4.2.2 等差数列的前n项和公式-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修二练习（Word含解析）

等差数列的前n项和公式练习
一、单选题
中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾(注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱)，6月入40贯，全年(按12个月计)共入510贯”，则该人10月营收贯数为(?)
A. 35 B. 65 C. 70 D. 60
为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱心的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的目标至少需要的天数为(? )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
“嫦娥”奔月，举国欢庆．据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1?min内通过的路程为2?km，以后每分钟通过的路程增加2?km，在到达离地面240?km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是(????)
A. 10?min B. 13?min C. 15?min D. 20?min
《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律．其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为
A. 32 B. 33 C. 34 D. 35
对任一实数序列A=a1,a2,a3,?，定义序列ΔA=a2?a1,a3?a2,a4?a3,?，它的第n项为an+1?an.假定序列ΔΔA的所有项都为1，且，则(??? )
A. 1000 B. 2000 C. 2003 D. 4006
已知等差数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn且(n+1)Sn=(7n+23)Tn，则使anbn为整数的正整数n的个数是(??? )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=5，S6=48，则a6=(　　)
A. 11 B. 9 C. 13 D. 15
数列112，314，518，7116，…，(2n?1)+12n，…的前n项和Sn的值等于(????)
A. n2+1?12n B. 2n2?n+1?12n
C. n2+1?12n?1 D. n2?n+1?12n
已知等差数列{an}、等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=n+2n+1，则a6b8的值是(????)
A. 1316 B. 1314 C. 1116 D. 1115
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=4，S9=72，则a10=(????)
A. 20 B. 23 C. 24 D. 28
在等差数列{an}中，已知a5>0，a4+a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(??? )
A. S4 B. S5 C. S6 D. S7
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知Sn=2n2+3n，则数列{an}的公差为(? ? )
A. 2 B. 4 C. 1 D. 12
已知等差数列{an}、{bn}，其前n项和分别为Sn、Tn，anbn=2n+33n?1，则S11T11=(? )
A. 1517 B. 2532 C. 1 D. 2
二、单空题
观察下图：
则第________行的各数之和等于2?0132．
如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则an=______．
设Sn是数列an的前项和，点n,ann∈N?在直线y=2x上，则数列1Sn的前n项和为________．
等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，和Tn，且SnTn=3n+17n+3，则a9b9=______．
记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=______．
三、解答题
已知数列{an}是公比为2的等比数列，且a2，a3+1，a4成等差数列．
求数列{an}的通项公式；
(II)记bn=an+log2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
设数列an的前n项和为Sn，已知an>0,Sn2?n2+nSn?n2+n+1=0，
(1)求an的通项公式；
(2)记bn=35?an求数列bn的前n项和Tn．
已知公差为2的等差数列an，且a1，a7，a5成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列an的前n项和为Sn，求数列Snn的最小项．
答案和解析
1.【答案】D
【解答】
解：根据题意，该人每月营收贯数符合等差数列，
设一月收益铜钱为a1贯，后来每月比前一月多入铜钱d贯，
则可由题列出等式a6=a1+5d=40，S12=12a1+12×112d=510，
解得a1=15，d=5，
所以第10个月的收益为a10=a1+9d=15+45=60，
2.【答案】C
【解答】
解：设第n天募捐到an元，则数列{an}是以1000为首项，500为公差的等差数列，
所以前n项和Sn=1000n+nn?12×500=250n(n+3)，
因为S7=17500，S8=22000，
所以至少需要8天可完成募捐目标．
3.【答案】C
【解答】
解：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，
则数列{an}是首项a1=2，公差d=2的等差数列，
由求和公式有na1+n(n?1)d2=240，
即2n+n(n?1)=240，
解得n=15．
4.【答案】D
【解答】
解：根据题意可知这30个老人年龄之和为1520，
设年纪最小者年龄为n，年纪最大者年龄为m，m∈[90,100]，
则有n+(n+1)+(n+2)+…+(n+28)+m=29n+406+m=1520，
则有29n+m=1114，则m=1114?29n，
所以90≤1114?29n≤100，
解得34.966≤n≤35.31，
因为年龄为整数，所以n=35．
