4.3.2 等比数列的前n项和公式-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修二练习（Word含解析）

等比数列的前n项和公式练习
一、单选题
中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378?里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6?天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为(????)
A. 4?里 B. 5?里 C. 6?里 D. 8?里
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(????)
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？(????)
A. 第2天 B. 第3天 C. 第4天 D. 第5天
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(????)
A. 192?里 B. 96?里 C. 48?里 D. 24?里
已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=(????)
A. 2n?1 B. 12n?1 C. 23n?1 D. 32n?1
设等比数列an的前n项和为Sn，若S2=3,S4=15，则S6=(??? )
A. 31 B. 32 C. 63 D. 64
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，设bn=log213an，那么数列{bn}的前15项和为(??? )
A. 16 B. 80 C. 120 D. 150
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，S3=9，则S4=(? ?)
A. 12 B. ?15 C. 12或?15 D. 12或15
数列{an}中，a1=2，am+n=aman，若ak+1+ak+2+?+ak+10=215?25，则k=(??? )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2mSm=3332，am+3a3=m?45m+7，则数列{an}的公比q=
A. 2 B. ?2 C. 12 D. ?12
记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5?a3=12，a6?a4=24，则Snan=(????)
A. 2n?1 B. 2?21?n C. 2?2n?1 D. 21?n?1
设Sn为等比数列{an}的前n项和，若8a2?a5=0，则S4S2=(????)
A. ?8 B. 5 C. 8 D. 15
等比数列{an}的首项a1=4，前n项和为Sn，若S6=9S3，则数列{log2an}的前10项和为(????)
A. 65 B. 75 C. 90 D. 110
二、单空题
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则a7+a8+a9=________．
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2mSm=3332，am+3a3=m?45m+7，则数列{an}的公比q=_________．
数列{an}中，a1=2，an+1=2an，n∈N?.若其前k项和为126，则k=______．
已知等比数列{an}中，a2=1，a5=?8，则{an}的前6项和为______．
等比数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数k，均有ak=n→∞lim(Sn?Sk)成立，则公比q=______．
已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为7，且a5=3a3+4a1，则a6=_________．
三、解答题
已知数列{an}是公比为2的等比数列，且a2，a3+1，a4成等差数列．
求数列{an}的通项公式；
(II)记bn=an+log2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn(n∈N?).
(1)证明：数列Snn是等比数列；
(2)求数列Sn的前n项和Tn．
已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为10，且a1,a2,a4是等比数列bn的前3项.(1)求an,bn;????????????
(2)设cn=bn+1anan+1，求cn的前n项和Sn．
已知数列{an}满足：a1=3，an=an?1+2n?1(n≥2,n∈N?).
(1)求数列{an}的通项；
(2)若bn=n(an?1)(n∈N?)，求数列{bn}的前n项和Sn；
(3)设cn=1anan+1，Tn=2c1+22c2+…+2ncn(n∈N?)，求证：215≤Tn<13(n∈N?)．
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
