4.3.1 等比数列的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修二练习（Word含解析）

等比数列的概念练习
一、单选题
在等比数列{an}中，a1+a2=10，a3+a4=60，则a7+a8=(? ?)
A. 110 B. 160 C. 360 D. 2160
已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，则S9等于(????)
A. ?8 B. ?6 C. 10 D. 0
已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=(????)
A. 2 B. 22 C. 12 D. 2
已知数集S={a1,a2,a3,…,an}(1≤a1A. 若n=3，则a1，a2，a3成等差数列
B. 若n=4，则a1，a2，a3，a4成等比数列
C. 若n=5，则a1，a2，a3，a4，a5成等差数列
D. 若n=7，则a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7成等比数列
《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.今共有粮98石，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知乙分得28石，则“衰分比”为(????)
A. 12 B. 2 C. 12或2 D. ?12或12
正项等比数列{an}中，a3=2,a4a6=64，则a5+a6a1+a2的值是(????)
A. 4 B. 8 C. 16 D. 64
已知数列{an}是等比数列，且公比，则实数m的取值范围为(????)
A. (1,9) B. (2,10) C. (1,8) D. (?1,6)
已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=2an?1，则a1a3a5=
A. 8 B. ?8 C. 64 D. ?64
在公比为q的正项等比数列{an}中，已知a1a3=9，a3+2q=10，则q=(? ?)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
在等比数列an中，a1+a2+a3+a4=lna1+a2+a3.若a1>1，则
A. a1设{an+n2}为等比数列，且a1=1，a2=0，现有如下四个命题：
①a1，a2，a3成等差数列；
②a5不是质数；
③{an+n2}的前n项和为2n+1?2；
④数列{an}存在相同的项．
其中所有真命题的序号是
A. ①④ B. ①②③ C. ①③ D. ①③④
已知正项等比数列{an}满足a2021=a2020+2a2019，若存在两项ap，ar，使得apar=2a2，则1p+4r的最小值为(??? )
A. 2 B. 3 C. 32 D. 94
已知数列an为等比数列，若a7=52,公比q=215,则a3a1+2a11+a21的值为(? ? ?)
A. 36 B. 6 C. 62516 D. 254
二、单空题
等比数列{an}中，公比q=2，log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a10=25，则a1+a2+…+a10=________．
已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1，a2，a5成等比数列，S5=a32，数列bn满足bn=(?1)n+121+ananan+1，前n项和为Tn，则T5+T10=________．
等比数列an的前n项和为Sn，若S2n=3a1+a3+a5+???+a2n?1n∈N?，a1a2a3=8，则S4=________．
记Sn为等比数列an的前n项和.设S3=6，S4=a1?3，则S6=_______．
三、解答题
已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an?2．
(1)求an的通项公式；
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列dn中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
在递增的等比数列{an}中，a2a5=32，a3+a4=12．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=(?1)nan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．
已知数列an满足：a1=12，31+an+11?an=21+an1?an+1，anan+1<0.数列bn满足：bn=an+12?an2．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)证明数列bn中的任意三项不可能成等差数列．
答案和解析
1.【答案】D
【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a1+a2=10，a3+a4=60，
∴q2(a1+a2)=10q2=60，解得：q2=6，
则a7+a8=q6(a1+a2)=10×63=2160．
故选D．
2.【答案】D
【解答】
解：∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a32=a1a4，
∴(a1+2×2)2=a1?(a1+3×2)，
化为2a1=?16，
解得a1=?8．
∴则，
3.【答案】A
