平面向量 教案(共25课时）

课 题：平面向量的数量积及运算律（1）
教学目的：
1掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4掌握向量垂直的条件
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
教学过程：
一、复习引入：
1． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ
2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
3．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
4．平面向量的坐标运算
若，，
则，，
若，，则
5．∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，
使 =λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7定比分点坐标公式：
若点P１(x1,y1) ，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比
8点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点
②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点
9线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，
可得=
10．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但是ab = bc a = c
如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|
ab = bc 但a c
(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量
1ea = ae =|a|cos
2ab ab = 0
3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|
特别的aa = |a|2或
4cos =
5|ab| ≤ |a||b|
三、讲解范例：
例1 判断正误，并简要说明理由
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；
对于②：应有０·ａ＝0；
对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；
对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；
对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；
对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс
则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），
∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ
若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，
∴ａ·ｂ＝０；
③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有
ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能
四、课堂练习：
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
1已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求·
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜｜＝ａ＝５，｜｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，
∴·＝｜｜·｜｜cosＣ＝5×8cos60°＝20
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°
2向量的数量积不满足结合律
分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с夹角为β，则(ａ·ｂ)с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosα·с，
ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜cosβ
∴若ａ＝с，α＝β，则｜ａ｜＝｜с｜，进而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с)
这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：
已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝，ａ与ｂ夹角是60°，ｂ与с夹角是45°，则：
(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜cos60°）с＝с，
ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜cos45°）ａ＝ａ
而с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）
C课 题：向量小结与复习（2）
教学目的：
1熟悉向量的性质及运算律；? 2能根据向量性质特点构造向量；
3熟练平面几何性质在解题中应用；?4熟练向量求解的坐标化思路
5认识事物之间的内在联系；?
6认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识?
教学重点：向量的坐标表示的应用；构造向量法的应用?
教学难点：构造向量法的适用题型特点的把握
授课类型：复习课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法:启发引导式?
针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识?
对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力教学过程：
一、讲解范例：
例1利用向量知识证明下列各式?
(1)x2＋y2≥2xy?
(2)｜x｜2＋｜y｜2≥2x·y
分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系?
(2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证
证明：(1)设a＝（x，y），b＝（y，x）则a·b＝xy＋yx＝2xy?
｜a｜·｜b｜＝
又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ为a，b夹角)?
≤｜a｜·｜b｜?
∴x2＋y2≥2xy
(2)设x，y的夹角为θ，?
则x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤
∴｜x｜2＋｜y｜2≥2x·y?
评述： (1)上述结论表明，重要不等式a2＋b2≥2ab，无论对于实数还是向量，都成立?
(2)在(2)题证明过程中，由于｜x｜，｜y｜是实数，故可以应用重要不等式求证?
例2利用向量知识证明?
(a1b1＋a2b2)2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量?
证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）
则a·b＝a1b1＋a2b2，?
｜a｜2＝a12＋a22，｜b｜2＝b12＋b22
∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜(其中θ为a，b夹角)?
∴（a·b）2≤｜a｜2·｜b｜2?
∴（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会?
例3已知ｆ（x）＝
求证：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）
分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的也可考虑构造向量法，利用向量的性质求证下面给出两种证法?
证法一：∵ｆ（a）＝，
ｆ（b）＝，?
∴要证明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜?
只需证明｜－｜2＜｜a－b｜2?
即 1＋a2＋1＋b2－2＜a2＋b2－2ab?
即 ＞1＋ab?
只需证明（）2＞（1＋ab）2?
即1＋a2＋b2＋a2b2＞1＋2ab＋a2b2?
即a2＋b2＞2ab?
∵a2＋b2≥2ab 又a≠b?
∴a2＋b2＞2ab?
∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜?
证法二：设a＝（1，a），b＝（1，b）?
则｜a｜＝，｜b｜＝
a－b＝（O，a－b）?
｜a－b｜＝｜a－b｜?
由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，
（其中当｜a｜＝｜b｜即a＝b时，取“＝”，而a≠b?）
∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b｜?
即｜－｜＜｜a－b｜?
∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜?
评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的认识?
上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用
例4已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD?分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件?
证法一：∵＝＋，?
＝－，?
∴·＝（＋）·（－）
＝｜｜2－｜｜2＝O?
∴⊥
证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2
∵＝－＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），?
＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）?
∴·＝c2－a2－b2＝O
∴⊥ 即 AC⊥BD?
评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握
例5 若非零向量a和b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜证明：a⊥b?
分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法?证法一： (根据平面图形的几何性质)?
设＝a，＝b，?
由已知可得a与b不平行，?
由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、为邻边的平行四边形OACB的对角线和相等?
所以平行四边形OACB是矩形，
∴⊥，∴a⊥b?
证法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b｜?
∴（a＋b）2＝（a－b）2?
∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2?
∴a·b＝O?，∴a⊥b?
证法三：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），?
｜a＋b｜＝，
｜a－b｜＝，
∴
＝，
化简得：x1x2＋y1y2＝O，?
∴a·b＝O，?∴a⊥b?
例6 已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标?
分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程?
解：设a的终点坐标为（ｍ，ｎ）
则a＝（ｍ－3，ｎ＋1）?
由题意
由①得：ｎ＝（3ｍ－13）代入②得?
25ｍ2－15Oｍ＋2O9＝O
解得
∴a的终点坐标是（
评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆?
上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来?
二、课堂练习：?
1已知a＝（1，O），b＝（1，1），当λ为何值时，a＋λb与a垂直?
解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）?
∵（a＋λb）⊥a ∴（a＋λb）·a＝O?
∴（1＋λ）＋O·λ＝O?∴λ＝－1
即当λ＝－1时，a＋λb与a垂直?
2已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角为3O°，
求｜a＋b｜，｜a－b｜?
解：｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2
＝｜a｜2＋2·｜a｜·｜b｜cos3O°＋｜b｜2
＝（）2＋2××2×＋22＝13?
∴｜a＋b｜＝，
∵｜a－b｜2＝（a－b)2?＝a2－2a·b＋b2
＝｜a｜2－2｜a｜·｜b｜·cos3O°＋b2?
＝（）2－2××2×＋22＝1?
∴｜a－b｜＝1?
3已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a与b的夹角为6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b?当ｍ为何值时，c与d是否垂直 ?
解：若c⊥d?，则c·d＝O?
∴（3a＋5b）（ｍa－3b)＝O?
∴3ｍ｜a｜2＋（5ｍ－9）a·b－15｜b｜2＝O?
∴3ｍ｜a｜2＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜cos6O°－15｜b｜2＝O?
即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O，解得ｍ＝?
4已知a＋b＝c，a－b＝d?
求证：｜a｜＝｜b｜c⊥d?
证明：(1)c⊥d?
（a＋b）（a－b）＝O? a2－b2＝O?
a2＝b2? ｜a｜＝｜b｜，?
(2)｜a｜＝｜b｜?
a2＝b2? a2－b2＝O? （a＋b）（a－b）＝O? c⊥d?
三、小结 通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法?
四、课后作业：
五、板书设计（略）
六、课后记及备用资料：
1三角形内角和性质?
定理：在△ABC中，A、B、C分别为三个内角，则A＋B＋C＝18O°
推论(1)B＝6O°2B＝A＋C
推论(2)若A＜9O°，则有
sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC?
推论(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，?
tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC?
推论(4)
2三角形内角和性质应用举例?
例1 △ABC中，若求证：A、B、C成等差数列?
证明：由条件得，
由推论(3)得sin（B＋C）＝sinA?∴sin（B－C）＝sinA－sinC
∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC?，即2cosBsinC＝sinC?
∵sinC≠O，∴cosB＝，∴B＝
故由推论(1)得2B＝A＋C?所以A、B、C成等差数列?
例2 在锐角△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC
证明：∵△ABC是锐角三角形，∴A＜9O°，根据推论(2)有：sinB＞cosC ①
B＜9O°，根据推论(2)有：sinC＞cosA ②?
C＜9O°，根据推论(2)有sinA＞cosB ③?