5.【答案】D
【解答】
解：依题意知ΔA是公差为1的等差数列，设其首项为a，通项为bn，
则bn=a+(n?1)×1=n+a?1，
于是an=a1+k=1n?1ak+1?ak=a1+k=1n?1bk
=a1+n?1a+(n+a?2)2=a1+(n?1)a+(n?2)(n?1)2，
又因为a18=a2017=0，所以a1+17a+136=0a1+2016a+2015×1008=0,
解得a=?1016，a1=17136，
故a2021=17136+2020×?1016+2019×20202=4006，
6.【答案】C
【解答】解：由题意，可得SnTn=7n+23n+1，
则anbn=2an2bn=n(a1+a2n?1)2n(b1+b2n?1)2=S2n?1T2n?1=14n+162n=7n+8n=7+8n，
经验证，知当n=1，2，4，8时，anbn为整数，
即使anbn为整数的正整数n的个数是4．
7.【答案】C
【解答】
解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=5，S6=48，
∴a2=a1+d=5S6=6a1+6×52d=48，
解得a1=3，d=2，
∴a6=3+5×2=13．
8.【答案】A
【解答】
解：该数列的通项公式为an=2n?1+12n，
∴Sn=1+3+5+…+2n?1+12+122+123+…+12n
=n1+2n?12+121?12n1?12
=n2+1?12n．
9.【答案】A
【解答】
解：设等差数列{an}、等差数列{bn}的公差分别为d1，d2．
∵SnTn=n+2n+1，∴S1T1=a1b1=32，S2T2=2a1+d12b1+d2=43，
∴S3T3=3a1+3d13b1+3d2=54，解得d1=d2=b1，
∴a6b8=a1+5d1b1+7d2=32d1+5d1d1+7d1=1316．
10.【答案】D
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则a4=a1+3d=4,S9=9a1+36d=72,解得a1=?8,d=4,
故a10=a1+9d=?8+36=28.故选D．
11.【答案】B
【解答】
解：∵a4+a7=a5+a6<0a5>0,
∴a6<0，
∴Sn的最大值为S5．
12.【答案】B
【解答】
解：设等差数列{an}的公差为d．
因为等差数列{an}的前n项和Sn=na1+nn?12d=d2n2+a1?d2n，
而Sn=2n2+3n，所以d2=2a1?d2=3，解得d=4a1=5,
因此数列{an}的公差为4．
故选B．
13.【答案】A
【解答】
解：等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，
S11T11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=a6b6=2×6+33×6?1=1517，
故选A．
14.【答案】1007
【解答】
解：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n?1项的等差数列，
其各项和为Sn=(2n?1)n+(2n?1)(2n?2)2=(2n?1)n+(2n?1)·(n?1)=(2n?1)2，
令(2n?1)2=20132，得2n?1=2013，解得n=1007．
15.【答案】3n2?n2
【解答】
解：a2?a1=5?1=4，a3?a2=12?5=7，a4?a3=22?12=10，…，
由此可知数列{an+1?an}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．
所以an+1?an=4+3(n?1)=3n+1．
a2?a1=3×1+1，
a3?a2=3×2+1，
…
an?an?1=3(n?1)+1，
累加得：an?a1=3[1+2+…+(n?1)]+n?1，
所以an=a1+3×n(n?1)2+n?1=3n2?n2．
故答案为3n2?n2．
16.【答案】nn+1
【解答】
解：点(n,an)(n∈N?)在直线y=2x上，
∴an=2n．
?∴Sn=n(2n+2)2=n(n+1)．
∴1Sn=1n(n+1)=1n?1n+1．
则数列1Sn的前n项和=1?12+12?13+……+1n?1n+1=1?1n+1=nn+1．
故答案为：nn+1．
17.【答案】2661
【解答】
解：由等差数列的性质和求和公式可得a9b9=2a92b9=a1+a17b1+b17=S17T17=3×17+17×17+3=2661，
故答案为：2661
18.【答案】14
【解答】
解：设等差数列{an}的公差为d，
a3=0，a6+a7=14，
∴a1+2d=0a1+5d+a1+6d=14，
解得a1=?4，d=2，
∴S7=7a1+7×62d=?28+42=14．
故答案为14．
19.【答案】解：由题意可得2a3+1=a2+a4，
即24a1+1=2a1+8a1，
解得：a1=1，
∴数列an的通项公式为an=2n?1；
(II)bn=an+log2an+1=2n?1+n，
Tn=b1+b2+b3+?+bn
=1+2+3+?+n+20+21+22+?+2n?1
=n(n+1)2+1?2n1?2=n(n+1)2+2n?1．
20.【答案】解：(1)?∵Sn2?n2+nSn?n2+n+1=0，
∴Sn?n2+n+1Sn+1=0，
又an>0，∴Sn>0，∴Sn+1>0，
∴Sn=n2+n+1，
当n=1时，a1=1+1+1=3；
当n≥2时，an=Sn?Sn?1=2n．
∴an=3,n=12n,n≥2；
(2)?bn=35?an=32,n=135?2n,n≥2,
设bn的前n项和为Hn，则Hn=35n?Sn=?n2+34n?1
①1≤n≤17时，bn>0，Tn=b1+b2+?+bn=Hn=?n2+34n?1
②n≥18时，bn<0，
Tn=b1+b2+?+b17?b18+b19+?+bn
=H17?Hn?H17
=2H17?Hn
=n2?34n+577
综上，Tn=?n2+34n?1,1≤n≤17,n∈N?n2?34n+577,n≥18,n∈N?
21.【答案】解：(1)由题知：a72=a1?a5，则12+a12=a1?a1+8得：a1=?9，
即an=a1+(n?1)d=2n?11，
(2)当n≤5时，an=11?2n，Sn=9+11?2n2×n=10n?n2，
则Snn=10n?n2n=10?n，即n=5时，Snnmin=5?，? ? ? ??
当n≥6时，an=2n?11，Sn=S5+1+2n?112×(n?5)=n2?10n+50，
则Snn=n+50n?10，
令f(x)=x+50x?10,x≥6，f′(x)=1?50x2=x2?50x2，
当652时，f′(x)>0，
即函数f(x)在6,52上单调递减，在52,+∞上单调递增，
即n=7时，Snnmin=297，最小项为第7项为297?.