第二章 分解因式（全章的课件）

(共140张PPT)
1.用简便方法计算：
（1）-2.67× 32+25×2.67+7×2.67= .
（2）992 –1= ．
0
9800
2.992–99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？
3.解决以上问题的关键是什么？
答:能被100，99，98，300，200，33，49，3，20，50，5等数整除。
关键是：把这个式子化成几个数的积的形式。
引入
根据上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc= ；
（2）3x2-3x= ；
（3）m2-16= ；
（4）a3-a= ；
（5）y2-6y+9= ．
计算下列式子：
（1）3x(x-1)= ；
（2）m(a+b+c)= ；
（3）(m+4)(m-4)= ；
（4）(y-3)2 = ；
（5）a(a+1)(a-1)= ．
3x -3x
2
ma+mb+mc
m2-16
y2-6y+9
a3-a
m(a+b+c)
3x(x-1)
(m+4)(m-4)
a(a+1)(a-1)
(y-3)2
将多项式化为乘积形式
将乘积化为多项式
两种运算是互逆的恒等变形
因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab
（4）a2–2ab+b2=(a–b)2
√
X
X
X
理解分解因式的定义：
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系； （2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止（分解完全）．
（5）上述（3）与分解因式所在的数集有关（有理数集合）
随堂练习：（书）
整容机
代数诊所里来了两个整式：胖子 和瘦子 ，他俩一进门就对医生诉说起来：“我们俩从来没有生活在一起，长得一点也不像，可有人偏说我俩是双胞胎，我俩今天来的目的就是想检查一下，我们到底是不是双胞胎．”
医生点点头：“你俩跟我来！”然后把胖子 送到一台机器前，机器上方写着“分解因式机”，他把 送到机器面前一照，图像很快就在屏幕上显示出来．
惊讶地叫起来：“怎么图像与我是一模一样呀？这是怎么回事呀？”
医生说：“这没有什么奇怪的，你们俩其实就是双胞胎，只不过你通过了这种分解因式机整过容罢了．”
“真的？” 指着 说：“那他能不能也到分解因式机里整容？”
“当然可以，他整容后的形象与你一模一样．”
“那我要是想现在整成他的那个样子，行不行？”
“行！”医生肯定地说．
“那咋整？”
医生把他带到这台机器的后面，只见上面写着：“整式乘法机”，医生说：“如果到这个整式乘法机里再整一次容，你就又变成他那个样子了，也就是你以前的样子．”
“那分解因式与整式的乘法两种手术是不是互逆的关系？”
“对，你真聪明！”
“那手术会失败吗？”
“手术可能会失败，但那是在庸医手里，在高明的医生手里是不会失败的．”
“怎么会这样呢？”
“有的医生学艺不精，比如把 整成6（x2–4）的样子，就是庸医的杰作，他根本就没有整完，就撩手了．”
“但愿以后我再整容时不要碰到庸医手里．”
从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？
1、因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，
分解因式的结果要以积的形式表示
2、分解因式与整式的乘法是互逆关系
3、由因数分解可类比得到因式分解
1.756×12-1.756×10+8×1.756
=1.756× (12-10+8)
=1.756 ×10
=17.56
问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
答：可用乘法的分配律的逆运算进行计算，
这个式子的各项的相同因数是1.756
问：多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式mb +nb–b呢？多项式 x2 +4x2呢？
b
结论：多项式中各项式都含有的相同因式，
叫做这个多项式各项的公因式．
a
x2
多项式2x2yz+6x2y 中各项的公因式是什么？
你认为一个多项式的公因式是什么？
结论：
（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
2x2y
说出下列多项式的公因式：
（1）3x+x3
（2）7x2 –21x
（3）8a3b2 –12ab3c+ab
（4）–24x3 –12x2 +28x
x
7x
ab
4x
（1）找公因式；
（2）提公因式．
从上题的解答中，你能归纳出提公因式的步骤吗
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而
将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
例1 将下列名式分解因式（板书）：
（1）3x+x3
（2）7x2 –21x
（3）8a3b2 –12ab3c+ab
（4）–24x3 –12x2 +28x
分解因式方法——提公因式法
提取公因式的步骤是：
一、确定公因式的方法
1.第一项有负号，先把负号作为公因式的符号；
2.公因式系数是各项系数的最大公约数；
3.公因式中的字母是各项都含有的字母；
4.公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂
5.若有某项与公因式相同时，该项保留公因式是1，
而不是0；
6、若多项式作为项的一个因式，且各项均含有相同
的因式，就应把它作为一个整体提出．
1、找出下列各多项式的公因式：
（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn–24m n （4）a b–2ab +ab
3
2
2
2
3
3
2、将下列多项式进行分解因式：
（1）8x–72 （2）a b–5ab （3）4m –8m 　　
（4）a b–2ab +ab　　　（5）–48mn–24m n （6）–2x y+4xy –2xy
