8.1基本立体图形-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（word含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【8.1基本立体图形】
【学习目标】掌握立体图形的结构特征
【难点突破】
知识点1：棱柱的结构特征
一般地,有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互侧相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
知识点2：棱锥的结构 一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥
知识点3：棱台于圆台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分，这样的几何体叫做棱台
【例题分析】
例1.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为2， AB ， AD 中点分别为 E ， F ，若过 EF 的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（??? ）
A.?2+213????????????????????????B.?2+13????????????????????????C.?32+25????????????????????????D.?32+5
【答案】 A
【解析】将面 BCC1B1 展开与面 ABB1A1 处于同一平面要使 EQ+QC1+FH+HCl 最大,则沿面 C1QEFH 切才能保证五点共面，在 Rt△ECC1 中, CC1=BC=2,BE=12AB=1 ,此时 EQ+QC1=22+(2+1)2=13 ,又 FH+HC1=EQ+QC=13 ，
∴ 该五边形周长的最大值为 EF+2(EQ+QC1)=2+213。
故答案为：A
例2.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，过点 C 做直线 l ，使得直线 l 与直线 BA1 和 B1D1 所成的角均为 70o ，则这样的直线 l （??? ）
A.?不存在???????????????????????????????????B.?2条???????????????????????????????????C.?4条???????????????????????????????????D.?无数条
【答案】 C
【解析】因为 B1D1//BD ，过点 C 做直线 l 可以转化为过 B 做直线 l 与直线 BA1 和 BD 所成的角均为 70o ，由于 BA1 与 BD 所成的角都等于 60o ，所以当直线 l 是 ∠A1BD 的角平分线时与 A1B、BD 都成 30o ，然后直线 l 绕着点B转动，在与平面 A1BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成 70o ，同理在 ∠A1BD 的对顶角中也有一条直线 l 与两条直线都成 70o ，
因为 ∠A1BD 的补角是 120o ，角平分线与两条直线都成 60o ，当直线 l 绕着点B从 ∠A1BD 一侧的补角角平分线开始转动，在与平面 A1BD 垂直的过程中有一条直线与两条直线都成 70o ，同理另一侧的补角也存在一条，所以共有4条.
故答案为：C.
【小题演练】
1.如图，正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， AP=2PA1 ，点 M 在侧面 AA1B1B 内.若 D1M⊥CP ，则点 M 的轨迹为（?? ?）
A.?线段?????????????????????????????B.?圆弧?????????????????????????????C.?抛物线一部分?????????????????????????????D.?椭圆一部分
2.已知正三棱柱 ABC?A1B1C1 ，的体积为 163 ，底面积为 43 ，则三棱柱 ABC?A1B1C1 的外接球表面积为（??? ）
A.?1123π???????????????????????????????????B.?563π???????????????????????????????????C.?2243π???????????????????????????????????D.?28π
3.在三棱锥 P?ABC 中， PA⊥ 平面 ABC ， AP=2 ， AB=22 ， AC=4 ， ∠BAC=45° ，则三棱锥 P?ABC 外接球的表面积是（??? ）
A.?14π?????????????????????????????????????B.?16π?????????????????????????????????????C.?18π?????????????????????????????????????D.?20π
4.如图，在侧棱垂直底面的三棱柱 ABC?A1B1C1 中， ∠BAC=90° ， AB=AC=22AA1 ， D ， E 分别是棱 AB ， B1C1 的中点， F 是棱 CC1 上的一动点，记二面角 D?EF?B 的大小为 α ，则在 F 从 C1 运动到 C 的过程中， α 的变化情况为（??? ）
A.?增大???????????????????????????B.?减小???????????????????????????C.?先增大再减小???????????????????????????D.?先减小再增大
5.在空间中，两个不同平面把空间最少可分成________部分，最多可分成________部分.
6.已知球 O1 是棱长为2的正方体 ABCD?A1B1C1D1 的内切球，球 O2 (在正方体 ABCD?A1B1C1D1 内部)与平面 ABCD ，平面 ABB1A1 和平面 ADD1A1 都相切，并且与球 O1 相切，则球 O1 与球 O2 的半径之比为________.
