5.1.1 变化率问题-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修二练习（Word含解析）

变化率问题练习
一、单选题
函数f(x)=2x2?1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于(? )
A. 4 B. 4+2Δx C. 4+2(Δx)2 D. 4x
函数f(x)=x2+2c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为(????)
A. 2 B. 4 C. 2c D. 4c
若函数f(x)=x2?c在区间[1,m]上的平均变化率为4，则m等于(????)
A. 5 B. 3 C. 5 D. 16
函数f(x)=x从1到a的平均变化率为14，a>1，则实数a的取值为(?? )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)=13x3?x2+8(0≤x≤5)，那么当x=1时原油温度的瞬时变化率是(????)
A. 8 B. 203 C. ?1 D. ?8
函数y=1x在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]的平均变化率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A. k1如果函数y=f(x)的瞬时变化率为0，那么下列函数可以满足本条件的是(????)
A. y=2x+3 B. y=3x
C. y=c(c为常数) D. y=x2+5
已知函数M(t)=M01.2?t2，当t=2时，其瞬时变化率为?10ln1.2，则M(4)=(????)
A. 253ln1.2 B. 503ln1.2 C. 503 D. 253
函数f(x)=x，g(x)=x2在[0,1]的平均变化率分别记为m1，m2，则下面结论正确的是(????)
A. m1=m2 B. m1>m2
C. m2>m1 D. m1，m2的大小无法确定
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,f(x0))处的瞬时变化率为?8，则点M的坐标为??????????．
酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是_______．
一次函数f(x)=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率为________．
已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S=πr2，其中r∈(0,+∞)，则当半径r∈[1,1+Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．
三、解答题
已知函数f(x)=x2?1，当自变量x由1变到1.1时，求：
(1)自变量的增量Δx；
(2)函数的增量Δy；
(3)函数的平均变化率．
在初速度为v的匀加速运动中，路程L和时间x的关系为L=L(x)=vx+ax22
(1)求L关于x的瞬时变化率，并说明其物理意义；
(2)求运动物体的瞬时速度关于x的瞬时变化率，说明其物理意义．
已知函数f(x)=2x2+3x?5．
(1)求当x1=4，且Δx=1时，函数值的增量Δy和平均变化率ΔyΔx；
(2)求当x1=4，且Δx=0.1时，函数值的增量Δy和平均变化率ΔyΔx；
(3)若设x2=x1+Δx，分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：∵Δy=f1+Δx?f1=21+Δx2?1?2?1=2Δx2+4Δx，
∴ΔyΔx=2Δx?+4．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)=x2+2c，
则有?f(3)?f(1)3?1=(9+2c)?(1+2c)2=4；
3.【答案】B
【解答】
解：因为ΔyΔx=(m2?c)?(12?c)m?1=4，
所以m=3．
4.【答案】B
【解答】
解：∵f(x)=x，a>1，
∴f(1)=1，f(a)=a，
∴f(x)从1到a的平均变化率a?1a?1=14，解得a=9，
5.【答案】C
【解答】
解：因为f(x)=13x3?x2+8，则f′(x)=x2?2x，
所以当x=1时原油温度的瞬时变化率是f′(1)=1?2=?1，
6.【答案】A
【解答】
解：k1=12?12?1=?12，k2=13?123?2=?16，k3=14?134?3=?112，
∴k17.【答案】C
【解答】
解：函数y=f(x)的瞬时变化率为0，即f′(x)=0，
A，y′=2不符合题意，
B，y′=3不符合题意，
C，y′=0符合题意，
D，y′=2x不符合题意，
8.【答案】C
【解答】
解：∵函数M(t)=M01.2?t2，
∴M′(t)=?12M01.2?t2ln1.2，
∵当t=2时，其瞬时变化率为?10ln1.2，
∴?12M01.2?1ln1.2=?10ln1.2，
解得M0=24，
∴M(4)=24×1.2?2=503．
9.【答案】A
【解答】
解：m1=f(1)?f(0)1?0=f(1)?f(0)=1?0=1，
m2=g(1)?g(0)1?0=g(1)?g(0)=12?0=1，
故m1=m2，
10.【答案】(?2,9)
【解答】
解：f′(x)=4x，
所以在点M(x0,f(x0))处的瞬时变化率为f′(x0)=4x0=?8，
得x0=?2，
所以f(?2)=9，
所以点M的坐标为(?2,9)，
故答案为(?2,9)．
11.【答案】
【解答】
解：由题意，如图，
设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，
由图知r?=38可得r=38?，
此时水的体积为，
又由题设条件知，此时的水量为20t，
故有，
故有，
又当?=4时，有，
故?=4时，，
∴当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是．
故答案为．
12.【答案】k
【解答】
解：所求平均边化率为f(n)?f(m)n?m=kn+b?km?bn?m=k．
故答案为k．
13.【答案】2π+πΔr
【解答】
解：圆面积S的平均变化率为
=2π+πΔr．
故答案为2π+πΔr．
14.【答案】解：(1)自变量的增量Δx=1.1?1=0.1．
(2)?函数的增量Δy=f(1.1)?f(1)=(1.1)2?1?12+1=0.21．
(3)函数的平均变化率ΔyΔx=0.210.1=2.1．
15.【答案】解：(1)：由题意得，L′(x)=v+ax，物理意义是运动的速度；
(2)(v+ax)′=a，物理意义是运动的加速度．
16.【答案】解：(1)Δy=f(x1+Δx)?f(x1)
=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)?5?2x?12?3x1+5
=4x1Δx+2(Δx)2+3Δx.
当x1=4，且Δx=1时，Δy=4×4×1+2+3=21，
所以平均变化率ΔyΔx=211=21．
(2)当x1=4，且Δx=0.1时，
由(1)得Δy=4×4×0.1+0.02+0.3=1.92，
所以平均变化率ΔyΔx=1.920.1=19.2．
(3)在(1)中，ΔyΔx=f(x2)?f(x1)x2?x1=f(5)?f(4)5?4，它表示曲线上两点P0(4,39)与P1(5,60)所在直线的斜率；
在(2)中，ΔyΔx=f(x2)?f(x1)x2?x1=f(4.1)?f(4)4.1?4，它表示曲线上两点P0(4,39)与P2(4.1,40.92)所在直线的斜率．