∴①＋②＋③得：?sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC?
例3已知△ABC，求证(a－b)cot＋(b－c)cot＋(c－a)cot＝O?
证明：根据正弦定理和推论(4)，?有
(a－b)cot＝2Ｒ(sinA－sinB)tan＝4Ｒsinsin，
∴（a－b）cot＝2Ｒ（cosB－cosA）?
同理，（b－c）cot＝2Ｒ（cosC－cosB）；?
（c－a）cot＝2Ｒ（cosA－cosC)?
三式相加可得?（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝O
①
②课 题：实数与向量的积（1）
教学目的：
1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2.掌握实数与向量的积的运算律；
3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.
教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件
教学难点：对向量共线的充要条件的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；
3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
8．向量加法的交换律：+=+
9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
10．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a b = a + (b)
11．差向量的意义： = a, = b, 则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
二、讲解新课：
1．示例：已知非零向量，作出++和()+()+()
==++=3
==()+()+()=3
（1）3与方向相同且|3|=3||；（2）3与方向相反且|3|=3||
2．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||
（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
3．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ①
第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ②
第二分配律：λ(+)=λ+λ ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立
如果λ0，μ0，有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||
∴|λ(μ)|=|(λμ)|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向
从而λ(μ)=(λμ)
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ0，μ0，
当λ、μ同号时，则λ和μ同向，
∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||
|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向
即 |(λ+μ)|=|λ+μ|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向，且|(λ+μ)|=|λ+μ|
∴②式成立
第二分配律证明：
如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当，且λ0，λ1时
（1）当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，
作 λ λ
则+ λ+λ
由作法知 ，∥有OAB=OA1B1 ||=λ||
∴λ ∴△OAB∽△OA1B1
∴λ AOB= A1OB1
因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同
∴λ(+)=λ+λ
当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ
∴ ③式成立
4．向量共线的充要条件
若有向量()、，实数λ，使=λ，则与为共线向量
若与共线()且||：||=μ，则当与同向时=μ； 当与反向时=μ从而得
向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ
三、讲解范例：
例1若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.
分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ.
解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ① ｍ－３ｎ＝ｂ②
3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③
①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ. ∴ｎ＝ａ－ｂ④
将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝ａ＋ｂ
评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
例2凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝(+).
解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.
过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.
∴EF是△ADG的中位线，∴EF =, ∴＝.
而＝＋＝＋，
∴＝（＋）.
解法二：创造相同起点，以建立向量间关系
如图，连EB，EC，则有＝＋，
＝＋，
又∵E是AD之中点，∴有＋＝0.
即有＋＝＋；
以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.
∴＝＝（＋）＝（＋）
四、课堂练习：
1.错例分析
判断向量ａ＝－２e与ｂ＝２e是否共线
对此题，有同学解答如下：
解：∵ａ＝－２e，ｂ＝２e，∴ｂ＝－ａ，∴ａ与ｂ共线.
分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现
其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e并无任何限制，那么就应允许e＝0，而当e＝0时，显然ａ＝0，ｂ＝0，此时，ａ不符合定理中的条件，且使ｂ＝λａ成立的λ值也不惟一(如λ＝－１，λ＝１，λ＝２等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e＝0的情况应另法判断才妥.
综上分析，此题应解答如下：
解：(1)当e＝0时，则ａ＝－２e＝0
由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时ａ与ｂ共线.
(2)当e≠0时，则ａ＝－２e≠0，ｂ＝２e≠0
∴ｂ＝－ａ(这时满足定理中的ａ≠0，及有且只有一个实数λ（λ＝－１），使得ｂ＝λａ成立)
∴ａ与ｂ共线.
综合(1)、(2)可知，ａ与ｂ共线.
2.用向量法解决几何问题
向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.
如图，MN是△ABC的中位线，求证：MN＝BC，且MN∥BC.
证明：∵M、N分别是AB、AC边上的中点，所以=，=，=－=-=（-）=.
因此，ＮＭ＝ＢＣ且ＭＮ∥BC.
五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.
六、课后作业：
1．当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ
证：当λ=0时，左边=0 (+)= 右边=0 +0 = 分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n, 则有：n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立
2．如图，在△ABC中，=, = ，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解法一：∵=, = 则==
∴=+=+而=
∴=+
解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC，
== == ==
∴=+=+
3．在 ABCD中，设对角线=，=试用, 表示，
解法一：== ==
∴=+==
=+=+=+
解二：设=，=
则+= ，即 += ；= ，即=
∴ =()， =(+)
即 =() =(+)
4．设, 是两个不共线向量，已知=2+k, =+3, =2, 若三点A, B, D共线，求k的值
解：==(2)(+3)=4
∵A, B, D共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ
即2+k=λ(4) ∴ ∴k=8
七、板书设计（略）
八、课后记：实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.
在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用.
D
A
BM
CM
a
b
D
A
EM
CM
a
b
BM
FM
GM课 题：实数与向量的积（2）
教学目的：
1了解平面向量基本定理；
2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达
教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
教学难点：平面向量基本定理的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向
2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；
3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量
4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ
5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量
6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量
7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
8．向量加法的交换律：+=+
9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
10．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a b = a + (b)
11．差向量的意义： = a, = b, 则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
12．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
13．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ)
分配律：(λ+μ)=λ+μ λ(+)=λ+λ
14． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ
二、讲解新课：(共面向量定理)
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
三、讲解范例：
例1 已知向量， 求作向量25+3
作法：（1）取点O，作=25 =3
（2）作 OACB，即为所求25+3
例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
解：在 ABCD中 ， ∵=+=+ ，==
∴==(+)=，
==()=
==+
===+
例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证：+++=4
证明：∵E是对角线AC和BD的交点
∴== ,==
在△OAE中，+=
同理 += ， += ，+=
以上各式相加，得 +++=4
例4如图，，不共线，=t (tR)用,表示
解：∵=t
∴=+=+ t
=+ t()=+ tt=(1t) + t
四、课堂练习：
1设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有
Ae1、e2一定平行
Be1、e2的模相等
C同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系
A不共线 B共线 C相等 D无法确定
3已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于 ?
A3? B-3 ?C0 ?D2
4若a、b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R)则λ= ,μ=
5已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=
6已知λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,
a与e2_________(填共线或不共线)
参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线 不共线?
五、小结 平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合
六、课后作业：
1．如图，平行四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，H、M是AD、DC之中点，F使BF＝BC，以ａ、ｂ为基底分解向量与
分析：以ａ，ｂ为基底分解与，实为用ａ与ｂ表示向量与
解：由H、M、F所在位置有：
=+=+=+=ｂ＋ａ，
＝－＝＋－
＝＋＝＋－＝ａ－ｂ
2．如图，O是三角形ABC内一点，PQ∥BC，且＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求与
分析：由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC，且对应边的比为ｔ，∴＝ｔ，转化向量的关系为：＝ｔ，＝ｔ，又由于已知和未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在
解：∵PQ∥BC，且＝ｔ，有△APQ∽△ABC，且对应边比为ｔ（＝），即＝ｔ．
转化为向量的关系有：＝ｔ，＝ｔ，
又由于：＝－，＝－，
＝－，＝－
∴＝＋＝＋ｔ（－）
＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,
＝＋＝＋ｔ（－）
＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс
七、板书设计（略）
八、课后记：
1注意图形语言的应用
用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译
例1 如图，已知MN是△ABC的中位线，求证：MN＝BC且MN∥BC
分析：首先把图形语言：M、N是AB、AC的中点翻译成向量语言：＝，＝然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即
＝－＝－
＝（－）＝
最后又将向量语言＝翻译成图形语言就是：MN＝BC且MN∥BC
2向量法应用
例2已知平行四边形ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF
证明：因为E、F为DC、AB的中点，
∴＝，＝，
由向量加法法则可知：
＝＋＝＋，＝＋＝＋
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝－，＝－，
∴＝－－＝－（＋）＝－
∴∥，∴AE∥CF
强化训练：
1下面向量a、b共线的有（ ）
(1)a=2e1,b=-2e2 (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2
(3)a=4e1-e2,b=e1-e2 (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2(e1、e2不共线)
A(2)(3) B(2)(3)(4) C(1)(3)(4) D(1)(2)(3)(4)
2设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠±1),O是空间一点,则用 、表示式为（ ）
A =+λ? B =λ+(1-λ)
C = D
3若a、b是不共线的两向量,且=λ1a+b, =a+λ2b(λ1、λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
Aλ1=λ2=-1? Bλ1=λ2=1 Cλ1λ2+1=0 ?Dλ1λ2-1=0
4若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是
5已知两向量e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2λe2,若a与b共线,则实数λ=
6设平面内有四边形ABCD和点O, =a, =b, =c,
=d,a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是
7设、不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且=(1-t) +t(t∈R),求证A、B、P三点共线
8当不为零的两个向量a、b不平行时,求使pa+qb=0成立的充要条件
9已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d=λa+μb与c共线
参考答案：1A 2C 3D 4- b+c ?5- 6平行四边形
7(略) 8p=q=0? 9存在,λ=-2μ能使d与c共线教学案例
课 题：线段的定比分点
教学目的：
1掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式；
2熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式；
3理解点P分有向线段所成比λ的含义；
4明确点P的位置及λ范围的关系
教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用
教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜０
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪?