解：（1） 8x–72 =8（x–9)
（2） ab–5ab=ab(a –5)
（3） 4m –8m =4m (m–2)
（4）a b–2ab +ab = ab(a –2b+1)
（5） 48mn–24m n =24mn(2–mn )
（6） –2x y+4xy –2xy= –2xy（x –2y+1)
2
2
2
2
3
3
2
2
答：（1） 4x+8y 的公因式是4；
（2）am+an 的公因式是a；
（3）48mn–24m n的公因式是24mn；
（4）a b–2ab +ab 的公因式是ab．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
从今天的课程中，你学到了哪些知识？
你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？
课本第44页习题2．2第1，2题
把下列各式因式分解：
（1）am+an （2）a b–5ab （3）m n+mn –mn （4）–2x y+4xy –2xy
因式分解：a（x–3）+2b（x–3）
2
2
2
2
2
解：（1） am+an=a(m+n)
（2）a b–5ab= ab(a –5)
（3）m n+mn –mn=mn(m+n –1)
（4）–2x y+4xy –2xy = –2xy(x–y+1)
2
2
2
2
2
解：a（x–3）+2b（x–3）
= （x–3）（a+2b)
（x–3）是公因式
在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a= （a–2）
（2）y–x= （x–y）
（3）b+a= （a+b）
（4）（b–a）= （a–b）
（5）–m–n= （m+n）
（6）–s +t = （s –t ）
将下列各式因式分解：
（1）a（x–y）+b（y–x） （2）3（m–n）–6（n–m）
–
–
–
–
2
2
2
2
2
2
2
3
+
+
解： （1）a（x–y）+b（y–x）= a（x–y）–b（x–y）= （x–y）（a–b)
2
2
2
3
3
（2）3（m–n）–6（n–m）= 3（m–n）–6（m–n）=3(m –n) (m –n –2)
填一填：
（1）3+a= （a+3） （2）1–x= （x–1）
（3）（m–n）= （n–m） （4）–m +2n = （m –2n ）
–
–
+
-
2
2
解： x（a+b）+y（a+b）
= （a+b）（x+y)
解： 3a（x–y）–（x–y）
= （x–y）（3a –1)
解： 6（p+q）–12（q+p）
= 6（p+q）–12（p+q）
= 6 （p+q）（p+q–2）
2
2
2
解： a（m–2）+b（2–m）
= a（m–2）–b（m–2）
= （m–2）（a –b)
解： 2（y–x）+3（x–y）
= 2（x–y）+3（x–y）
= （x–y）（2 x–2y+3）
解： mn（m–n）–m（n–m）
= mn（m–n）–m（m–n）
= m（m–n）（n+n-m） =m (m–n) （2n-m）
2
2
2
2
2、把下列各式因式分解：
（1）x（a+b）+y（a+b） （2）3a（x–y）–（x–y）
2
2
（3）6（p+q）–12（q+p） （4）a（m–2）+b（2–m）
（5）2（y–x）+3（x–y） （6）mn（m–n）–m（n–m）
把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)分解因式
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
课本第47页习题2．3第1，2题
解： (a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)
= (a＋b－c)(a－b＋c)＋(a－b －c)(a －b+c)
= (a－b＋c )(a＋b－c+ a－b －c)
= (a－b＋c) (2a－2c)
=2 (a－b＋c) (a－c)
提取公因式（提高）
按照提公因式法因式分解。
提高训练(1)
把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)分解因式
解： (a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)(b－a－c)
= (a＋b－c)(a－b＋c)＋(a－b －c)(a －b+c)
= (a－b＋c )(a＋b－c+ a－b －c)
= (a－b＋c) (2a－2c)
=2 (a－b＋c) (a－c)
提高训练(二)
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。
逆用
整式乘法
因式分解
1.下式中不能用平方差公式分解的是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
C
解:原式=
1. 25– 16x2
例 把下列句式分解因式。
= (5+4x)(5–4x)
52–(4x) 2
解:原式=
尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = _________
② 49 – n2 = ________
③ s2 – 4t2 = ________
④ 100x2 – 9y2 =____________
(a+3)(a–3)
(7+n)(7–n)
(s+2t)(s–2t)
(10x+3y)(10x–3y)
解：原式=
1. – 4x2 + y2
= – ( 4x2 – y2 )
= – (2x+y)(2x–y)
= (x2+1) (x+1)(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
例2 利用平方差公式分解因式。
2. x4 – 1
= (x2)2 – 12
= (y+2x)(y–2x)
或
解：原式
= (x2+1) (x2–1)
y2 – 4x2
= y2–(2x) 2
3. x2 – x6
= x2 – (x3)2
= (x+x3)(x–x3)