【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
∵a3?a9=2a52，a2=2，
∴(a2?q)?(a2?q7)=2(a2?q3)2，
化简得：a22?q8=2a22?q6，
解得q=2或q=?2(舍)，
∵a2=2，∴a1=22=2，
4.【答案】D
【解答】
解：当S={1,2，4}时，符合题意，但元素不成等差数列，故A错误，
当S={1,2，3，6}时，符合题意，但元素不成等比数列，故B错误，
当S={1,2，4，8，16}时，符合题意，但元素不成等差数列，故C错误，
对于D，由题：aiaj∈S或ajai∈S，
又anan>an,则anan=1=a1∈S，
易知anan且根据性质P，可得：anan?1=a2,anan?2=a3,?，
当n=7时，a7a6=a2,a7a5=a3,a7a4=a4，
则a7=a3a5=a42即a5a4=a4a3∈S，
同理可得a6a5=a3a2∈S，
故a6a5=a3a2=a2，
因为a4a3>1，若a4a3=a3=a22，
则S={1,a2,a22,a24,a26,a27,a28}，
又a27a22=a25，a27·a22=a29，都不是S的元素，故不符合题意；
故a4a3=a2，
即a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7是以1为首项的等比数列，
5.【答案】A
【解析】解：设“衰分比”为q，则28q+28+28q=98，
解得q=2或12，
∵06.【答案】C
【解答】
解：设正项等比数列{an}的公比为q，
∵a3=2，a4·a6=64，
∴a1q2=2，a12q8=64，
∴解得q2=4，
∴a5+a6a1+a2=q4a1+a2a1+a2=q4=16．
7.【答案】D
【解析】解：将(a4+ma7)?a8=(a6?a9)2且公比q∈(1,2)，
展开得：a4?a8+ma7?a8=a62?2a6?a9+a92，
由等比数列性质可得：(m+2)a6?a9=a92，
所以m+2=a9a6=q3．
因为q∈(1,2)，q3∈(1,8)，
计算可得：m∈(?1,6)．
8.【答案】D
【解答】
解：当n=1时，3S1=3a1=2a1?1，解得a1=?1；
当n≥2时，3Sn=2an?1，3Sn?1=2an?1?1，
两式相减得3an=2an?2an?1，即anan?1=?2，
∴an=?(?2)n?1，
∴a1a3a5=a33=?64．
9.【答案】A
【解答】
解：因为a1a3=a22=9，所以a2=3，
又a3+2q=10，
所以a2q+2q=10，即3q+2q=10，
解得q=2．
10.【答案】B
【解答】
解：?因为ln?x≤x?1(x>0)，
所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3?1，
所以a4≤?1.又a1>1，
所以等比数列的公比q<0．
若q≤?1，则a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0，
而a1+a2+a3≥a1>1，
所以ln(a1+a2+a3)>0，
与ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a4≤0矛盾，
所以?1所以a2?a3=a1q1?q<0，
所以a211.【答案】D
【解答】
解：设等比数列{an+n2}的公比为q，
则q=0+221+12=2，
所以an+n2=2n，
从而{an+n2}的前n项和为2+22+…+2n=2n+1?2，
因为an=2n?n2，
所以a3=?1，
则a1，a2，a3成等差数列，
又a5=7，而7为质数，
所以a5是质数，
因为a4=0=a2，
所以数列{an}存在相同的项．
故所有真命题的序号是①③④．
12.【答案】C
【解答】
解：设正项等比数列{an}的公差q(q>0)，则由a2021=a2020+2a2019，得a2019q2=a2019q+2a2019，
即q2=q+2，解得q=2或q=?1(舍去)，
所以由apar=2a2，得a1qp?1a1qr?1=2a1q，所以2p+r?2=16，p+r=6，
所以1p+4r=16(1p+4r)(p+r)=165+rp+4pr≥16(5+4)=32，
当且仅当rp=4pr，p+r=6，即p=2，r=4时取等号，所以1p+4r的最小值为32，
13.【答案】C
【解答】
解：a3(a1+2a11+a21)=a1a3+2a3a11+a3a21=a22+2a2a12+a122
=(a2+a12)2=(a7q5+a7q5)2=(54+5)2
=62516．
故选C．
14.【答案】10234
【解答】
解：根据题意，log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a10=25，
∴log2a1a2a3…a10=25
∴a1a2a3…a10=225
∴a110q1+2+?+9=225
又由等比数列{an}的公比q=2，
∴a11021+2+?+9=225
∴a110=1220
∴a1=14
则a1+a2+a3+…+a10=141?2101?2=10234，
故答案为10234．
15.【答案】472231
【解答】
解：?设an的公差为d(d≠0).由题意，a22=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，
S5=a32，即5a1+5×(5?1)2d=(a1+2d)2，联立解得a1=1，d=2，
所以an=2n?1，
所以bn=(?1)n+1·2(1+an)anan+1=(?1)n+1·4n(2n?1)(2n+1)
=(?1)n+1·(2n?1)+(2n+1)(2n?1)(2n+1)=(?1)n+1·(12n?1+12n+1).