教学过程：
一、复习引入：
1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
2．向量加法的交换律：+=+
3．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a b = a + (b)
5．差向量的意义： = a, = b, 则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
6．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
7．运算定律 λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
8． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ
9．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
10．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，
11．平面向量的坐标运算
若，，
则，，
若，，则
12．∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
二、讲解新课：
1．线段的定比分点及λ
P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，
使 =λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
2定比分点坐标公式：
若点P１(x1,y1) ，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比
设=λ 点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)，由向量的坐标运算
=(x-x1,y-y1) ，=( x2-x, y2-y)
∵=λ ∴ (x-x1,y-y1) =λ( x2-x, y2-y)
∴ 定比分点坐标公式()
点P分所成的比与点P分所成的比是两个不同的比，要注意方向
3点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点
特别地，当λ＝１时，有＝，即点P是线段Ｐ１Ｐ２之中点，其坐标为（）
②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点
探究：若Ｐ１、Ｐ２是直线上的两点，点P是上不同于Ｐ１、Ｐ２的任意一点，则存在一个实数λ，使＝λ，λ叫做P分有向线段所成的比
而且，当点P在线段Ｐ１Ｐ２上时，λ＞０；当点P在线段Ｐ１Ｐ２或Ｐ2Ｐ1的延长线上时，λ＜０
对于上述内容，逆过来是否还成立呢
(1)若λ＞０，则点P为线段Ｐ１Ｐ２的内分点；
(2)若λ＜０，则点P为线段Ｐ１Ｐ２的外分点
一般来说，(1)是正确的，而(2)却不一定正确这是因为，当λ＝－１时，定比分点的坐标公式ｘ＝和ｙ＝显然都无意义，也就是说，当λ＝－１时，定比分点不存在
由此可见，当点P为线段Ｐ１Ｐ２的外分点时，应有λ＜０且λ≠－１
4线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，
由于＝－＝－ａ，＝－＝ｂ－
且有＝λ，所以 -a=λ(b-)即可得
=
这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用
三、讲解范例：
例1已知A(1，3)，B(－２，０)，Ｃ（２，１）为三角形的三个顶点，L、M、N分别是BC、CA、AB上的点，满足BL∶BC＝CM∶CA＝NA∶AB＝１∶３，求L、M、N三点的坐标
分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点L、M、N分向量、、所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标
另外，要求L、M、N的坐标，即求、、的坐标(这里O为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式
下面给出第二种解法
解：∵Ａ（１，３），Ｂ（－２，０），Ｃ（２，１），
∴＝（１，３），＝（－２，０），＝（２，１）
又∵ＢＬ∶ＢＣ＝ＣＭ∶ＣＡ＝ＡＮ∶ＡＢ＝１∶３
∴可得：L分，M分，N分所成的比均为λ＝２
∴＝＋＝（２，１）＋（-2，0）=（-，）
=+ = (1,3)+ （２，１）＝（，）
＝＋＝（－２，０）＋（１，３）＝（０，２）
∴Ｌ（－，）、Ｍ（，）、Ｎ（０，２）为所求
上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵活应用
例2已知三点A(0，8)，B(－４，０)，Ｃ（５，－３），Ｄ点内分的比为１∶３，E点在BC边上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求DE中点的坐标
分析：要求DE中点的坐标，只要求得点D、E的坐标即可，又由于点E在BC上，△BDE与△ABC有公共顶点B，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解
解：由已知有＝，则得＝
又，而Ｓ△ＢＤＥ＝｜｜·｜｜·sin∠DBE，
Ｓ△ＡＢＣ＝｜｜·｜｜sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC
∴，即得：
又点E在边BC上，所以，∴点E分成比λ＝２
由定比分点坐标公式有
,即Ｅ（２，－２），
又由
,有D（－１，６）
记线段DE的中点为M(x,y),则
,即M（，２）为所求
四、课堂练习：
1．已知点A(－２，-３)，点Ｂ（４，１），延长AB到P，使｜｜＝３｜｜，求点P的坐标
解：因为点P在AB上的延长线上，P为的外分点，所以，＝λ，λ＜０，又根据｜｜＝３｜｜，可知λ＝－３，由分点坐标公式易得P点的坐标为（７，３）．
2．已知两点P１（３，２），Ｐ２（－８，３），求点P(，ｙ)分所成的比λ及ｙ的值
解：由线段的定比分点坐标公式得
，解得
五、小结
六、课后作业：
1已知点A分有向线段的比为2，则在下列结论中错误的是（ ）
A点C分的比是- B点C分的比是-3
C点C分的比是- D点A分的比是2
2已知两点P１（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P（－，ｙ）分有向线段所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（ ）
A－，８ ?B，－８ ?C－，－８ ? D４，
3△ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（ ）
A(2，-7) ?B(-7，2) C(-3，-5) ?D(-5，-3)
4已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=
5△ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为 6已知M为△ABC边AB上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝Ｓ△ＡＢＣ，则M分所成的比为
7已知点A(-1,-4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P１、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A、B分所成的比λ．
8过P１（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数的图象交于点P，求P分所成的比值
9已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标
参考答案：1D 2C 3A 42或 5(8,-4) 6
7P1(1,-2),P2(3,0),A、B分所成的比λ1、λ2分别为-,-2
8 9Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）?