= x·(1+x2)·x·(1–x2)
= x2(1+x2)(1+x)(1–x)
3. x2 – x6
= x2 (1–x4)
= x2 (1+x2)(1–x2)
= x2 (1+x2)(1+x)(1–x)
先考虑提取公因式，再考虑用公式法。
例2 利用平方差公式分解因式。
或
4. 6x3 – 54xy2
= 6x (x2–9y2)
= 6x (x+3y)(x–3y)
5. (x+p)2 – (x–q)2
= [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ]
= (2x+p–q)(p+q)
Y
X
Y
X
Y
X
例2 利用平方差公式分解因式。
整体思想
做一做
利用平方差公式因式分解。
例2 把下列各式分解因式
对应练习：
例4.把下列各式因式分解
四项及以上：
先分组再分解
3. 把下列各式分解因式：
1、因式分解的一个重要工具
平方差公式
2、我们在进行因式分解时
应注意的问题
回顾 & 小结

首先提取公因式
然后考虑用公式
最终必是连乘式
独立作业：
课本P56 知识技能
1、2、3。
提高训练
要分解完全！
注意：
复习回顾
还记得前面学的完全平方公式吗？
计算：
这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = ___________
② n2–10n+25 = _________
③ 4t2–8t+4 = ___________
④ 4x2–12xy+9y2 = ________
(a+3)2
(n–5)2
4(t–1)2
(2x–3y)2
① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
③ x2 + 2x – 1
④ 4x2 – 8xy + 4y2
⑤ 1 – 2a2 + a4
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，积的两倍在中央。
(1)
x2＋14x＋49
解：
(2)
解：
例题
(3)
3ax2＋6axy＋3ay2
解：
(4)
解：
例题
-x2-4y2＋4xy
解：
例题
(5)
解：
16x4-8x2＋1
（6）
解：
做一做
用完全平方公式进行因式分解。
做一做
用恰当的方法进行因式分解。
备选方法：
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
因式分解：
(y2 + x2 )2 - 4x2y2
=(y+x)2(y-x)2
简便计算：
解：原式=（56+34）2=902=8100
(7)(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2
把下列各式因式分解
=(a+1-a+1)2=4
把下列各式因式分解
提高训练(一)
④ 给4x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是 ________。
提高训练(二)
提高训练(三)
作业
习题2.5
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全平式，则k=
a2+b2
2
2.已知 a(a+1)-(a2-b)=-2, 求
+ab
的值。
±12
解: 由a(a+1)-(a2-b)=a2+a-a2+b=a+b=-2得
3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。
解：由x2+4x+y2-2y+5=(x2+4x+4)+(y2-2y+1)
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1=
一、计算：
二、分解因式：
（x + a ）（x + b）
十字相乘法分解的适用条件：
例一：
或
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
十字相乘法
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱。
“拆两头，凑中间”
试一试：
小结：
用十字相乘法把形如
二次三项式分解因式使
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
∵ (+1)(+2)＝＋2
(+1)＋(+2)＝+3
∴
练习
∵(－1)(－6)＝＋6
(－1)＋(－6)＝－7
∴
∵(+3)(－7)＝－21
(＋3)＋(－7)＝－4
∴
∵ (－3)(+5)＝－15
(－3)＋(＋5)＝＋2
∴
课堂练习：（口答）
观察：p与a、b符号关系
小结：
当q>0时，q分解的因数a、b( )
同号
异号
当q<0时， q分解的因数a、b( )
且（a、b符号）与p符号相同
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
x2+px+q =x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
练习：在 横线上 填 + 、-符号
=（x 3）（x 1）
=（x 3）（x 1）
=（y 4）（y 5）
=（t 4）（t 14）
+
+
-
+
-
-
-
+
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将
分解因式
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
独立练习：分解因式

例2 分解因式 3x2 －10x＋3
x
3x
－3
－1
－9x－x=－10x
=(x－3)(3x－1)
例3 分解因式 5x2－17x－12
5x
x
＋3
－4
－20x＋3x=－17x
=(5x＋3)(x－4)
对应练习
1
2
－5
－1
－1－10=－11
例4 将 2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x)＋5 分解因式
解：2(6x ＋x)－11(6x ＋x) ＋5
2
2
2
= [(6x ＋x) －5][2(6x ＋x)－1]
