8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【8.3简单几何体的表面积与体积】
【学习目标】掌握棱柱、棱锥、棱台、的表面积与体积公式
【难点突破】
知识点1：棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
棱锥：椎体的底面面积为S，高为h，则V=falseSh
棱台：台体的上、下底面面积分别为false，false,高为h，则false
知识点2：1.圆柱表面积：false（r是底面半径，l是母线长）
2.圆锥表面积：false=false（r是底面半径，l是母线长）
3.圆台表面积：false（false分别是上、下底面半径，false是母线长）
4.球的表面积：false
知识点3：（1）圆柱体积：false（r是底面半径，h是高）
（2）圆锥体积：false（r是底面半径，h是高）
（3）圆台体积：false（false分别是上、下底面半径，false是高）
（4）球的体积：false
false
【例题分析】
例1.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（??? ）
A.?13.25立方丈????????????????????????B.?26.5立方丈????????????????????????C.?53立方丈????????????????????????D.?106立方丈
【答案】 B
【解析】由题，刍童的体积为 [(4×2+3)×3+(3×2+4)×2]×3÷6=26.5 立方丈
例2.某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1 ），则该几何体的体积为________，其外接球的半径为________.
【答案】 20；522
【解析】根据三视图可得如图直观图，
?
由 PD⊥ 底面 ABCD ，且底面为长方形，
所以四棱锥 P?ABCD 的体积 V=13×5×4×3=20 ，
由图可补全为长方体 ABCD?EFGP ，
所以体对角线 PB 为外接球直径， PB=42+52+33=52 ，
?
故四棱锥 P?ABCD 的外接球半径为 522 .
故答案为：20； 522 .
【小题演练】
1.如图，在三棱锥 P?ABC 中， AB⊥AC ， AB=AP ，D是棱 BC 上一点（不含端点）且 PD=BD ，记 ∠DAB 为 α ，直线 AB 与平面 PAC 所成角为 β ，直线 PA 与平面 ABC 所成角为 γ ，则（??? ）
A.?γ≤β,γ≤α?????????????????????B.?β≤α,β≤γ?????????????????????C.?β≤α,γ≤α?????????????????????D.?α≤β,γ≤β
2.已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则它的表面积是（??? ）
A.?2π????????????????????????????????????????B.?3π????????????????????????????????????????C.?4π????????????????????????????????????????D.?5π
3.已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（??? ）
A.?13????????????????????????????????????????B.?33????????????????????????????????????????C.?23????????????????????????????????????????D.?233
4.如图，已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为3，点 H 在棱 AA1 上，且 HA1=1 ， P 是侧面 DCC1D1 内一动点，且 HP=17 ，则四面体 HA1D1P 体积的最大值为（??? ）
A.?2????????????????????????????????????B.?72????????????????????????????????????C.?7????????????????????????????????????D.?17?3
5.某几何体的三视图是直角边长为lm的三个等腰直角三角形（如图），则该几何体的体积为________m3 ， 其外接球的表面积为________m2.
6.如图，平面四边形 ABCD 中， AB=AD=1 ， BD=2,CD=3,BD⊥CD 将其沿对角线 BD 折成四面体 A′?BCD ，使平面 A′BD⊥ 平面 BCD ，则四面体 A′?BCD 的外接球的球心到平面 A′CD 的距离等于________．
【参考答案】
1.【答案】 A
【解析】解：因为 AB=AP ， PD=BD ，所以 △ABD ≌ △APD ，
所以 ∠DAB=∠DAP=α ，
因为直线 PA 与平面 ABC 所成角为 γ ，
所以由最小角定理可得 γ≤α ，
因为 AB⊥AC ，所以 S△ABC=12AB?AC ,
因为 S△PAC=12AC?APsin∠PAC ， AB=AP ，
所以 S△PAC≤S△ABC ，
令点 P 到平面 ABC 的距离为 d1 ，点 B 到平面 PAC 的距离为 d2 ，
因为 VP?ABC=VB?PAC ， VP?ABC=13S△ABC?d1,VB?PAC=13S△PAC?d2
所以 d1≤d2 ，
因为直线 AB 与平面 PAC 所成角为 β ，直线 PA 与平面 ABC 所成角为 γ ，
所以 sinβ=d2AB,sinγ=d1PA
因为 AB=AP ，
所以 sinβ≥sinγ ，
因为 β,γ∈(0,π2] ，
所以 β≥γ ，
故答案为：A。
2.【答案】 B
【解析】设圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ，
因为圆柱的正视图为边长为2的等边三角形，可得 2r=2,l=2 ，所以 r=1 ，
所以圆锥的表面积为 S=S侧+S底=πrl+πr2=π×1×2+π×12=3π .
故答案为：B.
3.【答案】 B
【解析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，

底面是斜边上的高是1的直角三角形，
则两条直角边是 2 ，
斜边是2，
∴ 底面的面积是 12×2×2=1 ，
与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，
∴ 三棱锥的高是 3 ，
∴ 三棱锥的体积是 13×1×3=33
故答案为：B
4.【答案】 A
【解析】取线段 DD1 的三等分点 E (靠近 D1 点)，连接 HE ， PE ，
易得 HE⊥ 平面 DCC1D1 ， PE=HP2?HE2=22 ，
所以点 P 在以 E 为圆心 22 为半径的圆弧上(在侧面 DCC1D1 内)，
所以点 P 到平面 ADD1A1 距离的最大值即为 22 .
V=13?12HA1?A1D1??=16?1?3??≤2 .
故答案为：A.
5.【答案】 16；3π
【解析】∵该几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，
∴该几何体为如图所示的三棱锥 D1?DAC ， D1D⊥ 平面 DAC ， DA⊥AC ，
且 D1D=DA=AC=1 ，可将其补成一个边长为1的正方体，
则该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球，
∵补成的正方体的体对角线长l =12+12+12=3 为其外接球的直径d，
∴几何体的体积 V=13S△ADCDD1=13×12=16 ，
∴外接球的表面积 S=4π(d2)2=4π(32)2=3π ，
故答案为：① 16 ；②3π。
6.【答案】 12
【解析】取 BC 的中点为 M ，连接 A′M,DM ，
因为平面 A′BD⊥ 平面 BCD ， BD⊥CD ，平面 A′BD∩ 平面 BCD=BD ，
CD? 平面 BCD ，故 CD⊥ 平面 A′BD ，
因为 BA′? 平面 A′BD ，故 CD⊥BA′ ，
因为 A′B=A′D=1 ， BD=2 ，故 BD2=A′B2+A′D2 ，故 BA′⊥A′D ，
又 A′D∩DC=D ，故 BA′⊥ 平面 A′CD ，因为 A′C? 平面 A′CD ，
故 A′D⊥A′C ，而 M 为 BC 的中点，故 MA′=MB=MC ，
又 BD⊥DC ，所以 MD=MB ，故 M 为四面体 A′?BCD 外接球的球心.
设球心 M 到平面 A′CD 的距离为h，
因为 VB?A′CD=2VM?A′CD ，所以 13S△A′CDA′B=2×13S△A′CD? ，即 ?=12 .
故答案为： 12 .