七、板书设计（略）
八、课后记：第五章 平面向量教材分析
这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等本章教学时间约25课时，具体安排如下：
5.1向量 约1课时
5.2向量的加法与减法 约2课时
5.3实数与向量的积 约2课时
5.4平面向量的坐标运算 约2课时
5.5线段的定比分点 约l课时
5.6平面向量的数量积及运算律 约2课时
5.7平面向量数量积的坐标表示 约1课时
5.8平移 约1课时
5.9正弦定理、余弦定理 约4课时
5.10解斜三角形应用举例 约2课时
5.11实习作业 约2课时
5.12研究性课题向量在物理中的应用 约3课时
小结与复习 约2课时
(一)本章内容
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法
本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等
第二大节是“解斜三角形”这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例，实习作业和研究性课题等
正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题
为培养学生的创新意识和实践能力，激发学生学习数学的好奇心，启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造性地解决问题，本节中安排了一个实习作业和研究性课题教学中要加以实施
为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”
本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等
(二)本章教学要求
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
2.掌握向量的加法与减法
3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件
6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式
7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力通过实习作业和研究性课题，培养学生从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索的能力
本章一开始，从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念
向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识教科书先讲了向量的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础
在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量
在“向量的线性运算”中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量的定义，单位向量，数乘向量的运算律
在“向量的共线与共面”中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件
在“向量的内积”中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质
通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式
向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题平面向量数量积的概念，教科书是从学生熟知的功的概念引入的，在介绍了平面向量数量积的定义及几何意义之后，又介绍了平面向量数量积的5个重要性质、运算律及其坐标表示特别通过两个向量数量积的坐标表示，很容易推导出平面内两点间的距离公式
本大节的最后，介绍了平移(这里讲的平移是指图象的平移)接着推导出了平移公式，并举例说明了平移公式的应用
对这一章中概念的处理，是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等
这一章中的一些例题，不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题
关于向量运算，是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果a+x=b，则 x叫做向量b与a的差这样，作b-a时，可先在平面内取一点O，再作，则 就是b-a第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a、b，定义b-a=b+(-a)在这种定义下，作b-a时，可先在平面内任取一点O，作 则由向量加法的平行四边形法则知， 由于b+(-a)=b-a，即 就是b-a实验表明，对中学生来讲，用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作b-a而用第二种定义方法，学生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a较繁为便于学生接受，在定义向量的减法时，先给出相反的向量(对比初中代数中的相反数)，再把b-a定义为b+(-a)，并告诉学生，作b-a时，只要按教科书图作出即可
(三)注意培养学生的思维能力
注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角那么，如何来解斜三角形呢 也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢 ”通过设问，引起学生思考
(四)注意数学思想方法的渗透
在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法例如，从帆船在大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想
由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想
(五)突出知识的应用
(1)加强向量在数学知识中的应用 ，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等
(2)加强向量在物理中的应用
为培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，在这一章的最后，安排了一个研究性课题，即向量在物理中的应用对于一个物理问题，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象
(3)注意联系实际
在这一章中，把联系实际分成三个层次：
第一层次，在知识的引入上联系实际例如，向量的概念从帆船航行的位移引入，平面向量的数量积从力作的功引入
第二层次，引导学生用数学知识解决实际生活和生产中的问题例如，在向量的加法之后，安排了求小船实际航行的速度的例题在解斜三角形之后，专门安排了“解斜三角形应用举例”一节等
第三层次，安排实习作业安排实习作业的目的是进一步巩固学生所学知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识课 题：解斜三角形应用举例（1）
教学目的：
1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；?
2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；?
3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；?
4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力?
教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法
教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：?启发式?
在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理
教学过程：
一、复习引入：
1．正弦定理：
2．余弦定理：
，
3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用
二、讲解范例：
例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字)
分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC＝1．40ｍ，AB＝1．95　ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理?解：由余弦定理，得?
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA
＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571?
∴BC≈1．89　（ｍ）?
答：油泵顶杆BC约长1．89　ｍ?
评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来?
例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进 并求出靠近渔船所用的时间
分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为ｘ ｈ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题
解：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则AB＝21ｘ海里，BC＝9ｘ 海里，AC＝10 海里，∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°，
根据余弦定理，可得?
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°得
(21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2×10×9ｘcos120°，
即36ｘ2－9ｘ2×10＝0
解得ｘ1＝，ｘ2＝－ (舍去)
∴AB＝21ｘ＝14，BC＝9ｘ＝6?
再由余弦定理可得?
cos∠BAC＝
∴∠BAC＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′?
所以舰艇方位角为66°47′，小时即40分钟?
答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟?
评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）?
在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利余弦定理?
例3用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度
分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA
解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β，
根据正弦定理，得?AE＝
在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝
∴EF＝EG＋b＝＋b，?
答：气球的高度是＋b
评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EG＝ｘ，在Rt△EGA中，利用cotα表示AG；在Rt△EGC中，利用cotβ表示CG，而CG－AG＝CA＝BD＝a，故可以求出EG，又GF＝CD＝b，故EF高度可求
例4如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值
分析：要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与∠POB大小变化之间的联系，自然引入∠POB＝θ作为自变量建立函数关系四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，Ｓ△OPC可用·OP·OC·sinθ表示，而等边△PDC的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决?
解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋
∴当θ－＝即θ＝时，ｙmax＝2＋
评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性
另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应要求学生予以重视?
三、课堂练习：
1如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 并求出所需时间?
解：设辑私船应沿CD方向行驶ｔ小时，才能最快截获(在D点)走私船，
则CD＝10ｔ海里，BD＝10ｔ海里?
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA
＝（－1）2＋22－2（－1）·2cos120°＝6, ∴BC＝
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，?
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°?
∴∠BCD＝30°,∴∠DCE＝90°－30°＝60°?
由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°?得∠D＝30°?
∴BD＝BC，即10ｔ＝
∴ｔ＝ (小时)≈15(分钟)
答：辑私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟
四、小结 通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：第五章 向量 教案(共25课时）
第五章向量教材分析
高一数学第五章（第1课时）向量的概念
高一数学第五章（第2课时）向量的加法与减法（1）
高一数学第五章（第3课时）向量的加法与减法（2）
高一数学第五章（第4课时）实数与向量的积（1）
高一数学第五章（第5课时）实数与向量的积（2）
高一数学第五章（第6课时）平面向量的坐标运算（1）
高一数学第五章（第7课时）平面向量的坐标运算（2）
高一数学第五章（第8课时）线段的定比分点
高一数学第五章（第9课时）平面向量的数量积及运算律（1）
高一数学第五章（第10课时）平面向量的数量积及运算律（2）
高一数学第五章（第11课时）平面向量数量积的坐标表示
高一数学第五章（第12课时）平移
高一数学第五章（第13课时）正弦定理、余弦定理（1）
高一数学第五章（第14课时）正弦定理、余弦定理（2）
高一数学第五章（第15课时）正弦定理、余弦定理（3）
高一数学第五章（第16课时）正弦定理、余弦定理（4）
高一数学第五章（第17课时）解斜三角形应用举例（1）
高一数学第五章（第18课时）解斜三角形应用举例（2）
高一数学第五章（第19课时）实习作业（1）
高一数学第五章（第20课时）实习作业（2）
高一数学第五章（第21-23课时）研究性课题向量在物理中的应用
高一数学第五章（第24课时）向量小结与复习（1）
高一数学第五章（第25课时）向量小结与复习（2）课 题：平面向量数量积的坐标表示
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式
⑶能用所学知识解决有关综合问题
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有 = ||||cos，
（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0
3．向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影||cos的乘积
4．两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
1 = =||cos；2 = 0
3当与同向时， = ||||；当与反向时， = ||||
特别的 = ||2或
4cos = ；5|| ≤ ||||
5． 平面向量数量积的运算律
交换律： =
数乘结合律：() =() = ()
分配律：( + ) = +
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么
，
所以
又，，
所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
即
2.平面内两点间的距离公式
（1）设，则或
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定
设，，则
4.两向量夹角的余弦（）
cos =
三、讲解范例：
例1 设 = (5, 7)， = (6, 4)，求
解： = 5×(6) + (7)×(4) = 30 + 28 = 2
例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形
证明：∵=(21, 32) = (1, 1), = (21, 52) = (3, 3)
∴=1×(3) + 1×3 = 0 ∴
∴△ABC是直角三角形
例3 已知 = (3, 1)， = (1, 2)，求满足 = 9与 = 4的向量
解：设= (t, s)，
由 ∴= (2, 3)
例4 已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少
分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由＝（１，），＝（＋１，－１）
有·＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２．
记与的夹角为θ，则cosθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使 = 90，求点和向量的坐标
解：设点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x5, y2)
∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
由
∴点坐标或；=或
例6 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值
解：当 = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当 = 90时，= 0，== (12, k3) = (1, k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
当C= 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =
四、课堂练习：
1.若=(-4,3),=(5,6),则3||２－４＝（ ）
A.23 ?B.57 ?C.63 ?D.83
2.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则△为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于（ ）
A.或? B.或?
?C.或? D.或?
4.=(2,3),=(-2,4),则(+)·(-)= .
5.已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-)在线段的中垂线上，则x= .
6.已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为 .
参考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5. 6.45°?
五、小结 两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示
六、课后作业：
1.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为（ ）
A.? B.? C.? D.
2.已知=(λ，２)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A.λ＞? B.λ≥ ?C.λ＜ ?D.λ≤
3.给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(-),则x等于（ ）
A.23 ? B. ?C. ?D.
