7.2复数的四则运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（word含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【7.2复数的四则运算】
【学习目标】熟练掌握复数的加、减乘、除法则
【难点突破】
知识点1：复数的乘法法则
设false=false，false=false，(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（false）（false）=ac+bci+adi+bdfalse=（false）+（false）false
复数的除法法则
规定复数的除法是乘法的逆运算.
法则：
（false）÷（false）=false+falsei（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）
知识点2：
复数的加、减法法则
设false=false，false=falsefalse是任意两个复数，
那么他们的和（false）+（false）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.
知识点3：复数的运算的常用结论
（1）false（1+i）（1-i）=2；falsefalse；false；false；
false=0（N∈false）.
（2）false
【例题分析】
例1.已知定义在复数集C上的函数f(x)满足f(x)=1+x,x∈R1?ix,x?R? ，则f(1+i)等于（? ）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?2+i
【答案】 C
【解析】因为定义在复数集C上的函数f(x)满足 所以， ,故选C.
例2.已知 z=a+bi ( a，b∈R，i 是虚数单位), z1，z2∈C， 定义: D(z)=||z||=|a|+|b|，D(z1，z2)=||z1?z2||， 给出下列命题:
⑴对任意 z∈C， 都有 D(z)>0；
⑵若 z 是 z 的共轭复数,则 D(z)=D(z) 恒成立；
⑶若 D(z1)=D(z2)(z1，z2∈C)， 则 z1=z2；
⑷对任意 z1，z2，z3∈C， 结论 D(z1，z3)≤D(z1，z2)+D(z2，z3) 恒成立.
则其中所有的真命题的序号是________.
【答案】 ⑵⑷
【解析】解：对于（1），当 z=0 时， D(z)=|0|=|0|+|0|=0 ，命题（1）错误；
对于（2），设 z=a+bi ，则 z=a?bi ，
则 D(z)=|z|=|a| +|?b|=|a|+|b|=|z|=D(z) ，命题（2）正确；
对于（3），若 D(z1)=D(z2)?(z1,z2∈C) ，则 z1= z2 错误，如 z1=1+i,?z2=1?i ，满足 D(z1)=D(z2) (z1,z2∈C) ，但 z1≠z2 ；
对于（4），设 z1=a+bi,?z2=c+di,?z3=e+fi ，
则 D(z1,z2)=‖z1?z2‖=||(a?c)+(b?d)i||=|a?c|+|b?d| ，
D(z2,z3)=‖z2?z3‖=||(c?e)+(d?f)i||=|c?e|+|d?f| ，
D(z1,z3)=‖z1?z3‖=||(a?e)+(b?f)i||=|a?e|+|b?f| ，
由 |a?e|=|(a?c)+(c?e)|≤|a?c|+|c?e|,|b?f|=|(b?d)+(d?f)|≤|b?d|+|d?f| 得 D(z1，z3)≤D(z1，z2)+D(z2，z3) 恒成立，（4）正确．
∴正确的命题是（2）（4）．
故答案为（2），（4）．
【小题演练】
1.复数 (3+i1?i)2= （? ）
A.??3?4i???????????????????????????????B.??3+4i???????????????????????????????C.?3?4i???????????????????????????????D.?3+4i
2.若 z=1+i ，则 |z2?z|= （??? ）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?2
3.已知i为虚数单位，且复数 |3+4i|z=1?2i ，则复数z的共轭复数为（??? ）
A.??1+2i???????????????????????????????B.??1?2i???????????????????????????????C.?1+2i???????????????????????????????D.?1?2i
4.设复数 z 满足 1+z1?z=i ，则 z= （??? ）
A.?i?????????????????????????????????????????B.??i?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?1+i
5.复数 z1=1+i,z2=3?2i ，则 |z1|= ________， z1z2= ________．
6.已知复数 z=(a?2)+(2a?1)i 是纯虚数，其中 a 是实数， i 为虚数单位，则 a= ________. |z+1|= ________.
【参考答案】
1.【答案】 B
【解析】 (3+i1?i)2=(3+i)2(1?i)2=8+6i?2i=?3+4i
故答案为：B
2.【答案】 C
【解析】∵ z=1+i ，∴ z2?z=(1+i)2?(1+i)=?1?i ，
∴ |z2?z|=|?1?i|=2 。
故答案为：C。
3.【答案】 D
【解析】因为 |3+4i|z=1?2i ，所以 5z=1?2i ，则 z=51?2i=5(1+2i)(1?2i)(1+2i)=1+2i ，
因此复数z的共轭复数为 1?2i 。
故答案为：D.
4.【答案】 B
【解析】 1+z1?z=i 得 1+z=i(1?z) ，
即 z=i?11+i=(i?1)(1?i)(1+i)(1?i)=i ，
z=?i ，
故答案为：B。
5.【答案】 2；113+513i
【解析】 ∵z1=1+i ， ∴|z1|=12+12=2 ，
z1z2=1+i3?2i=(1+i)(3+2i)(3?2i)(3+2i)=1+5i13=113+513i 。
故答案为： 2 ； 113+513i 。
6.【答案】 2；10
【解析】因为复数 z=(a?2)+(2a?1)i 是纯虚数，
所以 a?2=0 且 2a?1≠0 ，所以 a=2 .
所以 |z+1|=|1+3i|=10 .
故答案为：2； 10 .