解：每天走的路形成等比数列{an}，q=12，S6=378．
∴S6=378=a1[1?(12)6]1?12，解得a1=192．
∴该人最后一天走的路程=a1q5=192×(12)5=6．
2.【答案】B
【解答】
解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴381=a(1?27)1?2=127a，
解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯．
3.【答案】B
【解答】
解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞之和为2n?12?1=2n?1，
同理，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以12为公比的等比数列，
前n天打洞之和为1?12n1?12=2?12n?1，
∴2n?1+2?12n?1=5，
即2n?12n?1=4，
解得n∈(2,3)，取n=3，
即两鼠在第3天相逢．
4.【答案】B
【解答】
解：由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得a1[1?(12)6]1?12=378，
解得a1=192，
∴第此人二天走192×12=96里，
∴第二天走了96里，
故选B．
5.【答案】D
【解答】
解：因为Sn=2an+1=2Sn+1?Sn，
所以Sn+1Sn=32，
则数列Sn是等比数列，首项为1，公比为32，
则Sn=32n?1．
6.【答案】C
【解答】
解法一? ? ?在等比数列an中，S2,S4?S2,S6?S4也成等比数列，
故S4?S22=S2S6?S4，
则15?32=3S6?15，
解得S6=63．
故选C．
解法二? ??设等比数列an的首项为a1，公比为q．
若q=1，则有Sn=na1，显然不符合题意，故q≠1．
由已知可得S2=a11?q21?q=3,S4=a11?q41?q=15,两式相除得1+q2=5，解得q2=4．
故q=2或q=?2．
若q=2，代入解得a1=1，此时S6=a11?q61?q=1×1?261?2=63．
若q=?2，代入解得a1=?3，此时S6=a11?q61?q=1?3×[1??26]1??2=63．
故选C．
解法三? ??因为数列an为等比数列，若q=1，则有Sn=na1，显然不符合题意，故q≠1．
设其前n项和为Sn=Aqn?A．
由题意可得S2=A×q2?A=3S4=A×q4?A=15,
两式相除得1+q2=5，
解得q2=4，代入解得A=1．
故Sn=qn?1．
所以S6=q6?1=q23?1=43?1=63．
故选C．
解法四? ??设等比数列的公比为q．
则S2=a1+a2=3,S4=a1+a2+a3+a4=1+q2a1+a2=1+q2×3=15，
解得q2=4．
故S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+q2+q4a1+a2=1+4+42×3=63．
故选C．
7.【答案】C
【解答】
解：设公比为q，(q≠1)
由题意可得a1+a1q2=30a1(1?q4)1?q=90,
解得q=2a1=6,
∴an=6×2n?1=3×2n，
∴bn=log213an=n，
∴数列{bn}的前15项和为15(1+15)2=120．
8.【答案】C
【解答】
解：由题意得a1+a2+a3=9，即a1+a1q+a1q2=9，
又a1=3，
所以q2+q?2=0．
?解得q=?2或q=1,
则S4=31??241??2=?15或S4=4×3=12．
9.【答案】C
【解答】
解：取m=1，则an+1=a1an，
又a1=2，所以an+1an=2，
所以an是等比数列，则an=2n，
所以，得k=4.
10.【答案】C
【解答】
解：由已知q≠1，
则S2mSm=a1(1?q2m)a1(1?qm)=3332am+3a3=a1qm+2a1q2=m?45m+7，解得m=5q=12．
11.【答案】B
【解答】
解：设等比数列的公比为q，
∵a5?a3=12，
∴a6?a4=q(a5?a3)，
∴q=2，
∴a1q4?a1q2=12，
∴12a1=12，
∴a1=1，
∴Sn=1?2n1?2=2n?1，an=2n?1，
∴Snan=2n?12n?1=2?21?n，
故选：B．
12.【答案】B
【解答】解：设数列{an}的公比为q，
∵8a2?a5=0，∴a5a2=q3=8，解得q=2，
∴S4S2=a1(1?24)1?2a11?221?2=5，
故选B．
13.【答案】A
【解答】
解：设{an}的公比为q，由S6=9S3，知q≠1，
则a1(1?q6)1?q=9×a1(1?q3)1?q，即1?q6=9×(1?q3)，即1+q3=9，
解得q=2，
所以an=4?2n?1=2n+1，
所以log2an+1?log2an=log2an+1an=log22=1，
所以数列{log2an}是以log2a1=2为首项，公差为1的等差数列，
于是数列{log2an}的前10项和为：10×2+10×92×1=20+45=65，
14.【答案】448
【解答】
解：由等比数列的性质知，S3，S6?S3，S9?S6成等比数列，
因为S3=7，S6?S3=63?7=56，
所以S9?S6=(S6?S3)2S3=5627=448，