4.已知||=,=(1,2)且∥,则的坐标为 .
5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若⊥，则＝ .
6.已知=(3,0),=(k,5)且与的夹角为，则k的值为 .
7.已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x·=9与x·=-4的向量x.
8.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ABC＝90°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.
9.四边形ABCD中=(6,1), =(x,y)，=(-2,-3),
(1)若∥，求x与y间的关系式；
(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积.
参考答案：1.C 2.A 3.C?4.（，２）或（-，－２）
? 5.()? 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)?
9.(1)x+2y=0 (2) S四边形ABCD=16?
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1.
分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.
解：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)
又（x+y）⊥(x+y)·＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0
即25x+24y＝０ ①
又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１
整理得：25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ②
由①②有24xy+25y２＝１ ③
将①变形代入③可得：y=±
再代回①得：课 题：平面向量的坐标运算（2）
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
2．向量加法的交换律：+=+
3．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a b = a + (b)
5．差向量的意义： = a, = b, 则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
6．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
7．运算定律 λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
8． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ
9．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
10平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，
11．平面向量的坐标运算
若，，
则，，
若，，则
二、讲解新课：
∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中
由=λ得， (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0，
∵ ∴x2, y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成 ∵x1, x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：
∥ ()
三、讲解范例：
例1若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1,x)与=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x (-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=
例2 已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , =(2-1,7-5)=(1,2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥
又 ∵ =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) =(2, 4)
2×4-2×60 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
四、课堂练习：
1若a=(2,3),b=(4,-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
?A6 ?B5 ?C7 ?D8
2若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为（ ）
?A-3 ?B-1 ?C1 ?D3
3若=i+2j, =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量) 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）
?A1，2 ?B2，2 ?C3，2 ?D2，4
4已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，则y=
5已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为
6已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3,x),C(2,3),D(4,x)，则x=
参考答案：1C 2B 3B 4 3 5 6 5?
五、小结 向量平行的充要条件（坐标表示）
六、课后作业：
1若a=(x１,y１)，b=(x２，y２)，且a∥b,则坐标满足的条件为（ ）
?Ax１x２－ｙ１ｙ２＝０ ?Bｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０
?Cｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０ ?Dｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０
2设a=(，sinα)，b=(ｃｏｓα，)，且a∥b，则锐角α为（ ）
A30° ?B60° ?C45° ?D75°
3设k∈Ｒ，下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（ ）
?A(k,k) ?B(-k,-k)
?C(k２＋１，ｋ２＋１) ?D（ｋ２－１，ｋ２－１）
4若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线，则x=
5已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b与a+λb（λ∈Ｒ）平行，则λ＝ 6若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x=
7已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时ka+b与a-3b平行
8已知A、B、C、D四点坐标分别为A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，试证明：四边形ABCD是梯形
9已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，=,求证：∥
参考答案：1D 2C 3C 4 2 5±1 6 7- 8(略) 9(略)?
七、板书设计（略）
八、课后记：课 题：实习作业（2）
教学目的：
1进一步熟悉解斜三角形知识；?
2巩固所学知识，提高分析和解决简单实际问题的能力；?
3加强动手操作的能力；?
4进一步提高用数学语言表达实习过程和实习结果的能力；?
5增强数学应用意识?
教学重点：数学模型的建立?
教学难点：解斜三角形知识在实际中的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法?： 分组实习
教学过程：
一、实习准备?
准备测量工具、实习报告?
二、实习过程?
1根据地形选取测量点；?2测量所需数据；?3多次重复测量，但改变测量点；?4填写实习报告；?5总结改进方案?
附：实习报告? 年 月 日?
题目 测量底部不能到达的烟囱AB的高度
测量目标
测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
EF长（m）
ED长（m）
α1
α2
计算
减少误差措施
负责人及参加人
计算者及复核者
指导教师审核意见
备注
三、实习作业举例?
例题A、B两点间有小山和小河，为了求A、B两点间的距离，选择一点D，使AD可以直接测量且B、D两点可以通视，再在AD上选一点C，使B、C两点也可通视，测量下列数据：?
AC＝ｍ，CD＝ｎ，∠ADB＝α，∠ACB＝β，求AB
(1)计算方法?
如图所示，在△BCD中，CD＝ｎ，∠CDB＝α?
∴∠DBC＝β－α
由正弦定理可得
BC＝
在△ABC中，再由余弦定理得?
AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cosACB
其中BC可求，AC＝ｍ，∠ACB＝β，故AB可求
(2)实习报告?
题 目 测量不可达到的两点A、B间距离 测量目标
测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
AC长
CD长
α
β
计算 ∠DBC＝β－αAB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cosACB
参加人 负责人
计算人
指导教师 计算复核人
备注
四、课堂练习：
1某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为
A B2 ?C2或 ?D3
2在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
A米? B米 C200米? D200米
3如图，为了测量障碍物两测A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据
Aα、A、B? Bα、β、A ?CA、B、γ? Dα、β、B
4如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得
∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m，则河的宽度为
5如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走A米到B，
又测得山顶P的仰角为γ，则山高为
6我舰在敌岛A南50°西相距12nmile?的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向
以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为
7如图5—25，河塘两侧有两物A、B，不能直接量得它们间的距离，但可以测算出它们的距离，为此，在河塘边选取C、D两点，并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=90°,CD=80米，试求A、B两物间的距离（精确到01米）
8甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以10海里/小时的速度
向正北方向行驶，而甲船同时以8海里/小时的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
9如图是曲柄连杆装示意图，连杆AC=l，曲柄AB=r，曲柄AB和曲轴BL所成的角为α
（1）求连杆AC和曲轴BL间的夹角β的正弦
（2）当α取什么值时，β最大？
（3）求滑块C的位移x
参考答案：1C 2A 3C 4 60m 5米?
614nmile/h 72588米? 8小时?
9(1) (2)90° (3)r(1-cosα)+l(1-cosβ)?
五、小结 通过本节实习，要求大家进一步熟悉解斜三角形知识在实际中的应用，在动手实践的过程中提高利用数学知识解决实际问题的能力，并能认识数学在生产、生活实际中所发挥的作用，增强学习数学的兴趣?
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：课 题：向量小结与复习（1）
教学目的：
1了解本章知识网络结构；?2进一步熟悉基本概念及运算律；?
3理解重要定理、公式并能熟练应用；?
4加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力
5认识事物之间的相互转化；?6培养学生的数学应用意识?
教学重点：突出本章重、难点内容
教学难点：通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别
授课类型：复习课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法:自学辅导法?
在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度?
教学过程：
一、引入
前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法这一节，我们开始对本章进行小结与复习
二本章知识
1本章知识网络结构
?
2本章重点及难点?
(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；?
(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等；?
(3)对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用?
3向量的概念?
(1)向量的基本要素：大小和方向?
(2)向量的表示：几何表示法 ，；坐标表示法?(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜｜?
(4)特殊的向量：零向量＝｜｜＝0?单位向量为单位向量｜｜＝1?
(5)相等的向量：大小相等，方向相同?
(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量?
4向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 ?
?
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向量的加法 1平行四边形法则2三角形法则
向量的减法 三角形法则
向量的乘法 1是一个向量,满足:2>0时,与同向;<0时,与异向;=0时, =0 ∥
向量的数量积 是一个数1或时, =02且时,
5重要定理、公式：
(1)平面向量基本定理?
是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使
(2)两个向量平行的充要条件?
∥＝λ?
(3)两个向量垂直的充要条件?
⊥·＝O?
(4)线段的定比分点公式?
设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则?
＝＋ (线段的定比分点的向量公式)?
(线段定比分点的坐标公式)?
当λ＝1时，得中点公式：?
＝（＋）或
(5)平移公式
设点按向量平移后得到点，则＝+或，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为：
(6)正、余弦定理?
正弦定理：
余弦定理：
三、讲解范例：
例1在四边形ABCD中，·＝·＝·＝·，试证明四边形ABCD是矩形?
分析：要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考?
