8.2立体图形的直观图-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（word含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【8.2立体图形的直观图】
【学习目标】了解直观图的概念以及会用斜二测法水平放置的平面图形的直观图
【难点突破】
知识点1：直观图
定义:直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何图获得的图形，画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。
因此，直观图汪汪与立体图形的真实形状不完全相同。
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形
知识点2：斜二测画法规则
(1）在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x，轴与y'轴，两轴相交于点O，，且false=45°（或135°)，它们确定的平面表示水平面
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段。在直观图中分剔画成平行于x，轴与y，轴的线段
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 .
【例题分析】
例1.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示）， ∠ABC=450,AD=AB=12BC=1 ，则该平面图形的面积为（??? ）
A.?3??????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????C.?322??????????????????????????????????????D.?324
【解析】由 ∠ABC=450,AD=AB=12BC=1
根据斜二测画法可知：
原平面图形为：下底边长为2，上底为1，高为2的直角梯形，
所以 S=1+22×2=3 .
故答案为：A
例2.如图，平行四边形 O′A′B′C′ 是四边形 OABC 的直观图.若 O′A′=3 ， O′C′=2 ，则原四边形 OABC 的周长为________.
【答案】 14
【解析】】解：因为平行四边形 O′A′B′C′ 是四边形 OABC 的直观图，且 ∠A'O'C'=45° ，
所以四边形 OABC 是矩形，且 OA=3,OC=4 ，
所以四边形 OABC 的周长为 2×(3+4)=14 ，
故答案为：14
【小题演练】
1.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形 OA′B′C′ ，且直观图 OA′B′C′ 的面积为2，则该平面图形的面积为（??? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?42????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?22
2.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形所得的直观图的面积是（?? ）
A.?22??????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????C.?42??????????????????????????????????????D.?82
3.若水平放置的四边形 AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 A′C′//O′B′ ， A′C′⊥B′C′ ， A′C′=B′C′=1 ， O′B′=2 ，则原四边形 AOBC 的面积为（??? ）
A.?32????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?32????????????????????????????????????????D.?62
4.如图所示，正方形 O′A′B′C′ 的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（??? ）
A.?1cm2?????????????????????????????B.?22cm2?????????????????????????????C.?32cm2?????????????????????????????D.?24cm2
5.等边三角形 AOB 的边长为 a ，建立如图所示的直角坐标系 xOy ，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是________．
6.四边形 ABCD 的直观图是一个底角为 45? ，腰和上底均为1的等腰梯形 A′B′C′D′ ，那么四边形 ABCD 的面积为________.
【参考答案】
1.【答案】 B
【解析】解：设等腰梯形 OA′B′C′ 对应该平面图形 OABC ，则 OA=O′A′,BC=B′C′,OC=2O′C′ ， OC⊥OA ， SOA′B′C′=12(O′A′+B′C′)?22OC′=2 ，
SOABC=12(OA+BC)OC=12(O′A′+B′C′)?2OC′=42 ，
故答案为：B.
2.【答案】 B
【解析】用斜二测画法画边长为2的正方形为一个角为45°，底为2，高为22的平行四边形，平行四边形的面积为2×22=2 ，
故答案为：B。
3.【答案】 C
【解析】根据图象可得，四边形 AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，且 ∠A'O'B'=π4 ， Ο′Β′⊥B′C′ ， A′C′=B′C′=1 ， O′B′=2 ， ∴A'O'=2 ， AO=2A'O'=22 ，
AC=A'C'=1 ， OB=O'B'=2 ，且 AO⊥OB ， AC//OB ，所以，
原四边形 AOBC 的面积为 S=12(AC+OB)×AO=12×(1+2)×22=32 ，
故答案为：C。
4.【答案】 B
【解析】如图所示，
由斜二测画法的规则知与 x′ 轴平行的线段其长度不变，
正方形的对角线在 y′ 轴上，
可求得其长度为 2 ，故在原平面图中其在 y 轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为 22 ，
所以原来的图形是平行四边形，
其在横轴上的边长为1，高为 22 ，
所以它的面积是 1×22=22(cm2) ，
故答案为：B．
5.【答案】 616a2
【解析】过 B 作 BD⊥OA,BC⊥OC ，则 OD=12a,BD=OC=32a ，作 x′ 轴和 y′ 轴，使得 ∠x′O′y′=450 ，在 x′ 轴上取点 A′,D′ ，
使得 O′A′=OA=a,O′D′=OD=12a ，在 y′ 轴上取点 C′ ，使得 O′C′=12OC=34a ，过点 C′ C′B′//x′ 轴，使得 C′B′=O′D′=12a ，连接 O′B′,A′B′,B′D′ ，则 ΔA′O′B′ 的直观图，由直观图作法可知 B′D′=O′C′=34a,∠B′D′A′=∠x′O′y′=450 ，过 B′ 作 B′E⊥O′A′ 于 E ，则 B′E′=B′D′sin450=68a ，所以 SΔA′O′B′=12O′A′?B′E′=12×a×68a=6a216 。
6.【答案】 2+2
【解析】由题意知直观图如图：
A′D′=1 ， D′C′=1 ， ∠D′A′B′=45? ，过点 D′ 作 D′O⊥A′B′ 于点 O ，所以 A′O=22 ，
所以 A′B′=1+22×2=2+1 ，
原图如图：
AB=1+2 ， AD=2 ， CD=1 ，所以梯形 ABCD 面积为 1+1+22×2=2+2 ，
故答案为： 2+2