圆单元检测
一．选择题
1.现有两个圆，的半径等于篮球的半径，的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加米，则面积增加较多的圆是（
）
A.
B.
C.
两圆增加的面积是相同的
D.
无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
先由L=2πR计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小即可．
【详解】解：设⊙O1的半径等于R，变大后的半径等于R′；⊙O2的半径等于r，变大后的半径等于r′，其中R＞r．
由题意得：2πR+1=2πR′，2πr+1=2πr′，解得R′=R+，r′=r+；
所以R′﹣R=，r′﹣r=，所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长，∴⊙O1的面积=πR2，变大后的面积=，面积增加了﹣πR2=R+，⊙O2的面积=πr2，变大后的面积=，面积增加了=r+．
∵R＞r，∴R+＞r+，∴⊙O1的面积增加的多．
故选A．
【点睛】本题考查了圆的周长的计算公式及面积计算公式．分别求出两圆半径的伸长量进行比较是解题的关键．
2.已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么弧AB与弧CD的关系是（ ）
A.
弧AB=弧CD
B.
弧AB＞弧CD
C.
弧AB＜弧CD
D.
不能确定
【答案】D
【解析】
【分析】
根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．
【详解】解：在同圆和等圆中相等弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小.
故选D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等的理解及运用．
熟练掌握三者之间的关系是解本题的关键．
3.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=8，则⊙O的半径为（ ）
A.
B.
2
C.
2
D.
4
【答案】B
【解析】
分析】
过点作
连接根据垂径定理可得根据
得到对式子进行变换，即可求出半径.
【详解】过点作
连接
解得：
故选B.
【点睛】考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子进行变形是解题的关键.
4.如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（ ）
A.
5mm
B.
6mm
C.
8mm
D.
10mm
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，先根据钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm求出OA及OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，由垂径定理即可得出结论．
【详解】
解：连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OA=5mm，OD=8-5=3mm，
∵OD⊥AB，
∴在Rt△OAD中，AD===4mm，
∴AB=2AD=8mm．
故选C．
【点睛】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5.如图,
A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°,
∠CBD
的度数是(
)
A.
40°
B.
50°
C.
70°
D.
110°
【答案】C
【解析】
试题分析：先求得弧ABC所对的圆周角的度数，再根据圆内接四边形的对角互补可得∠ABC的度数，即可求得结果.
∵∠AOC=140°
∴弧ABC所对的圆周角的度数为70°
∴∠ABC=110°
∴∠CBD=70°
故选C.
考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质
点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.
6.如图，点A、B、C、D四个点都在⊙O上，∠AOD＝80°，AO∥DC，则∠B为（ ）
A.
40°
B.
45°
C.
50°
D.
55°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质求出∠ODC，连接AD，再根据等腰三角形的性质求出∠ODA，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】
解：连接AD，
∵∠AOD=80°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=50°，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=80°，
∴∠ADC=130°，
∵点A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠B=180°-∠ADC=50°，
故选C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7.如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（ ）
A.
B.
C.
5
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出EC，根据同弧所对的圆周角相等，得出∠A=∠D，∠B=∠C，从而证出，得出即可．
【详解】解：EC=AC-AE=，
∵∠A=∠D，∠B=∠C
∴，
∴
∴AE?EC=DE?BE，
则DE=，
∴BD=DE+BE=，
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角的性质，三角形相似的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
8.一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（?
）
A.
2.5
cm或6.5
cm
B.
2.5
cm
C.
6.5
cm
D.
5
cm或13cm
【答案】A
【解析】
【分析】
点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【详解】解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
故选A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
9.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（ ）
A.
（0，）
B.
（，0）
C.
（0，2）
D.
（2，0）
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据△AOC∽△COB得出OC2=OA?OB，即可求出OC的长，即可得出C点坐标．
【详解】
如图，连结AC，CB.????
依△AOC∽△COB的结论可得：OC2=OAOB，
即OC2=1×3=3，
解得：OC=或?
(负数舍去)，
故C点的坐标为(0,
).
故答案选：A.
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质.
10.如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，AC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧AmC上任意一点（不包括A，C），记四边形ABCD的周长为y，BD的长为x，则y关于x的函数关系式是（ ）
A.
y=x+4
B.
y=x+4
C.
y=x2+4
D.