当n为奇数时，Tn=1+13?13?15+?+12n?1+12n+1=1+12n+1，
当n为偶数时，Tn=1+13?13?15+??12n?1?12n+1=1?12n+1．
所以T5+T10=1+111+1?121=472231．
故答案为：472231．
16.【答案】15
【解答】
解：由等比数列的性质可得a1a2a3=a23=8，
解得a2=2，
又∵S2n=3a1+a3+a5+???+a2n?1n∈N?，
∴a1+a3+a5+???+a2n?1+a2+a4+a6+???+a2n=3a1+a3+a5+???+a2n?1
∴a2+a4+a6+???+a2n=2a1+a3+a5+???a2n?1，
∴a1q+a3q+a5q+???+a2n?1q=2a1+a3+a5+???+a2n?1．
即q=2，
又a2=a1q，
所以a1=1，
由等比数列的求和公式得S4=a11?q41?q=24?12?1=15．
故答案为15．
17.【答案】214
【解答】
解：因为等比数列{an}，S3=6，S4=a1?3，
设公比为q，显然q≠1，
所以a1+a2+a3=6a2+a3+a4=?3，
即a1+a1q+a1q2=6a1q+a1q2+a1q3=?3,
故q=?12，
则S6=S3(1+q3)=6×(1?18)=214．
故答案为：214．
18.【答案】解：(1)由Sn=2an?2可得Sn+1=2an+1?2，
两式相减可得an+1=2an，故数列{an}是以2为公比的等比数列．
又a1=2a1?2，得a1=2，
∴an=a1qn?1=2×2n?1=2n．
(2)由(1)知an=2n，an+1=2n+1，
由题意an+1=an+(n+2?1)dn，
即2n+1=2n+(n+1)dn，∴dn=2nn+1．
假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，
则(dk)2=dm·dp，
即(2kk+1)2=2mm+1?2pp+1．
化简得4k(k+1)2=2m+p(m+1)(p+1)．
又因为m，k，p成等差数列，∴m+p=2k，
∴4k(k+1)2=22kmp+m+p+1=4kmp+2k+1，
得(k+1)2=mp+m+p+1，∴k2=mp，
又∵m+p=2k，∴m+p22=mp，
即(m?p)2=0，∴m=p，即得m=p=k，这与题设矛盾．
所以在{dn}中不存在三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．
19.【答案】解：(1)由题意可得a3a4=a2a5=32a3+a4=12a3解得a3=4，a4=8，
又因为a3=a1·q2=4，a4=a1q3=8，
解得a1=1，q=2．
故列{an}通项公式为：an=a1qn?1=2n?1;
(2)由(1)可得bn=(?1)n?2n=?2n，
故{bn}是以?2为首项，?2为公比的等比数列，
故其前n项和为：Sn=?2×[1?(?2)n]1?(?2)=?(?2)n+1+23．
20.【答案】解：(1)由3(1+an+1)1?an=2(1+an)1?an+1得1?an+12=231?an2．
令cn=1?an2，则cn+1=23cn．
又c1=1?a12=34，则数列{cn}是首项为34，公比为23的等比数列，
即cn=34·23n?1，
所以1?an2=34·23n?1，即an2=1?34·23n?1，
又a1=12>0，anan+1<0(n≥1)，所以an=?1n?11?34·23n?1．
bn=an+12?an2=1?34·23n?1?34·23n?1=14·23n?1．
(2)证明：用反证法证明．
假设数列{bn}中存在三项br，bs，bt(r由于数列{bn}是首项为14，公比为23的等比数列，
于是有br>bs>bt，则只能有2bs=br+bt成立．
即2·14·23s?1=14·23r?1+14·23t?1，
两边同乘3t?1·21?r，化简得3t?r+2t?r=2·2s?r3t?s．
由于r所以上式不可能成立，矛盾．
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．