证明：设＝a，＝b，＝c，＝d，则
∵a＋b＋c＋d＝O
∴a＋b＝－（c＋d)?
两边平方得?
｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2，?
又a·b＝c·d
∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2（1）?
同理｜a｜＋｜d｜2＝｜b｜2＋｜c｜2（2）?
由(1)(2)得｜a｜2＝｜c｜2，｜d｜2＝｜b｜2，?
∴a＝c，d＝b，?
即AB＝CD，BC＝DA?
∴四边形ABCD是平行四边形?
于是＝－，即a＝－c，?
又a·b＝b·c，故a·b＝b·（－a）?
∴a·b＝O?
∴⊥
∴四边形ABCD为矩形?
评述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会?
例2设坐标平面上有三点A、B、C，ｉ，j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝ｉ－2j，＝ｉ＋ｍj，那么是否存在实数ｍ，使A、B、C三点共线?
分析：可以假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线∥ 存在实数λ，使＝λ，从而建立方程来探索
解法一：假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线，即∥，
∴存在实数λ，使＝λ，?
ｉ－2j＝λ（ｉ＋ｍj），?
∴ｍ＝－2?
∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线?
解法二：假设满足条件的ｍ存在，根据题意可知：ｉ＝（1，O），j＝（O，1）
∴＝（1，O）－2（O，1）＝（1，－2），?
＝（1，O）＋ｍ（O，1）＝（1，ｍ），?
由A、B、C三点共线，即∥，?
故1·ｍ－1·（－2）＝O解得ｍ＝－2?
∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线?
评述： (1)共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择?
(2)本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法——当存在时；假设否定法——当不存在时?
四、课堂练习：
1判断题?
(1) ＋＝O（√）?(2)O＝O（×）?（3）－＝（×)
2选择题?
已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )?
A．a与b相等?　　　　　　　B．如果a与b平行，那么a与b相等?
Ca·b＝1?　　　　　　　　　D．a2＝b2?
答案：D?
3已知A、B、C是直线ｌ上的顺次三点，指出向量、、、中，哪些是方向相同的向量?
答案：与方向相同，与方向相同?
4已知为与的和向量，且＝a，＝b，分别用a、b表示，
解：＝（a－b），?＝（a＋b）?
5已知ABCDEF为正六边形，且＝a，＝b，用a，b表示向量、、、、、、、?
解：＝－a，＝a＋b，＝（a＋b），＝－（a＋b），＝（a－b），＝（b－a），＝a＋b，＝b－a
6已知点A(－3，－4)、B（5，－12）
(1)求的坐标及｜｜；?
(2)若＝＋，＝－，求及的坐标；?
(3)求·?
解：(1) ＝（8，－8），｜｜＝8
(2) ＝（2，－16），＝（－8，8）?
(3) ·＝33
五、小结
通过本节学习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力?
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1三点共线的证明?
对于三点共线的证明，可以利用向量共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证明因为，定比分点问题中所涉及的三个点必然共线，而三个点共线时，必然构成定比分点?
例1已知A（－1，－1）、B（1，3）、C（2，5），求证A、B、C三点共线?
证明：设点B′（1，y）是的一个分点，且＝λ，则1＝
解得λ＝2?
∴y＝＝3?
即点B′与点B重合?
∵点B′在上，∴点B在上，
∴A、B、C三点共线?
2利用正、余弦定理判断三角形形状?
例2根据下列条件，判断△ABC的形状
(1)acosA＝bcosB?
(2)sin2Α＋sin2B＝sin2C，且c＝2acosB?
解：(1)∵acosA＝bcosB?∴?∴
即sinAcosA＝sinBcosB?
∴sin2A＝sin2B　　∴2A＝2B或2A＝π－2B?∴A＝B或A＋B＝
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形?
(2)∵sin2A＋sin2B＝sin2C?
∴　∴a2＋b2＝c2
故△ABC是直角三角形，且C＝9O°，?
∴cosB＝，代入c＝2acosB?得cosB＝　∴B＝45°，A＝45°?
综上，△ABC是等腰直角三角形?
评注(1)条件中有边有角，一般须化边为角或化角为边，题(1)也可以化角为边
(2)题(1)结论中用“或”，题(2)中用“且”结论也就不同，切不可混淆?
例3 在△ABC中，若a2＝b（b＋c），则A与B有何关系 ?
解：由正弦定理得sin2A＝sinB（sinB＋sinC）?
∴sin2A－sin2B＝sinB·sinC，?
（sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝sinBsinC，?
sin（A＋B）sin（A－B）＝sinB·sinC?
∵sin（A＋B）＝sinC，?∴sin（A－B）＝sinB，?
∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B(舍去)?
故A与B的关系是A＝2B?
3利用正、余弦定理证明三角恒等式?
例4 在△ABC中，求证
证明：由余弦定理，知
a2＋b2－c2＝2abcosC，?a2－b2＋c2＝2cacosB，?
∴
评注：对于含有a2、b2、c2的形式，常用余弦定理化边为角?
例5 在△ABC中，已知2sin2A＝3sin2B＋3sin2C ①?
cos2A＋3cosA＋3cos（B－C）＝1 ②?求：a∶b∶c?
解：由①得2a2＝3b2＋3c2 ③?
∵cosA＝－cos（B＋C）?
由②得3cos（B－C）－3cos（B＋C）＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2C?
∴cos（B－C）－cos（B＋C）＝sin2B＋sin2C，?
2sinBsinC＝sin2B＋sin2C?
即（sinB－sinC）2＝O，?∴sinB＝sinC，?
∴2RsinB＝2RsinC，∴b＝c代入③得?a＝b?
∴a∶b∶c＝b∶b∶b＝∶1∶1?课 题：平移
教学目的：
1.理解向量平移的几何意义；
2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式.
教学重点：平移公式.
教学难点：向量平移几何意义的理解.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生根据函数图象的平移来理解图形的平移，引导学生弄清图形在平移前后新旧坐标间的关系，深刻理解一个平移就是一个向量，从而掌握向量平移在简化函数解析式的应用.?
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量
1ea = ae =|a|cos；2ab ab = 0
3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|
特别的aa = |a|2或
4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
5． 平面向量数量积的运算律
交换律：a b = b a
数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)
分配律：(a + b)c = ac + bc
6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
，
7.平面内两点间的距离公式
（1）设，则或
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
8.向量垂直的判定
设，，则
9.两向量夹角的余弦（）
cos=
二、讲解新课：
1.平移的概念
设F为平面内一个图形，将F上所有的点按照同一方向，移动同样的长度，得到，这个过程叫做图形的平移.
在图形平移过程中，自一点都是按照同一方向移动同样的长度，所以我们有两点思考：
其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量.
其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.
2.平移公式
设点P(x,y)按照给定的向量a＝（h,k）平移后得到新点，
则
容易看到，公式中是用旧点的坐标和平移向量的坐标来表示新点坐标的，从向量的角度可以理解为向量坐标等于终点(新点)坐标减去起点(旧点)坐标，故公式也可变形为
3．图形的平移公式
给定向量a＝（h,k），由旧解析式求新解析式时，把公式，代入旧解析式中整理可得；若由新解析式求旧解析式，则把公式代入到新解析式中整理可得.
应当注意，上述点或图形平移，坐标轴并没有移动，平移前后均在同一坐标系上.