y=x2+4
【答案】B
【解析】
分析：作辅助线，构建全等三角形和等边三角形，证明Rt△AGB≌Rt△CFB得：AG=CF，根据30°角的笥质表示DF和DG的长，计算四边形ABCD的周长即可．
详解：连接OB交AC于E，连接OC、OB，
过B作BG⊥AD，BF⊥CD，交DA的延长线于G，交CD于F，
∵AB=BC，
∴，
∴∠BDA=∠BDC，
∴BG=BF，
在Rt△AGB和Rt△CFB中，
∵，
∴Rt△AGB≌Rt△CFB，
∴AG=FC，
∵，
∴OB⊥AC，EC=AC=×2=，
在△AOB和△COB中，
∵，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC=×120°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BDC=∠ADB=30°，
Rt△BDF中，BD=x，
∴DF=x，
同理得：DG=x，
∴AD+DC=AD+DF+FC=DG+DF=x+x=x，
Rt△BEC中，∠BCA=30°，
∴BE=1，BC=2，
∴AB=BC=2，
∴y=AB+BC+AD+DC=2+2+x=x+4，
故选B．
点睛：本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是关键，利用直角三角形30°角的性质解决问题．
二、填空题
11.如图,A,B,C三点在⊙O上,且AB是⊙O的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30?,OF=3,则OA=_____,AC=_____,BC=_____.
【答案】
(1).
6,
(2).
6,
(3).
6
【解析】
【分析】
先根据直角三角形的性质求出OA的长，故可得出AB的长，再根据圆周角定理求出∠ACB的度数，由直角三角形的性质求出AB的长，在Rt△ABC中由勾股定理即可求出AC的长．
【详解】解：∵OD⊥AC，∠A=30°，OF=3，
∴∠AFO=90°，
∴OA=2OF=2×3=6，
∴AB=2OA=2×6=12，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=AB=×12=6，
在Rt△ABC中，∵AB=12，BC=6，
∴AC==6．
故答案为6，6，6．
【点睛】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
12.在的外接圆的面积是_________.
【答案】42.25
【解析】
【分析】
先根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，先由勾股定理求出斜边长，斜边为直径，再求半径即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=Rt∠，AC=5，BC=12，
∴AB==13，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的半径=×13=6.5．
∴外接圆的面积是42.25
故答案为42.25
【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用以及圆的面积公式，关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．
13.等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O中，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积是_______
【答案】8cm2或32
cm2
【解析】
试题解析：连接AO，并延长与BC交于一点D，连接OC，
∵BC=8，⊙O的半径为5，AB=AC，
∴CD=4，
∴AD⊥BC，
∴由勾股定理得：OD=3，
∴AD=8，
∴△ABC的面积为
同理当BC在圆心O的上方时，三角形的高变为5?3=2，
∴△ABC的面积为
故答案为8
cm2或32
cm2.
14.如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，AC交圆O于D，AB=6，BC=8，则BD的长为_________.
【答案】4.8
【解析】
【分析】
根据AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，再根据BC是圆O的切线可得∠ABC=90°，根据勾股定理得出AC，再运用等积法可求解．
【详解】解：∵BC是⊙O的切线，则∠ABC=90°，
由勾股定理得，AC=10，
AB为⊙O的直径，则∠ADB=90°，
∴S△ABC=AB?BC=AC?BD，
∴BD=4.8．
故答案为：4.8
【点睛】本题利用了切线的性质，直径对的圆周角是直角，直角三角形的面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
15.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝36°，则∠C=
▲
．
【答案】
【解析】
连接根据三角形的内角和定理就得到关于∠C的方程，从而求出．
解：设AC与⊙O的另一交点为D，连接BD，
则∠DBC=90°，
设∠C=x，
则∠ABD=x，∠BDC=∠A+∠DBA=36°+x；
∵∠CDB+∠C=90°，
∴36°+x+x=90°，
解得x=27°
16.已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的弧长为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据弧长公式计算即可．
【详解】解：依题意，n=60，r=6，
∴扇形的弧长==2
故答案为2π．
【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=．
17.如图，⊙O的半径为3cm，点P到圆心的距离为6cm，经过点P引⊙O的两条切线，这两条切线的夹角为______度．
【答案】60
【解析】
【分析】
连接AO，则△APO是直角三角形，根据切线长定理即可求解．
【详解】
解：连接AO．则△APO是直角三角形．
根据OA=3cm，OP=6cm，因而∠APO=30°，
所以∠APB=60°．
故答案为60
【点睛】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB＝50?，则∠AOP＝
?．
【答案】
【解析】
根据切线长定理求得∠APO，根据切线的性质定理得到直角∠OAP，再进一步根据直角三角形的两个锐角互余进行求解．
三、解答题
19.已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是
的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．
【答案】AOBC是菱形，理由见解析.