2
2
= (6x ＋x－5) (12x ＋2x－1 )
2
2
= (6x －5)(x ＋1) (12x ＋2x－1 )
2
6
1
－5
1
－5＋6=1
对应练习
含有x的二次三项式，其中x2系数是1，常数项为12，并能分解因式，这样的多项式共有几个？
A 2个 B 4个
C 6个 D 8个
1、十字相乘法
（借助十字交叉线分解因式的方法）
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式分解因式
3、 x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之间的符号关系
q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）
与p符号相同
作业：
§分组分解法
一、分组后能直接提取公因式
例1 把多项式　　　　　　　　　分解因式．
【分析】这是一个四项式，它的各项没有公
因式，而且也没有供四项式作分解的公式可
用，所以用这些基本方法都无法直接达到分
解的目的．但是，如果分组后在局部分别分
解，就可以创造整体分解的机会．
例1 把多项式　　　　　　　　　分解因式．
【解法一】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【解法二】
注意：把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键.
(1)a2x＋a2y＋b2x＋b2y (2)mx＋mx2－n－nx
分解因式：
【解】a2x＋a2y＋b2x＋b2y
＝(a2x＋a2y)＋(b2x＋b2y)
＝a2(x＋y)＋b2(x＋y)
＝(x＋y)(a2＋b2)
【解】 mx＋mx2－n－nx
＝(mx＋mx2)－(n＋nx)
＝mx(1＋x)－n(1＋x)
＝(1＋x)(mx－n)
对应练习：
【解法一】a3－a2b－ab2＋b3
＝(a3－a2b)－(ab2－b3)
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)
【解法二】a3－a2b－ab2＋b3
＝(a3－ab2)－(a2b－b3)
＝a(a2－b2)－b(a2－b2)
＝(a2－b2)(a－b)
＝(a－b)2(a＋b)
（3）分解因式a3－a2b－ab2＋b3．
二、分组后能直接运用公式
【解】
＝
＝
＝
＝
例2 把多项式 分解因式．
【分析】观察多项式，前两项有公因式，后三项符合完全平方公式．
例3把多项式 a2-2ab+b2-c2分解因式．
【分析】观察多项式，前三项符合完全平方公式．
例5 将 2x2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分解因式
解： 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2
2
2
=(2x －3xy－2y )＋3x＋4y－2
2
2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
1
－2
－4＋1=－3
(2x＋y)
(x－2y)
－1
2
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
分组分解加十字相乘
方法 分类 分组方法 特点
分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
五项 三项、二项 各组之间有公因式
六项 三项、三项
二项、二项、二项 各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
练 习
把下列各式分解因式：
练 习
把下列各式分解因式：
16．
17．
18．a4－50a2＋625
练 习
把下列各式分解因式：
(a＋5)2(a－5)2
19．16x4－72x2＋81
(2x＋3)2(2x－3)2
小 结
常见题型有：
3．运用公式
分解首项系数是1的二次三项式．
1．分组后可以直接提公因式．
2．分组后能利用公式．
(1)能利用平方差公式
(2)能利用完全平方公式
(1)ac+bc+2a+2b (2)3a-ax-3b+bx
(3)2ax-10ay+5by-bx
(4)5ax+6by+5ay+6bx
分解因式：
作业
(5)4a2-b2+6a-3b
(6)9m2-6m+2n-n2
(7)x2-y2-z2+2yz
(8)x2-4xy+4y2+2x-4y
练 习
把下列各式分解因式：
10.(z2-x2-y2)2-4x2y2
知识结构
因式分解常用方法
提公因式法
公式法
十字相乘法
分组分解法
拆项添项法
配方法
待定系数法
求根法
……
一、提公因式法
只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。
提公因式法随堂练习：
1）15(m–n)+13(n–m)
2）4(x+y)+4(x–3y)
二、公式法
只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。
接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。
常用公式
1、(a+b)(a–b)=a2–b2
（平方差公式）
2、(a±b)2=a2±2ab+b2
（完全平方公式）
3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)
及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)
（立方和、差公式）
5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
（完全立方和公式）
6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导
这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程
不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆
公式法随堂练习：
1）(a2–10a+25)(a2–25)
2）x3+3x2+3x+1
二、公式法
只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。
三、十字相乘法①
前面出现了一个公式：
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）
例1：因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3
而一次项系数 4 = 1 + 3
∴原式=(x+1)(x+3)
暂且称为p、q型因式分解
例2：因式分解x2–7x+10
可以看出常数项10 = (–2)×(–5)
而一次项系数 –7 = (–2) + (–5)
∴原式=(x–2)(x–5)
这个公式简单的说，
就是把常数项拆成两个数的乘积，
而这两个数的和刚好等于一次项系数
十字相乘法①随堂练习：
1）a2–6a+5 2）a2–5a+6
3）x2–(2m+1)x+m2+m–2
三、十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。
= 17
3 x2 + 11 x + 10
6 x2 + 7 x + 2
2
3
1
2
4
+ 3
= 7
∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
1
3
5
2
2
+ 15
= 11
1
3
2
5
5
+ 6
∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)
= –6
5 x2 – 6 xy – 8 y2
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
1
5
–2
4
4
– 10
∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
简记口诀：
首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2
2）7a2–19a–6
3）2(x2+y2)+5xy
四、分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。
解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd)
= a (b – c) + d (b – c)
= (a + d) (b – c)
还有别的解法吗？
四、分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。
解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd)
= b (a + d) – c (a + d)
= (a + d) (b – c)
例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1)
= (x3+1)(x2+x+1)
= (x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)
立方和公式
分组分解法随堂练习：
1）xy–xz–y2+2yz–z2
2）a2–b2–c2–2bc–2a+1
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
= (x+1)(x4+2x2+1–x2)
= (x+1)[(x2+1)2–x2]
= (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)
五*、拆项添项法
怎么结果与刚才不一样呢？
因为它还可以继续因式分解
拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。
最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。
五*、拆项添项法
因式分解 x4 + 4
解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
都是平方项
猜测使用完全平方公式
完全平方公式
平方差公式
拆项添项法随堂练习：
1）x4–23x2y2+y4
2）(m2–1)(n2–1)+4mn
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
配方法 (拆项添项法)分组分解法
完全平方公式
平方差公式
六*、待定系数法
试因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：
解得： ，∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
= 3
= 14
10
+ 4
2 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20
双十字相乘法
双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
2
1
–3
3
6
– 3
4
5
= –3
12
– 15
∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
七*、求根法
设原多项式等于零，解出方程的解 x1、x2……，则原式就可以分解为(x–x1)(x–x2)(x–x3)……
更多的方法需要同学们自己去寻找 !
多练才能拥有自己的解题智慧 !
综合训练(一)
综合训练(二)
2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解后的结果是( )。
A. (y–z)(x+y)(x–z) B. (y–z)(x–y)(x+z)
C. (y+z)(x–y)(x+z) D. (y+z)(x+y)(x–z)
3、因式分解 x3 + 6x2 + 11x + 6 。
综合训练(三)
总结训练(一)
总结训练(二)