三、讲解范例：
例1 (1)把点A(2, 1)按a = (3, 2)平移，求对应点A’的坐标
(2)点M(8, 10)按a平移后对应点的坐标为(7, 4)，求a
解：(1)由平移公式： 即对应点A’的坐标为(1, 3)
(2)由平移公式：即a的坐标为(15, 14)
例2 将函数y = 2x的图象l按a = (0, 3)平移到，求的函数解析式
解：设P(x, y)为l上任一点，它在上的对应点为
由平移公式：
代入y = 2x得： 3 = 2 即： = 2 + 3
按习惯，将、 写成x、y得的解析式：y = 2x + 3
（实际上是图象向上平移了3个单位）
例3 已知抛物线y = x2 + 4x + 7，(1)求抛物线顶点坐标(2)求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式
解：(1)设抛物线y = x2 + 4x + 7的顶点坐标为(h, k)
则h = 2, k = 3 ∴顶点坐标为(2, 3)
(2)按题设，这种平移是使点(2, 3)移到O(0, 0)，
设= (m, n) 则
设P(x, y)是抛物线y = x2 + 4x + 7上任一点，对应点
则
代入y = x2 + 4x + 7得 = 即y = x2
四、课堂练习：
1.将点P(7，0)按向量a平移，对应点A′(11，5)，则a等于（ ）
?A.(2，5) ?B.(4，3) ?C.(4，5) ?D.(5，4)
2.将函数y=f(x)的图象F按向量a=(-3,2)平移后得y=6ｓｉｎ５ｘ的图象，则f(x)等于（ ）
?A.y=6sin(5x+15)+2 ?B.y=6sin(5x-15)+2
?C.y=6sin(5x+15)-2 ?D.y=6sin(5x-15)-2
3.将函数y=4-n-(x-m)的图象按向量a平移得到的图象的函数为y=4-x，则a等于（ ）
?A.(m,n) ?B.(m,-n) ?C.(-m,n) ?D.(-m,-n)
4.按向量a把点A(1，1)平移后得到A′(3,-4)，按此平移法，则点B(-2，-1)应平移到 .
5.将一抛物线F按a=(-1,3)平移后，得到抛物线F′的函数解析式为
y=2(x+1)２＋３，则F的解析式为 .
6.若在直线l上有两点A(x１，y１)和B(x２，y２)，如果按向量a平移后，A点对应点的坐标为(2x１，２y１)，则B点对应点的坐标为 .
7．是否存在一个平移，它把点(0，-1)移至(1，0)，且把点(-1，3)?移至(0，4).
8.将抛物线y=x２－4x＋5按向量a平移，使顶点与原点重合，求向量a的坐标.
9.将一次函数y=mx+n的图象C按向量a=(2,3)平移后，得到的图象仍然为C，试求m的值.
参考答案：1.C 2.D 3.C 4.(0,-6) 5.y=2x2 6.(x1+x2,y1+y2)?
7.存在? 8.(-2,-1) 9.
五、小结 通过本节学习，要求大家理解平移的意义，深刻认识一个平移就是一个向量，掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式.
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
C课 题：实习作业（1）
教学目的：
1进一步熟悉解斜三角形知识；?
2巩固所学知识，提高分析和解决简单实际问题的能力；?
3加强动手操作的能力；?
4进一步提高用数学语言表达实习过程和实习结果的能力；?
5增强数学应用意识?
教学重点：数学模型的建立
教学难点：解斜三角形知识的应用原理
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法?： 分组讨论式?
关于实习作业的教学，受到实验条件的影响，比如学校实验室暂缺测角仪、经纬仪等测量仪器，但考虑到实习作业将体现数学知识在实际中的应用，意义重大所以没有放弃，而是在课堂上简要讲述测角仪的原理后，向学生提出：能否自己动手，制作一个简易测角仪，并在实习中加以运用?
通过分组讨论，比较得出较为优秀的方案供全体同学参考，同时还能激发起学生的参与意识，提高动手能力，进一步增强学习数学的兴趣?
教学过程：
一、引入：
前面两节，学习了解斜三角形的应用举例，具备了一定的解斜三角形的能力，并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用
这一节，我们将为应用解斜三角形知识的实习作业作准备工作?
二、讲解新课：
1测角仪原理?
如图，对于建筑物AB，需测出角α，其中D为测角仪所处位置，在建筑物与地面垂直前提下，DC与地面平行DA为测角仪与建筑物顶端连线
2提出问题?
(1)DC的水平如何保持 ?
(2)角α如何获得 ?
根据上述原理及所提问题，大家进行分组讨论，十五分钟后各组选一代表表述本组方案
3简易测角仪方案?
方案Ⅰ?
(1)实验器材：木板一块、量角器一个、三角架1个，硬纸条(3O　cｍ)，铅垂线?
(2)如图所示?
①木板 ②硬纸条 ③支架 ④铅垂线 ⑤量角器 ⑥转动点?
其中硬纸条、量角器固定在木板上，但可绕转动点⑥转动，木板固定在支架上，使铅垂线与矩形木板中心线重合以保持木板的水平?
(3)测量时，使B、C和建筑物顶端重合，即三点一线，由于量角器随其移动，所以A点所示度数即所侧仰角的度数
(4)注意事项?
①尽量加长BC以减少误差，②水平调整尤为重要，?③测量多次数据取平均值，?④测量时所选地面应保持水平?
(5)不足之处?
测量角度只能精确到1°?
方案Ⅱ?
(1)实验器材：两个凳子、圆规、重垂线、三角板、卷尺
(2)示意图：?
(3)测量步骤?
①圆规一边OB固定在板凳边缘，?
②在圆规另一边OA末端A点挂上重垂线，?
③用三角板验证重垂线与OB是否垂直，若不垂直，可提升或降低O点，使它们垂直，?
④用卷尺量出OB、AB长度，其中OA要与建筑物顶端共线，
⑤tanα＝，∴α＝arctan
(4)注意事项?
①圆规可用三合板，薄金属片之类材料做成，以减少测量误差，?②在板凳上采取固定设施，可用钉子钉在板凳上，以防止测量时圆规的错位移动，③尽量使视线与O、A及所测建筑物的顶端位于同一直线上，?④运算结果利用计算器得出?
4研究问题?
(1)测量底部能到达的建筑物高度?
测出角α、DC长度，BC长度，在Rt△ADC中，求出AC，则AC＋BC即为所求
(2)测量底部不能到达的建筑物高度
选点C、D两次测得仰角α1，α2，测出CD长度、BE长度?
在△ACD中，利用正弦定理求出AD，而后在Rt△ADE中，求出AE，则AE＋BE即为所求?
4实习作业注意事项?
(1)准备所需工具；?(2)提前设计实习报告；?(3)减少误差的措施；?
(4)提前勘察地形以确定研究类型?
5布置下节实习内容?
测量电视发射塔的高度?
三、课堂练习：
1从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为（ ）Aα＞β Bα=β Cα+β=90° Dα+β=180°
2海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是
A10海里 B海里 C5海里? D5海里
3一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西， 另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是每小时
A5海里? B5海里 C10海里? D10海里
4一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为
5甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是
6某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是
参考答案：1B 2D 3C 420米?520米，米? 6小时
四、小结 通过本节学习，大家要明确测角仪的原理，熟悉简易测角仪的制作程序及测量角度的基本步骤，以及实际问题的数学模型的解决方法，提高大家应用数学知识解决实际问题的能力?
五、课后作业：
(1)提前勘察地形；?(2)准备测量工具；?(3)设计实习报告?
六、板书设计（略）
七、课后记：课 题：正弦定理、余弦定理（2）
教学目的：
1．掌握正弦定理、余弦定理；
2．使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题
教学重点：正弦定理、余弦定理的运用
教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即　　== =2R（R为△ABC外接圆半径）
2正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
⑴若A为锐角时:
⑵若A为直角或钝角时:
3．在Rt△ABC中(若C=90)有： 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？
二、讲解新课：
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
即
[问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？
[推导] 如图在中，、、的长分别为、、
∵
∴
即
同理可证 ，
2．余弦定理可以解决的问题
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
三、讲解范例：
例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C
解：∵ ＝0725， ∴ A≈44°
∵ ＝08071， ∴ C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°
(∵sinC＝ ≈05954,∴ C ≈ 36°或144°(舍))
例2在ΔABC中，已知a＝2730，b＝3696，C＝82°28′，解这个三角形
解：由 ，得 c≈4297
∵ ≈07767， ∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′
(∵sinA＝ ≈06299，∴ A=39°或141°(舍))
例 3 ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A
解法一：∵ |AB| ＝
|BC| ＝
|AC| ＝
=
∴ A≈84°
解法二：∵ ＝(–8，3)，＝(–2，–4)
∴ cosA＝=,∴ A≈84°
例4 设=(x1, y1) =(x2, y2) 与的夹角为 （0≤≤），
求证：x1x2+ y1y2=||||cos
证明：如图，设, 起点在原点，终点为A，B
则A=(x1, y1) B=(x2, y2) =
在△ABC中，由余弦定理
||2=||2+||22|||| cos
∵||2=||2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2
||2=x12+y12 ，||2= x22+y22
∴(x2-x1)2+( y2-y1)2= x12+y12+ x22+y222|||| cos
∴x1x2+ y1y2=||||cos 即有 = x1x2+ y1y2=||||cos
四、课堂练习：
1在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( )
A直角三角形 B锐角三角形 C等腰三角形?D等边三角形
2在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为
3在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为
4在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A=
参考答案： 1C 2钝角三角形，直角三角形，锐角三角形?