【解析】
【分析】
连接OC，根据等边三角形的判定及圆周角定理进行分析即可．
【详解】AOBC是菱形，理由如下：
连接OC，
∵C是
的中点
∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°，
∵CO=BO（⊙O的半径），
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
同理△OCA等边三角形，
∴OA=AC，
又∵OA=OB，
∴OA=AC=BC=BO，
∴AOBC是菱形．
【点睛】本题利用了等边三角形的判定和性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【此处有视频，请去附件查看】
20.如图，A,B,C,D是圆O上四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
【答案】△ABC≌△DCB；理由见解析．
【解析】
【分析】
根据AB=DC得出劣弧AB=劣弧CD，得出劣弧AC=劣弧BD，得出AC=BD，又因为∠A，∠D所对的是同一条弧，那么可得出∠A=∠D，这样可以确定全等．
【详解】解：△ABC与△DCB全等．
证明：∵圆周角∠A，∠D所对的是同一条弧，∴∠A=∠D
∵AB=CD，∴劣弧AB=劣弧CD，∴劣弧AC=劣弧BD，
∴AC=BD
∴△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角关系定理，圆周角的性质定理，全等三角形的判定．熟练掌握相关知识是解题的关键．
21.如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O
（1）试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系
（2）由（1）题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系
【答案】（1）∠A=BOC．∠BIC=90°+∠A．（2）∠BIC=90°+∠BOC．
【解析】
【分析】
（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠A与∠BOC的数量关系；根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理确定∠A与∠BIC的数量关系．
（2）根据（1）中的数量关系消去∠A即可得到两角之间的关系．
【详解】解：（1）∠A为⊙O中弧BC所对的圆周角，由圆周角定理得∠A=BOC．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．
（2）由（1）得∠BIC=90°+∠A=90°+∠BOC=90°+∠BOC，
即∠BOC和∠BIC的关系是∠BIC=90°+∠BOC．
【点睛】此题主要考查了三角形的内心与外心，此题中可以熟记：当O是外心时，则∠BOC=∠A；当I是内心时，则∠BIC=90+∠A
22.有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB，被剪掉的阴影部分的面积是多少？
【答案】（m2）
【解析】
【分析】
证出BC是圆O的直径，求出求得AC的值，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积；
【详解】
解：连接BC，AO，
∵∠BAC=90°，OB=OC，
∴BC是圆0的直径，AO⊥BC，
∵圆的直径为1
∴OC=OA=，
∴AC=
∴AC=BC=，
∴S阴影=S⊙O-S扇形ABC=π?（）2-π?()2＝（m2）．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，属于基础题，熟练掌握扇形的面积计算公式，求出扇形的半径是解答本题的关键．
23.如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
【答案】
(1).
90°
(2).
72°
【解析】
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM=∠NOC，故∠MON=∠BOC，再由圆周角定理即可求出∠BOC=120°；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．
【详解】解：
(1)方法一：如图①，连接OB，OC.
图①
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN，
∴∠BOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
方法二：如图②，连接OA，OB.
图②
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON，
∴∠MON＝∠AOB＝120°
(2)90° 72° (3)∠MON＝.
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．圆单元检测
一．选择题
1.现有两个圆，的半径等于篮球的半径，的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加米，则面积增加较多的圆是（
）
A.
B.
C.
两圆增加的面积是相同的
D.
无法确定
2.已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么弧AB与弧CD的关系是（ ）
A.
弧AB=弧CD
B.
弧AB＞弧CD
C.
弧AB＜弧CD
D.
不能确定
3.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=8，则⊙O的半径为（ ）
A.
B.
2
C.
2
D.
4
4.如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（ ）
A.
5mm
B.
6mm
C.
8mm
D.
10mm
5.如图,
A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°,
∠CBD
的度数是(
)
A.
40°
B.
50°
C.
70°
D.
110°
6.如图，点A、B、C、D四个点都在⊙O上，∠AOD＝80°，AO∥DC，则∠B为（ ）
A.
40°
B.
45°
C.
50°
D.
55°
7.如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（ ）
A.
B.
C.
5
D.
8.一个点到圆最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（?
）
A.
2.5
cm或6.5
cm
B.
2.5
cm
C.
6.5
cm
D.
5
cm或13cm
9.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（ ）
A
（0，）
B.
（，0）
C.
（0，2）
D.
（2，0）
10.如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，AC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧AmC上任意一点（不包括A，C），记四边形ABCD的周长为y，BD的长为x，则y关于x的函数关系式是（ ）
A.
y=x+4
B.
y=x+4
C.
y=x2+4
D.
y=x2+4
二、填空题
11.如图,A,B,C三点在⊙O上,且AB是⊙O的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30?,OF=3,则OA=_____,AC=_____,BC=_____.
12.在的外接圆的面积是_________.
13.等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O中，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积是_______
14.如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，AC交圆O于D，AB=6，BC=8，则BD的长为_________.
15.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝36°，则∠C=
▲
．
16.已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的弧长为_______.
17.如图，⊙O的半径为3cm，点P到圆心的距离为6cm，经过点P引⊙O的两条切线，这两条切线的夹角为______度．
18.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB＝50?，则∠AOP＝
?．
三、解答题
19.已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是
的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．
20.如图，A,B,C,D是圆O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
21.如图所示，已知△ABC内心为I，外心为O
（1）试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系
（2）由（1）题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系
22.有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB，被剪掉的阴影部分的面积是多少？
23.如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
