2.3离散型随机变量的均值和方差-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3同步课时练（Word含解析）

高二年级（数学）学科习题卷
离散型随机变量的均值和方差
编号：109
一、选择题：
1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为(　　)
ξ 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
A． B． C． D．
2．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0. 8，则射击一次得分X的期望是(　　)
A．0.2 B．0.8 C．1 D．0
3．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B，则E(－ξ)的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
4. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A.100 B.200 C.300 D.400
5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　)
A． B． C． D．1
6. 口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是(　　)
A.4 B.4.5 C.4.75 D.5
7．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3．4．由此可以估计(　　)
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
8．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)
A．3·2－2　　　　　 B．2－4 C．3·2－10 D．2－8
9．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是(　　)
A．0和1 B．p和p2 C．p和1－p D．p和(1－p)p
10．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0．6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)
A．6和2．4 B．2和2．4 C．2和5．6 D．6和5．6
11．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)
A．0 B．1 C．4 D．2
12. 已知离散型随机变量X的概率分布列为
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其方差D(X)＝(　　)
A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
13. 已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)
A. n＝4，p＝0.6 B. n＝6，p＝0.4 C. n＝8，p＝0.3 D. n＝24，p＝0.1
14. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)
A. B. C. D.
二、填空题：
15. 随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
16. 某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是________元.
17．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，
则a＋b＝________．
18．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0．8，则其第一大题得分的均值为________．
三、解答题：
19．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值和方差．
20．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．
(1)求X的分布列、均值及方差；
(2)求Y的分布列、均值及方差．
21．如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量
在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．
22.在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场百家大众媒体投票选出
最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.
(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.
23.据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：
态度
调查人群 应该取消 应该保留 无所谓
在校学生 2 100人 120人 y人
社会人士 600人 x人 z人
已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流.求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.
1、解析：选C
　 根据概率和为1，可得x＝，E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝．
2、解析：选B　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8．
3、解析：选D　∵E(ξ)＝5×＝，∴E(－ξ)＝－E(ξ)＝－，故选D．
4、解析　设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1 000，0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)
＝2×1 000×0.1＝200.答案　B
5、解析：　X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．
所以E(X)＝1×＋2×＝．选A
6、解析　答案　B 由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝)＝，
P(X＝4)＝,C)＝，P(X＝5)＝,C)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.
7、解析：选B　∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
8、解析：选C　E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，
则P(X＝1)＝C××11＝3·2－10．
9、解析：选D　由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．
10、解析：选B　∵X～B(10,0．6)，∴E(X)＝10×0．6＝6，D(X)＝10×0．6×(1－0．6)＝2．4，
∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2．4．
11、解析：选A　由分布列的性质，得a＋＝1，a＝．∵E(ξ)＝2，∴＋＝2．∴m＝6－2n．
∴D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2．
∴n＝2时，D(ξ)取最小值0．
12、解析　由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 答案　C
13、解析　由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，
解得n＝6，p＝0.4.故选B.
14、解析　答案　B 由题意，X～B，又E(X)＝＝3，∴m＝2，
则X～B，故D(X)＝5××＝.
15、解析　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得
所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 答案　
16、解析　由题意知a＋2a＋4a＝1，∴a＝，∴获得一、二、三等奖的概率分别为，，，
∴所获奖金的期望是E(X)＝×7 000＋×5 600＋×4 200＝5 000元. 答案　5 000
17、解析：∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，
∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，∴14a＋6b＝3．①
又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，∴6a＋3b＝1．②
∴由①②可知a＝，b＝－，∴a＋b＝－． 答案：－
18、解析：设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，则X～B(12,0．8)，
E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9．6＝48． 答案：48
19、解：设事件A表示“该地的1位车主购买甲种保险”，事件B表示“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C表示“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D表示“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”，则A，B相互独立．
(1)由题意知P(A)＝0．5，P(B)＝0．3，C＝A∪B，则P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0．8．
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0．8＝0．2．由题意知X～B(100,0．2)，
所以均值E(X)＝100×0．2＝20，方差D(X)＝100×0．2×0．8＝16．
20、解：(1)X的可能值为0,1,2．
若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝＝，
同理，有P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．
∴X的分布列为
X 0 1 2
P


∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝．D(X)＝2×＋2×＋2×＝．
(2)Y的可能值为1,2,3，显然X＋Y＝3．
P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝．
∴Y的分布列为
Y 1 2 3
P


∴Y＝－X＋3，
∴E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－＝，D(Y)＝(－1)2D(X)＝．
21、解：(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0．1＋x＋0．37＋0．39＝1，解得x＝0．12．
(2)由题意知，X～B(3,0．1)．因此P(X＝0)＝C×0．93＝0．729；
P(X＝1)＝C×0．1×0．92＝0．243；P(X＝2)＝C×0．12×0．9＝0．027；
P(X＝3)＝C×0．13＝0．001．
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0．729 0．243 0．027 0．001
故X的数学期望为E(X)＝3×0．1＝0．3．
22、解　(1)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中3号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中3号歌手”，则P(A)＝,C)＝，P(B)＝,C)＝，
∴媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P(A)＝×＝.
(2)P(C)＝,C)＝，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝P()＝××＝.
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P



∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
23、解　(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，所以＝0.05，解得x＝60.
所以持“无所谓”态度的人数为3 600－2 100－120－600－60＝720，
所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720×＝72人.
(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，
所以在所抽取的6人中，在校学生为×6＝4人，社会人士为×6＝2人，
于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3，
P(ξ＝1)＝C,C)＝，P(ξ＝2)＝C,C)＝，P(ξ＝3)＝C,C)＝，
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P


所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.