2010年黑龙江中考数学试卷第28题一题多解
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2010年中考第28题
28、已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE= MD；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为 。
（3）在（2）的条件下，延长BM到P使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= ，求tan∠ACP的值。
A
B
C
D
M
F
E
C
A
B
E
F
D
M
已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE= MD；
A
B
C
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M
F
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已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为 。
C
A
B
E
F
D
M
H
N
P
C
A
B
E
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D
M
评分细则
（1）问相似1分，给出一定条件得出AB与BD的关系1分，整个证明过程中有比的形式与结论1分。其余证法只要落到这三个采分点上就给分。相似写成全等，字母写错都算笔误，三处笔误扣一分。设BD=1，推出 给分，没有“设”字直接写BD=1没分
（2）问填空时与答案一致或恒等变形的式子都给分。用文字表达正确也给分。
（3）问①用到△ABE∽△DBM时必须重新证明，写同理可证或同（1）可证都扣1分，因为图形变了，必须重新证明。②证明 EM⊥BP证错的特别多，相当于默认EM⊥BP，此种情况属于关键步骤证明错误,只给结论1分。③前面有几步，结论对了给1分，直接写结论不给分④辅助线说了没画扣1分，画了没说不扣分⑤用一元二次方程求得的参数值需舍一个，没舍的扣1分。
已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（3）在（2）的条件下，延长BM到P使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= ，求tan∠ACP的值。
P
C
A
B
E
F
D
M
EM⊥BP
P
C
A
B
E
F
D
M
证垂直方法一
∽
P
C
A
B
E
F
D
M
G
证垂直方法二
∽
P
C
A
B
E
F
D
M
H
∽
证垂直方法三
N
P
C
A
B
E
F
D
M
∽
∽
∽
证垂直方法四
P
C
A
B
E
F
D
M
G
H
参考解法一
P
C
A
B
E
F
D
M
H
G
参考解法二
P
C
A
B
E
F
D
M
L
Q
参考解法三
∽
∽
H
P
C
A
B
E
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D
M
G
参考解法四
P
C
A
B
E
F
D
M
N
G
H
参考解法五
P
C
A
B
E
F
D
M
N
参考解法六
∽
P
C
A
B
E
F
D
M
T
S
参考解法七
G
K
P
C
A
B
E
F
D
M
H
∽
参考解法八
主要对相似三角形的性质判定、勾股定理、等边三角形的性质判定、锐角三角函数、解直角三角形、三角形的面积公式、线段的和差、中位线的定义性质、平行线的性质、垂直的性质、一元二次方程解法及根的检验、三角形内角和定理及其推论、全等三角形的判定及性质等知识点的考查。
考查知识点
思想方法
运动变换思想
转化思想
方程思想
函数思想
分类讨论思想
… …
能力要求
28题作为探究型综合题，它是以基本图形为背景，图形变换为载体考察学生的逻辑推理能力，图形分解能力，抽象能力，迁移能力，计算能力，全面分析问题能力。
教学感受：
1、 对前两问批卷要求不是特别严格，重视方法和对知识地掌握，要从学生的角度出发，从理解学生出发。在以后教学生中，对学生的书写要求适当。
2、第三问从这次批卷来看，在中间过程不是很完整或出现一些实质性问题的情况下，如果结论正确只能得到结论的1分。有相当一部分学生在此处乱用知识或逆用定义、定理。建议对知识点的讲解要砸实尤其是逆定理是否可用。
3、从第三问的解法来看，垂直是本题的关键点。部分学生在此处没有证明出来。建议注重双基训练。
4、无论是否证垂直，几乎都应用了斜三角形可解，所以我觉得这正是今年中考的一大改变。为什么这样改，可能与原23题（锐角三角函数的考察）的消失有关。
H
N
P
C
A
B
E
F
D
M
已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（3）在（2）的条件下，延长BM到P使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= ，求tan∠ACP的值。
已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（3）在（2）的条件下，延长BM到P使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= ，求tan∠ACP的值。
大角可拆分为： 小角 加 小角
2010的非特殊角三角函数的应用。
2008年的动点，
2009年的半角旋转，
谢谢!
