2.4正态分布-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3同步课时练（Word含解析）

高二年级（数学）学科习题卷
正态分布
编号：110
一、选择题：
1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是(　 　)
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件
D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件
2．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　 　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2　　
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
3．设随机变量X～N(1,22)，则D＝(　 　)
A．4 B．2 C． D．1
4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(　 　)
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
5. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
6. 设随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若随机变量（1，4），，则=（ ）
A． B． C． D．
8. 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若在(0，2)内取值的概率为0.4，则在(0，+∞)内取值的概率为( )
A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.0.9
9. 设随机变量X服从正态分布N（0,1），P（X>1）＝p，则P（－1A．p B．1－p C．1－2p D．－p
10. 在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为(　 　)
A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
11. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩,若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
12. 我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2) (a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )
A．600 B．400 C．300 D．200
13. 某商场经营的一种袋装的大米的质量服从正态分布N，（单位kg）．任选一袋这种大米，其质量在9．8~10．2kg的概率为（ ）
A．0．0456 B．0．6826 C．0．9544 D．0．997
14. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
。）
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
15. 已知某市两次数学测试的成绩和分别服从正态分布和，则以下结论正确的是（ ）
A．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定
B．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定
C．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定
D．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定
16. 某一部件由三个电子元件按下图连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）
A. B．
C． D．
二、填空题：
17．设随机变量X～N(3,1)，若P(X>4)＝p，则P(218．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(019. 已知正态分布密度曲线,且,
则方差为 .
20. 已知正态分布总体落在区间(－∞，0.3)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)
在x＝________时达到最高点．
三、解答题：
21. 设X～N（1，22），试求
①P（-1＜X≤3); ②P(3＜X≤5); ③P(X≥5).
22. 某军区新兵步枪射击个人平均成绩（单位：环）服从正态分布，从这些个人平均成绩中随机抽取个，得到如下频数分布表：






频数





（1）求和的值（用样本数学期望、方差代替总体数学期望、方差）；
（2）如果这个军区有新兵名，试估计这个军区新兵步枪射击个人平均成绩在区间上的人数
[参考数据：，若，则，，]．
23. 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平
均值和样本方差（同一组的数据用该
组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量
指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区
间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：
若则，。
1、解析：选D　∵P(μ－3σ∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
2、解析：选A　μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图知μ1<μ2;
反映的正态分布的离散程度，σ越大， 越分散， 曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，
曲线越“瘦高”， 由图可知σ1<σ2．
3、解析：选D　因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1．
4、解析：选C　由于X～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0．682 6,0．954 4,0．997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0．682 6≈41人，60×0．954 4≈57人，60×0．997 4≈60人．
5、答案：C
解析：解答：∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3
6、答案：B
解析：由已知，，正态曲线的对称轴为，所以，.
7、答案：C
解析：解答：由对称性：，
，故选
8、答案：D
解析：解答：∵ξ服从正态分布∴曲线的对称轴是直线x=2，∵ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，∴ξ在（2，+∞）内取值的概率为0.5，∴ξ在(0，+∞)内取值的概率为0.5+0.4=0.9
9、答案：D
解析：解答：由于随机变量X服从正态分布N（0,1）,
图象关于对称，，
因此.
10、答案：B
解析：解答：根据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.4，因为ξ在(0,100)内的概率为0.5，所以ξ在(0,80)内的概率为0.1，故选B.
11、答案：B
解析：解答：由已知，正态曲线的对称轴为，
即,
所以该班学生数学成绩在120分以上的人数为.
12、答案：D
解析：解答：考试成绩在70分到110分之间的人数为600，则落在90分到110分之间的人数为300人，故数学考试成绩不低于110分的学生人数约为500-300=200.
13、答案：C
解析：解答：.
14、答案：B
解析：解答：用表示 零件的长度，根据正态分布的性质得：
, 故选B.
15、答案：C
解析：解答：第一次测试的平均分，；第二次测试的平均分，，因此第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故答案为C.
16、答案：B
解析：解答：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布，则三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时，元件3正常},C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则,，故答案选B.
17、解析：由X～N(3,1)，得μ＝3，所以P(3答案：1－2p
18、解析：∵随机变量X～N(μ，σ2)，∴随机变量服从正态分布，x＝μ是图象的对称轴，
∵P(X<1)＝，∴μ＝1．∵P(X>2)＝p，∴P(X<0)＝p，则P(019、答案：2
解析：解答：正态分布密度曲线可知对称轴为=20,所以函数的最大值是，所以，即=，所以方差为2.
20、答案：0.3
解析：解答：∵P(X<0.3)＝0.5，∴P(X≥0.3)＝0.5，即x＝0.3是正态曲线的对称轴，
∴当x＝0.3时φμ，σ(x)达到最高点．
21、答案：解答：∵X～N（1，22），∴ =1， =2.
①P（-1＜X≤3)=P(1-2＜X≤1+2)=P（-＜X≤+)=0.682 6.
②∵P（3＜X≤5)=P(-3＜X≤-1)
∴P(3＜X≤5)=［P(-3＜X≤5)-P(-1＜X≤3)］=［P(1-4＜X≤1+4)-P(1-2＜X≤1+2)］
=［P(-2＜X≤+2)-P(-＜X≤+)］=×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.
③∵P(X≥5)=P(X≤-3),
∴P(X≥5)= ［1-P(-3＜X≤5)］=［1-P(1-4＜X≤1+4)］
=［1-P(-2＜X≤+2)］=（1-0.954 4)=0.022 8.
22、答案：解：根据条件得随机抽取的100个成绩的分布列为：
4 5 6 7 8 9
频率 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02
∴，
∴
因样本成绩是随机得到，由样本估计总体得，
答案：由（1）知，
∵，∴，
∴
所以这个军区新兵50步枪射击个人平均成绩在区间（7.9，8.8]上的人数约为．
23、答案：抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
答案：（i）由（1）知，服从正态分布，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．