所以a7+a8+a9=S9?S6=448．
15.【答案】12
【解答】
解：当数列{an}的公比q=1时，S2mSm=2，与S2mSm=3332矛盾，故q=1不符合题意．
当q≠1时，S2mSm=a1(1?q2m)1?qa1(1?qm)1?q=1?q2m1?qm=1+qm=3332，所以qm=132．
因为am+3a3=qm=m?45m+7=132，
所以m=5，即q5=132，则q=12．
故答案为12．
16.【答案】6
【解析】解：∵a1=2，an+1=2an，
∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
Sk=2(1?2k)1?2=126，
故k=6．
17.【答案】212
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a2=1，a5=?8，则有q3=a5a2=?8，解可得q=?2，
则a1=?12，
则{an}的前6项和S6=a1(1?q6)1?q=(?12)[1?(?2)6]1?(?2)=212；
18.【答案】12
【解析】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，
对于任意的正整数k，均有ak=n→∞lim(Sn?Sk)成立，
∴an=a1qn?1，
Sn=a1(1?qn)1?q，
ak=n→∞lim(Sn?Sk)
=n→∞lima1(qk?qn)1?q，
当k=2时，
a2=n→∞lima1(q2?qn)1?q
=a1n→∞limq2?qn1?q，
∴a1q=a1n→∞limq2?qn1?q，∴q?q2=n→∞lim(q2?qn)，
∴q?q2=q2，
q(2q?1)=0
解得q=12，或q=0(舍)．
∴公比q=12．
19.【答案】32
【解答】
解：设正数的等比数列{an}的公比为q，
则a1(1+q+q2)=7a1q4=a1(3q2+4),
因为q>0，
解得q=2，a1=1，
∴a6=a1q5=32．
故答案为32．
20.【答案】解：由题意可得2a3+1=a2+a4，
即24a1+1=2a1+8a1，
解得：a1=1，
∴数列an的通项公式为an=2n?1；
(II)bn=an+log2an+1=2n?1+n，
Tn=b1+b2+b3+?+bn
=1+2+3+?+n+20+21+22+?+2n?1
=n(n+1)2+1?2n1?2=n(n+1)2+2n?1．
21.【答案】(1)证明：由an+1=n+2nSn，及an+1=Sn+1?Sn，
得Sn+1?Sn=n+2nSn，
整理，得nSn+1=2(n+1)Sn，
∴Sn+1n+1=2?Snn，又S11=1，
∴{Snn}是以1为首项，2为公比的等比列；
(2)解：由(1)，得Snn=2n?1，
∴Sn=n?2n?1(n∈N?).
∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n?2n?1，①
2Tn=1×21+2×22+…+(n?1)?2n?1+n?2n，②
由②?①，得Tn=?(1+2+22+…+2n?1)+n?2n=?1?2n1?2+n?2n=(n?1)?2n+1．
22.【答案】解：(1)设数列an的公差为d，
由题意知：a1+a2+a3+a4=4a1+4×(4?1)2d=4a1+6d=10?①，
又因为a1，a2，a4成等比数列，所以a22=a1?a4，
由?①?②得a1=1，d=1，所以an=n，bn=2n?1．
(2)因为cn=2n?1+1n(n+1)，
所以Sn=20+21+?+2n?1+(1?12+12?13+?+1n?1n+1)
=1?2n1?2+1?1n+1
=2n?1n+1，
所以数列{cn}的前n项和Sn=2n?1n+1．
23.【答案】解：(1)因为an=an?1+2n?1(n≥2,n∈N?)，
所以当n≥2时，an=a1+(a2?a1)+(a3?a2)+…+(an?1?an?2)+(an?an?1)=3+21+…+2n?2+2n?1=3+2(2n?1?1)2?1=2n+1；
又a1=3=21+1，故an=2n+1(n∈N?)．
(2)由1及题设知：bn=n×2n，
所以Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n?1)?2n?1+n?2n，
所以2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n?1)?2n+n?2n+1，
所以Sn=n?2n+1?(2+22+23+…+2n)=(n?1)?2n+1+2．
(3)证明：由(1)及题设知：cn=1(2n+1)(2n+1+1)，
所以2ncn=2n(2n+1)(2n+1+1)=(2n+1+1)?(2n+1)(2n+1)(2n+1+1)=12n+1?12n+1+1(n∈N?)
所以Tn=(121+1?122+1)+(122+1?123+1)+…+(12n?1+1?12n+1)+(12n+1?12n+1+1)
即Tn=121+1?12n+1+1=13?12n+1+1，所以Tn<13．
又{Tn}是递增数列，所以{Tn}的最小值为T1=13?122+1=215；即证215≤Tn<13；
(3)求出数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，即可证明不等式．