8.6空间直线、平面之间的垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（含答案）

高一数学人教版（2019）必修第二册
【8.6空间直线、平面之间的垂直】
【学习目标】掌握空间直线、平面之间的垂直的判定定理和性质定理
【难点突破】
知识点1：点到平面的距离
（1）过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
（2）定义：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
知识点2：直线与平面垂直性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
false
知识点3：直线与平面所成的角
一条直线1与一个平面false相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面false引垂线 PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角
【例题分析】
例1.如图，AB是⊙O直径，C是圆周上不同于A、B的任意一点，PA与平面ABC垂直，则四面体P_ABC的四个面中，直角三角形的个数有（??? ）
A.?4个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?1个???????????????????????????????????????D.?2个
【答案】 A
【解析】∵AB是圆O的直径，∴∠ACB= 90? ，即 BC⊥AC ,三角形 ABC 是直角三角形.
又∵ PA⊥ 圆O所在的平面，∴三角形 PAC 和三角形 PAB 是直角三角形,且BC在此平面中，∴ BC⊥ 平面 PAC ,∴三角形 PBC 是直角三角形.
综上，三角形 PAB ，三角形 ABC ，三角形 PBC ，三角形 PAC .直角三角形数量为4.
故答案为：A.
例2如图①，矩形 ABCD 中， AB=2 ， AD=4 ， E 是 BC 的中点，将三角形 ABE 沿 AE 翻折，使得平面 ABE 和平面 AECD 垂直，如图②，连接 BD ，则异面直线 BD 和 AE 所成角的余弦值为________.
【答案】 66
【解析】取 AE 的中点 O ，作 DF//AE 交 EC 延长线于 F ，则 ∠BDF 是异面直线 BD 和 AE 所成角或其补角，连接 OB,OF ， OD ，
∵ AB=BE ，所以 BO⊥AE ，
又平面 ABE ⊥ 平面 ECDA ，平面 ABE ∩ 平面 ECDA =AE ， BO? 平面 ABE ，
∴ BO⊥ 平面 ECDA ，
而 OD,OF? 平面 ECDA ，所以 BO⊥OF ， BO⊥OD ，
又∵ ∠ABE=90° ， AB=BE=2 ，所以 BO=2 ， AO=EO=2 ， AE=22 ，
DF//AE , AD//EF ，则 ADFE 是平行四边形， EF=AD=4,DF=AE=22 ，
在原矩形中 ∠BAE=∠BEA=45° ，则 ∠DAE=45°,∠CEA=135° ，
OD=AD2+AO2?2AD?AOcos45°=42+2?2×4×2×22=10 ，
OF=EF2+EO2?2EF?EOcos135°=42+2+2×4×2×22=26 ，
BD2=BO2+OD2=12 ， BF2=BO2+OF2=28 ，
在 △BDF 中， cos∠BDF=BD2+DF2?BF22BD?DF =12+8?282×12×22=?66 ，
所以异面直线 BD 和 AE 所成角的余弦为 66 ．
故答案为： 66 .
【小题演练】
1.如图，在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， M ， N 分别是 BC1 ， CD1 的中点，则下列说法错误的是(??? )
A.?MN 与 CC1 垂直?????????B.?MN 与 AC 垂直?????????C.?MN 与 BD 平行?????????D.?MN 与 A1B1 平行
2.三棱锥 P?ABC 的各棱长都相等， D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，下列四个结论中不成立的是（??? ）
A.?BC// 平面 PDF??????????????????????????????????????????????B.?DF⊥ 平面 PAE
C.?平面 PDE⊥ 平面 ABC???????????????????????????????????D.?平面 PAE⊥ 平面 ABC
3.在空间中，设 m、n 是不同的直线， α、β 表示不同的平面，则下列命题正确的是 （??? ）
A.?若 α//β,m//α ，则 m//β????????????????????????????????????B.?若 α⊥β,m⊥α ，则 m//β
C.?若 α⊥β,m//α ，则 m⊥β???????????????????????????????D.?若 α⊥β,m⊥α,n⊥β ，则 m⊥n
4.设m，n是两条不同的直线， α,β 是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（??? ）
① m⊥nn?α}?m⊥α ?? ② m⊥αm?β}?α⊥β ?? ③ m⊥αn⊥α}?m//n ??? ④ m?αn?βα//β}?m//n
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
5.如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC?A1B1C1 中， AB⊥BC ， AB=BC=CC1 ， E ，F分别是 BC ， B1C1 的中点，则异面直线 AF 与 C1E 所成角的余弦值是________．
6.已知 α,β 是空间两个不同的平面， m,n 是空间两条不同的直线，给出的下列说法：
①若 m//α，n//β ，且 m//n ，则 α//β ；
②若 m//α，n//β ，且 m⊥n ，则 α⊥β ；
③若 m⊥α，n⊥β ，且 m//n ，则 α//β ；
④若 m⊥α，n⊥β ，且 m⊥n ，则 α⊥β .
