8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【8.4空间点、直线、平面之间的位置关系】
【学习目标】熟练掌握空间点、直线、平面之间的位置关系
【难点突破】
知识点1空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行——没有公共点
两个平面相交——有一条公共直线
知识点2：空间中直线与直线的位置关系
异面直线
定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
空间中两条直线的位置关系
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：在同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
知识点3：空间中直线与平面的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点
直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面平行——没有公共点
【例题分析】
例1.已知m，n表示两条不同的直线， α,β 表示两个不同的平面，且 m⊥α,n?β ，则“ α⊥β ”是“ m//n ”的（??? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】若 m//n ，则由 m⊥α ，可知 n⊥α ，又 n?β ，故 α⊥β
若 m⊥α,n?β ， α⊥β ，则 m ， n 位置关系不确定.
“ α⊥β ”是“ m//n ”的必要不充分条件
故答案为：B
例2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1 ， C1D1的中点，则下列结论中，正确结论的序号是________(把所有正确结论序号都填上).
①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②B1D1//平面EFG；③四面体ACB1D1的体积等于 12 a3；④BD1⊥平面ACB1；⑤二面角D1－AC－D平面角的正切值为 22 .
【小题演练】
1.三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是（??? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
2.若直线 l 与平面 α 不平行，且直线 l 也不在平面 α 内，则 （??? ）
A.?α 内不存在与 l 异面的直线?????????????????????????????????B.?α 内存在与 l 平行的直线
C.?α 内存在唯一的直线与 l 相交?????????????????????????????D.?α 内存在无数条与 l 垂直的直线
3.已知E，F是四面体的棱 AB ， CD 的中点，过 EF 的平面与棱 AD ， BC 分别相交于G，H，则（??? ）
A.?GH 平分 EF ， BHHC=AGGD
B.?EF 平分 GH ， BHHC=GDAG
C.?EF 平分 GH ， BHHC=AGGD
D.?GH 平分 EF ， BHHC=GDAG
4.已知 α ， β 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（??? ）
A.?α⊥β ， m⊥β ，则 m//α????????????????????????????????B.?m//n ， m⊥α ，则 n⊥α
C.?m?α ， n//β ，则 m//n????????????????????????????????????D.?m//α ， m//β ，则 α//β
5.已知平面 α ， β ，直线 l ，若 α//β ， l?α ，则直线 l 与平面 β 的位置关系为________.
6.若 P∈l ， P∈α ， Q∈l ， Q?α ，则直线l与平面 α 有________个公共点；
【参考答案】
1.【答案】 A
【解析】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；
；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；
；（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；
综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分，
故答案为：A.
2.【答案】 D
【解析】对于A，如下图长方体中， α 内存在与 l 异面的直线 a ，错误；
对于B，如果 α 内存在与 l 平行的直线 a ，则 l//a ，由于 l?α ， a?α ，
所以 l//α ，与已知直线 l 与平面 α 不平行矛盾，错误；
对于C， 如下图长方体中， α 内直线 a、b 与 l 都相交，错误；
对于D，如下图，设 l∩α=A ，在 α 内过A点做与 l 垂直的直线 a ， α 内可以做无数条与直线 a 平行，且都与 l 垂直，正确.
故答案为：D.
3.【答案】 C
【解析】过 EF 的平面为平面 ABF 时， G 在 A 点， H 在 B 点，
所以 BHHC=0=AGGD ， EF 平分 GH ，
即 BHHC=AGGD ，所以舍去ABD，选C
故答案为：C
4.【答案】 B
【解析】对A，若 α⊥β ， m⊥β ，则 m//α 或 m?α ，A不符合题意；
对B，若 m//n ， m⊥α ，则由线面垂直的性质可得 n⊥α ，B符合题意；
对C，若 m?α ， n//β ，则 m 和 n 平行、相交或异面，C不符合题意；
对D，若 m//α ， m//β ，则 α 和 β 平行或相交，D不符合题意.
故答案为：B.
5.【答案】 l//β
【解析】若 α//β ，则 α 与 β 没有公共点，
l?α ，则 l 与 β 没有公共点，故 l//β .
故答案为： l//β .
6.【答案】 1
【解析】由于 P∈l ， P∈α ，所以直线 l 与平面 α 有公共点，而 Q∈l ， Q?α ，所以直线 l 与平面 α 相交，故直线l与平面 α 的公共点个数为 1 个.
故答案为：1