【参考答案】
1.【答案】 A
【解析】如图建立空间直角坐标系，
设棱长为3， P(3,0,2) ， C(0,3,0) ， D1(0,0,3) ， M(3,y,z) ， D1M=(3,y,z?3) ， CP=(3,?3,2) ，
D1M?CP=9?3y+2(z?3)=0 ，整理为： 3y?2z?3=0 ，
所以点 M 的轨迹方程是关于 y,z 的二元一次方程，所以点M的轨迹是平面 ABB1A1 平面内，直线 3y?2z?3=0 内的一段线段。
故答案为：A
2.【答案】 A
【解析】依题意， AA1=16343=4 ，而 S△ABC=12AB×AC×sinA=34AB2=43 ，
解得 AB=4 ，记 △ABC 的中心为О， △A1B1C1 的中心为О1 ， 则 AA1=OO1=4 ，
取 OO1 的中点 D ，因为 AO=CO ， ∠AOD=∠COD=90? ，由勾股定理得 AD=CD ，
同理可得 AD=BD=A1D=B1D=C1D ，
所以正三棱柱的外接球的球心为即 D ， AD 为外接球的半径，
由正弦定理得 AO=AB2sin60?=433 ，
故 AD2=OD2+AO2=4+163=283 ，
故三棱柱 ABC?A1B1C1 的外接球表面积 S=4πR2=4π×283=1123π ，
故答案为：A．
3.【答案】 D
【解析】在 △BAC 中， ∠BAC=45° ， AB=22 ， AC=4 ，
由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2?2AB?ACcosπ4=8+16?2×4×22×22=22 ，
则 BC2+AB2=AC2 ，所以 BC⊥AB ，
由 PA⊥ 平面 ABC ，则 PA⊥BC ， PA∩AB=A ，
所以 BC⊥ 平面 PAB ，
所以 BC⊥PB ，
所以 △PBC 为直角三角形，
又 △PAC 为直角三角形，
所以 PC 是外接球直径，O是 PC 的中点，即为球心，
又 AB=BC=22,?PA=2 ，
所以 PC=22+(22)2+(22)2=25 ，
所以外接球半径为 5 ，
所以球O的体积 V=4π×(5)2=20π 。
故答案为：D.
4.【答案】 D
【解析】过 D 作 DD1⊥BC 交 BC 于 D1 ，
因为三棱柱侧棱垂直底面，所以 BB1⊥ 面 ABC ， DD1? 面 ABC ，
所以 BB1⊥DD1 ，
又 BB1∩BC=B ， BB1,BC? 面 BB1C1C ，
所以 DD1⊥ 面 BB1C1C ， EF? 面 BB1C1C ，所以 DD1⊥EF ，
过 D 作 DD2⊥EF 交 EF 于 D2 ，连接 D1D2 ，
DD1∩DD2=D ， DD1,DD2? 平面 DD1D2 ，
所以 EF⊥ 平面 DD1D2 ，又 D1D2? 平面 DD1D2 ，
所以 EF⊥D1D2 ，所以 ∠D1D2D 是二面角 D?EF?B 的平面角，即 ∠D1D2D =α ，
由 DD1⊥ 面 BB1C1C ， D1D2? 面 BB1C1C ，得 DD1⊥D1D2 ，
因为 ∠BAC=90° ， AB=AC=22AA1 ，所以 BC=AA1=BB1 ，
即 BB1C1C 是正方形，
D 是 AB 中点，则 D1 是 BC 的四等分点．
设 BC=4 ，则 DD1=BD1=1 ，
在平面 B1BCC1 上以 B1C1 ， B1B 为 x,y 轴建立平面直角坐标系，
如图，则 D1(1,4) ， E(2,0) ，设 F(4,t) ， 0≤t≤4 ，
kEF=t2 ，直线 EF 的方程为 y=t2(x?2) ，即 tx?2y?2t=0 ，
D1 到直线 EF 的距离为 D1D2=|t?8?2t|t2+4=t+8t2+4 ，
tanα=DD1D1D2=t2+4t+8 ，
设 f(t)=t2+4(t+8)2 ，则 f′(t)=8(2t?1)(t+8)3 ，
当 0≤t<12 时， f′(t)<0 ， f(t) 递减，当 120 ， f(t) 递增．
所以 tanα 先减后增，而 α 为锐角，所以 α 先减后增．
故答案为：D．
5.【答案】 3；4
【解析】解：两个平行平面将空间分成3部分，两个相交平面可以将空间分成4部分，
故答案为：3；4。
6.【答案】 2+3
【解析】球 O1 的半径为1，设球 O2 的半径为r，
则有 (1+r)2?(1?r)2=(2?2r)2 ，
解得 r=2?3 ，所以球 O1 与球 O2 的半径之比为 12?3=2+3 。
故答案为： 2+3。