其中正确的说法为________(填序号)
【参考答案】
1.【答案】 D
【解析】如图：连接 C1D ， BD ，
∵ 在三角形 C1DB 中， MN//BD ，C符合题意．
∵CC1⊥ 平面 ABCD ， ∴CC1⊥BD ， ∴MN 与 CC1 垂直，A符合题意；
∵AC⊥BD ， MN//BD ， ∴MN 与 AC 垂直，B符合题意；
∵ MN//BD ， ∴MN 与 A1B1 不可能平行，D不符合题意
故答案为：D．
2.【答案】 C
【解析】对于A中，因为 D,F 分别是 AB,CA 的中点，可得 BC//DF ,
因为 BC? 平面 PDF ， DF? 平面 PDF ，所以 BC// 平面 PDF ，所以A符合题意；
对于B中，因为 AC=AB,BE=EC ，所以 BC⊥AE ，
同理可得 BC⊥PE ，
又因为 PE∩AE=E ，所以 BC⊥ 平面 PAE ，
又由 BC//DE ，所以 DF⊥ 平面 PAE ，所以B符合题意；
对于D中，由 DF⊥ 平面 PAE ，因为 DF? 平面 ABC ，
所以平面 PAE⊥ 平面 ABC ，所以D符合题意；
综上可得A、B、D都正确，所以C不正确.
故答案为：C.
3.【答案】 D
【解析】对于A，若 α//β,m//α ，可得 m//β 或 m?β ，A不符合题意；
对于B，若 α⊥β,m⊥α ，可得 m?β 或 m//β ，B不符合题意；
对于C，若 α⊥β,m//α ，则 m?β ，或 m//β ，或 m 与 β 相交，C不符合题意；
对于D，若 α⊥β,m⊥α,n⊥β ，则 m⊥n ，正确.
故答案为：D.
4.【答案】 C
【解析】对①，若 m⊥n,n?α ，则 m 和 α 可能相交，平行或在平面内，故①错误；
对②，若 m⊥α,m?β ，则由面面垂直的判定定理可得 α⊥β ，故②正确；
对③，若 m⊥α,n⊥α ，则由线面垂直的性质可得 m//n ，故③正确；
对④，若 m?α,n?β,α//β ，则 m 和 n 平行或异面，故④错误.
故答案为：C.
5.【答案】 53
【解析】连结BF，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，因为 E ，F分别是 BC ， B1C1 的中点，
所以 BF ∥ C1E ,则∠AFB（或其补角）即为异面直线 AF 与 C1E 所成角.
在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,因为侧棱垂直于底面，即 BB1⊥ABC ,所以 BB1⊥AB .
又 AB⊥BC ，且 BB1∩BC=B ,所以 AB⊥ 平面 BB1C1C ，而 BF? 平面平面 BB1C1C ，
所以 AB⊥BF
不妨设AB=2,
在直角三角形ABF中，AB=2, BF=1+22=5,AF=AB2+BF2=22+5=3
所以异面直线 AF 与 C1E 所成角的余弦值为： cosθ=53 .
故答案为： 53
6.【答案】 ③④
【解析】① m//α ， n//β ，且 m//n ，则 α,β 可能相交，故①错误；
② m//α ， n//β ，且 m⊥n ，则 α,β 可能相交，也可能平行，故②错误；
③ m⊥α ， n⊥β ，且 m//n ，则 α//β ，根据线面垂直的性质可知③正确；
④ m⊥α ， n⊥β 、且 m⊥n ，则 α⊥β ，根据线面垂直的性质可知④正确.
故答案为：③④.