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用false表示，即如果z=a+bi,那么false=a-bi.
特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.
【例题分析】
例1.若复数z的共轭复数记作z_ ，且复数 z 满足2z+z=3?2i ， 其中i为虚数单位，所以z_的虚部为（??? ）
A.??2i?????????????????????????????????????????B.?2i?????????????????????????????????????????C.?-2?????????????????????????????????????????D.?2
【答案】 D
【解析】设 z=a+bi(a,b∈R) ，则 z=a?bi ，
2z+z=2(a+bi)+a?bi=3a+bi=3?2i ，
所以 a=1 ， b=?2 ，所以 z=1?2i ，故 z=1+2i ，
所以 z 的虚部为2.
故答案为：D.
例2.在复平面内，三点 A 、 B 、 C 分别对应复数 zA 、 zB 、 zC ，若 zB?zAzC?zA=1+43i ，则 ΔABC 的三边长之比为________
【答案】 3：4：5
【解析】设 AB 表示的复数为 a+bi ， AC 表示的复数为 c+di ，
则 a+bi=(c+di)(1+43i)=(c?43d)+(d+43c)i ，
所以 a=c?43d ， b=d+43c ，
所以 BC 表示的复数为 AC?AB=(c?a)+(b?d)i=43d?43ci ，
所以 AC?BC=(c,d)?(43d,?43c)=0 ，
所以 AC⊥BC ,
又 ABAC=|zB?zA||zC?zA| ，所以 ABAC=|1+43i|=12+(43)2=53 ，
又 AC⊥BC ,则 BCAC=52?323=43 ，
所以 ΔABC 的三边长之比为： 3:4:5 ,
故答案为： 3:4:5 .
【小题演练】
1.已知复数z满足 |z|?z=1+i （i为虚数单位），则 z= （??? ）
A.?i???????????????????????????????????????B.??i???????????????????????????????????????C.?1?i???????????????????????????????????????D.?1+i
2.已知 a∈R ，若有 |a?i|=5 （ i 为虚数单位），则 a= （??? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?-2?????????????????????????????????????????C.?±2?????????????????????????????????????????D.?±1
3.若复数z满足 z+(5?6i)=3 ，则z的虚部是（ ???）
A.??2i?????????????????????????????????????????B.?6i?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?6
4.设复数 z 满足： (1+i)z=2?i ，则 z 的虚部为（??? ）
A.?12i??????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????C.??32i??????????????????????????????????????D.??32
5.已知复数z满足 z?(1+2i)=5 ，则z的虚部是________， |z|= ________．
6.若复数 z 满足 (1?2i)z=10 （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为________， |z|= ________
【参考答案】
1.【答案】 B
【解析】解：令 z=a+bi ，
因为 |z|?z=1+i ，所以 a2+b2?(a+bi)=1+i ，即 a2+b2?a?bi=1+i ，
所以 {a2+b2?a=1?b=1 ，解得 {a=0b=?1 ，
所以 z=?i ，
故答案为：B。
2.【答案】 C
【解析】因为 a∈R
所以 |a?i|=a2+(?1)2=5 ，
即 a2+1=5 ，
解得 a=±2 ，
故答案为：C
3.【答案】 D
【解析】 z=3?(5?6i)=?2+6i ，则z的虚部是 6。
故答案为：D。
4.【答案】 D
【解析】因为 (1+i)z=2?i ，故可得 z=2?i1+i=(2?i)(1?i)(1+i)(1?i)=12?32i 。
则 z 的虚部为： ?32 。
故答案为：D.
5.【答案】 -2；5
【解析】 ∵z?(1+2i)=5 ，
∴z=51+2i=5(1?2i)(1+2i)(1?2i)=1?2i ，
∴ z的虚部是 ?2 ， |z|=12+(?2)2=5 .
故答案为：-2； 5 .
6.【答案】 4；25
【解析】 z=101?2i=10(1+2i)(1?2i)(1+2i)=10(1+2i)5=2+4i ，
所以复数 z 的虚部是4， |z|=22+42=25 ,
故答案为： 4 ； 25。