已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（3）在（2）的条件下，延长BM到P使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= ，求tan∠ACP的值。
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A
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K
G
2010年中考第28题
28、已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE= MD；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为 。
（3）在（2）的条件下，延长BM到P使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= ，求tan∠ACP的值。
A
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C
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M
F
E
C
A
B
E
F
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M
已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE= MD；
A
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C
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M
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已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为 。
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A
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C
A
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M
评分细则
（1）问相似1分，给出一定条件得出AB与BD的关系1分，整个证明过程中有比的形式与结论1分。其余证法只要落到这三个采分点上就给分。相似写成全等，字母写错都算笔误，三处笔误扣一分。设BD=1，推出 给分，没有“设”字直接写BD=1没分
（2）问填空时与答案一致或恒等变形的式子都给分。用文字表达正确也给分。
（3）问①用到△ABE∽△DBM时必须重新证明，写同理可证或同（1）可证都扣1分，因为图形变了，必须重新证明。②证明 EM⊥BP证错的特别多，相当于默认EM⊥BP，此种情况属于关键步骤证明错误,只给结论1分。③前面有几步，结论对了给1分，直接写结论不给分④辅助线说了没画扣1分，画了没说不扣分⑤用一元二次方程求得的参数值需舍一个，没舍的扣1分。
已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（3）在（2）的条件下，延长BM到P使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= ，求tan∠ACP的值。
P
C
A
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EM⊥BP
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C
A
B
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M
证垂直方法一
∽
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G
证垂直方法二
∽
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B
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证垂直方法三
N
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∽
∽
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证垂直方法四
P
C
A
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E
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参考解法一
P
C
A
B
E
F
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M
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G
参考解法二
P
C
A
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M
L
Q
参考解法三
∽
∽
H
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C
A
B
E
F
D
M
G
参考解法四
P
C
A
B
E
F
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N
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参考解法五
P
C
A
B
E
F
D
M
N
参考解法六
∽
P
C
A
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参考解法七
G
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P
C
A
B
E
F
D
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∽
参考解法八
主要对相似三角形的性质判定、勾股定理、等边三角形的性质判定、锐角三角函数、解直角三角形、三角形的面积公式、线段的和差、中位线的定义性质、平行线的性质、垂直的性质、一元二次方程解法及根的检验、三角形内角和定理及其推论、全等三角形的判定及性质等知识点的考查。
考查知识点
思想方法
运动变换思想
转化思想
方程思想
函数思想
分类讨论思想
… …
能力要求
28题作为探究型综合题，它是以基本图形为背景，图形变换为载体考察学生的逻辑推理能力，图形分解能力，抽象能力，迁移能力，计算能力，全面分析问题能力。
教学感受：
1、 对前两问批卷要求不是特别严格，重视方法和对知识地掌握，要从学生的角度出发，从理解学生出发。在以后教学生中，对学生的书写要求适当。
2、第三问从这次批卷来看，在中间过程不是很完整或出现一些实质性问题的情况下，如果结论正确只能得到结论的1分。有相当一部分学生在此处乱用知识或逆用定义、定理。建议对知识点的讲解要砸实尤其是逆定理是否可用。
3、从第三问的解法来看，垂直是本题的关键点。部分学生在此处没有证明出来。建议注重双基训练。
4、无论是否证垂直，几乎都应用了斜三角形可解，所以我觉得这正是今年中考的一大改变。为什么这样改，可能与原23题（锐角三角函数的考察）的消失有关。
H
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C
A
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M
已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（3）在（2）的条件下，延长BM到P使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= ，求tan∠ACP的值。
已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（3）在（2）的条件下，延长BM到P使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= ，求tan∠ACP的值。
大角可拆分为： 小角 加 小角
2010的非特殊角三角函数的应用。
2008年的动点，
2009年的半角旋转，
谢谢!
已知:在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE= ∠BDF，点M在线段DF上，∠ ABE=∠DBM。
（3）在（2）的条件下，延长BM到P使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE= ，求tan∠ACP的值。
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