1.3.2杨辉三角-2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3同步课时练（Word含解析）

高二年级（数学）学科习题卷
杨辉三角
编号：103
一、选择题：
1．关于(a－b)10的说法，错误的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为1
024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)
A．11　　
B．10
C．9
D．8
3．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是(　　)
A．第4项
B．第4、5两项
C．第5项
D．第3、4两项
4．若n展开式中只有第6项的系数最大，则不含x的项等于(　　)
A．210
B．120
C．461
D．416
5．8的展开式中x4项的系数是(　　)
A．16
B．70
C．560
D．1120
6．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
7．设n为自然数，则C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC＝(　　)
A．2n
B．0
C．－1
D．1
8．(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
9．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
当a0＋a1＋a2＋…＋an＝254时，n等于(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
10．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)
A．3　　　　
B．6
C．9
D．12
11．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)
A．64
B．32
C．63
D．31
12．若(1－2x)2
016＝a0＋a1x＋…＋a2
016x2
016(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2
B．0
C．－1
D．－2
13．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的(　　)
A．第9项
B．第10项
C．第19项
D．第20项
14．关于x的二项式(＋)n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)
A．1
B．±1
C．2
D．±2
二、填空题：
15．若n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________
16．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
17．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．
18．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．
19．已知，则__________．
20．二项式展开式中，只有第项的二项式系数最大，展开式中的常数项是__________．
三、解答题
21．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：
(1)a8＋a7＋…＋a1；
(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.
22．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．
23．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.
（1）求展开式中的系数；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求的值.
1、解析：选C　根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
2、解析：选D　∵只有第5项的二项式系数最大，∴＋1＝5．∴n＝8．
3、【答案】　B
【解析】　(x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．
4、【答案】　A
【解析】　由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.
Tr＋1＝C·(x3)10－r·r＝C·x30－5r.
令30－5r＝0，得r＝6.∴T7＝C＝210.
5、【答案】　D
【解析】　考查二项式定理的展开式．[
]设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝C(x2)8－r(2x－1)r＝C·2r·x16－3r，
∴16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C24＝1120.
6、【答案】　A
【解析】　∵a0＝a8＝C＝1，a1＝a7＝C＝8，a2＝a6＝C＝28，a3＝a5＝C＝56，a4＝C＝70，∴奇数的个数是2，故选A.
7、【答案】　D
【解析】　原式＝(2－1)n＝1，故选D.
8、【答案】　B
【解析】　(2－)8的通项式为Tr＋1＝C28－r(－)r＝(－1)r·28－rCx，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.
9、解析：选C　令x＝1，则a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n，∴＝254，∴n＝7．
10、解析：选B　x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C·2＝6．
11、解析：选B　C＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝729．∴n＝6，∴C＋C＋C＝32．
12、解析：选C　(1－2x)2
016＝a0＋a1x＋…＋a2
016x2
016，令x＝，则2
016＝a0＋＋＋…＋
＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1．
13、【答案】　5　10
【解析】　令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.
14、解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5．
答案：5
15、解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝．
答案：
16、【答案】　2n－1　32
【解析】　用不完全归纳法，猜想得出．
17、[解析]　令x＝0，得a0＝1.
(1)令x＝1得
(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①
∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.
(2)令x＝－1得
(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②[来源:高$考`试(题﹤库]
①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，
∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32
896.
[解析]　(1)令x＝1，得：
a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1①
(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010②
与①式联立，①－②得：
2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.
(3)∵Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r
＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1<0(k∈N
)，a2k>0(k∈N
)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，
所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.
[答案]　D
[解析]　∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C·11＋C·12＋C·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20，故选D.
[答案]　B
[解析]　(2－)8的通项式为Tr＋1＝C28－r(－)r＝(－1)r·28－rCx，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.
解析：由题意知2n＝32，n＝5，
Tr＋1＝C()5－rar·＝Car，
令－r＝0，得r＝3，
∴a3C＝80，解得a＝2.
答案：C