3等腰三角形 4120°?
五、小结 余弦定理及其应用
六、课后作业：
1在△ABC中，证明下列各式：
（1）（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝0
(2)
证明：(1)左边＝（a2－b2－c2）
故原命题得证
故原命题得证?
2在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2，试判断此三角形的类型?
解：∵sinB·sinC＝cos2, ∴sinB·sinC＝
∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］
将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得?
cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1?
又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π?∴B－C＝0 ∴B＝C
故此三角形是等腰三角形
3在△ABC中，bcosA＝acosB试判断三角形的形状
解法一：利用余弦定理将角化为边
∵bcosA＝acosB?,∴b·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2?,∴a2＝b2?,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形?
解法二：利用正弦定理将边转化为角?∵bcosA＝acosB?
又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA?，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB?
∴sinAcosB－cosAsinB＝0?∴sin（A－B）＝0?
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π?，∴A－B＝0 即A＝B?
故此三角形是等腰三角形?
七、板书设计（略）
八、课后记：课 题：正弦定理、余弦定理（3）
教学目的：
1进一步熟悉正、余弦定理内容；?
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式?
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求?
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：启发引导式?
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：
一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲授新课：
1正余弦定理的边角互换功能?
对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决?
例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值
解：∵(这是角的关系)，
∴ (这是边的关系)于是，由合比定理得
例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列
求证：sinA＋sinC＝2sinB
证明：∵a、b、c成等差数列，
∴a＋c＝2b(这是边的关系)①?
又②
③
将②、③代入①，得整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系)
2正、余弦定理的巧用?
某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：
例3求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值
解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°
∵20°＋10°＋150°＝180°，?
∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角?
设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝c2（※）?
而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：
sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝
∴原式＝
例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长()
分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的?
解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则?
,①
又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cosα?
将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0?
解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)?
所以此三角形三边长为4，5，6?
评述： 此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程
例5已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长
分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用?
解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得
由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④?
将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0?
再将③代入得a＋c＝13?
由 ∴b1＝7，b2＝7?
所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ?
评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用?
(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力?
三、课堂练习：
1在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是( )
A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形
2在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为( )
A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形
3在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则secA=
4△ABC中，，则三角形为
5在△ABC中，角A、B均为锐角且cosA＞sinB，则△ABC是
6已知△ABC中，，试判断△ABC的形状
7在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状
参考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形?5钝角三角形
6等边三角形 7等腰三角形或直角三角形?
四、小结 熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断
五、课后作业：?
1在△ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列
证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）?
cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B?2cos2B＝cos2A＋cos2C
∴2sin2B＝sin2A＋sin2C?
由正弦定理可得2b2＝a2＋c2, 即a2，b2，c2成等差数列?
2在△ABC中，A＝30°，cosB＝2sinB－sinC
(1)求证：△ABC为等腰三角形；(提示B＝C＝75°)?
(2)设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值
答案：（1）略 （2）1∶
六、板书设计（略）
七、课后记：
①
②
③课 题：正弦定理、余弦定理（1）
教学目的：
⑴使学生掌握正弦定理
⑵能应用解斜三角形，解决实际问题
教学重点：正弦定理
教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？
——提出课题：正弦定理、余弦定理
二、讲解新课：
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即　　== =2R（R为△ABC外接圆半径）
1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1
即　　c=， c= ， c=．
∴==
2．斜三角形中
证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中
S△ABC=
两边同除以即得：==
证明二：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
∴
同理 =2R，＝2R
证明三：（向量法）
过A作单位向量垂直于
由　+=
两边同乘以单位向量 得 (+)=
则 + =
∴|| ||cos90+|| ||cos(90C)=|| ||cos(90A)
∴ ∴=
同理，若过C作垂直于得： = ∴==
正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
⑴若A为锐角时:
⑵若A为直角或钝角时:
三、讲解范例：
例1 已知在
解：
∴
由得
由得
例2 在
解：∵
∴
例3
解：
，
例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论
证明：在△ABD内，利用正弦定理得：
在△BCD内，利用正弦定理得：?
∵BD是B的平分线?
∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC?
∵∠ADB＋∠BDC＝180°?
∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC?
∴
∴
评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用?
四、课堂练习：
1在△ABC中，,则k为( )
A2R BR C4R D(R为△ABC外接圆半径)
2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )
A直角三角形? B等腰直角三角形 C等边三角形 D等腰三角形
3在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
4在△ABC中，求证：
参考答案：1A，2A?3C
4
五、小结 正弦定理，两种应用
六、课后作业：
1在△ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列
证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）?
cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B?
2cos2B＝cos2A＋cos2C
∴2sin2B＝sin2A＋sin2C?
由正弦定理可得2b2＝a2＋c2
即a2，b2，c2成等差数列?
七、板书设计（略）
八、课后记：课 题：研究性课题向量在物理中的应用
教学目的：
1、使学生运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算，并
在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力
2、通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等
问题
教学重点：运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算
授课类型：新授课
课时安排：3课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1实例：两根等长的绳子挂一个物体
物理问题：分析绳子受到的拉力大小与两绳子间的夹角的关系？
2 实例：速度与分解问题
二、讲解新课：
1两根等长的绳子挂一个物体,绳子受到的拉力大小与两绳子间的夹角的关系
分析：①作图引导学生进行受力分析（注意分析对象）；
②引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：
③讨论：
当逐渐增大时，的大小怎样变化？为什么？
当为何值时，最小，最小值是多少？
当为何值时，？
如果，在什么范围时，绳子不会断？
请同学们自行设定与的大小，研究与的关系？
利用结论解释教材上给出的两个物理现象
作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型
2 速度与分解问题
一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处船航行的速度，水流速度那么，与的夹角(精确到)多大时,船才能垂直到达对岸B处 船行驶多少时间(精确到01min)
分析：速度是向量
1启发学生思考：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了由于水的流动，船被冲向下游，因而水速的方向怎样的呢？
2再启发学生思考：此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度的方向还是的方向？为什么？
3启发学生画出和的方向，思考一下向量-的方向如何确定？
4启发学生利用三角形法则作出-（即），再把的起点平移到，也可直接用平行四边形法则作出
5让学生完成的计算（注意和的方向垂直）
即,
=,
6让学生完成当船要到达图中的和，且分别为时，对应的分别是多少？
(1)求: 或
(2)求: 或
6组织学生讨论思考
，是否船垂直到达对岸所用时间最少？为什么？
三、讲解范例：
例1 如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度
解：在△ABC中，AB = 100m , CAB = 15,
ACB = 4515 = 30
由正弦定理： ∴BC = 200sin15
在△DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 +
由正弦定理：cos =
∴ = 4294
例2 一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块，现要求在所剩余的铁板中，再截出同样大小的铁板两块，问：这两块铁板的半径最大有多少cm？
解：设所求最大圆的半径为x，
则在△ABC中
又在△ACD中：
∴
例3某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间
解：设所需时间为t小时，在点B处相遇（如图）
在△ABC中，ACB = 120, AC = 100, AB = 21t, BC = 9t, 由余弦定理：
(21t)2 = 102 + (9t)2 2×10×9t×cos120
整理得：36t2 9t 10 = 0
解得：（舍去）
由正弦定理
∴CAB = 2147’
例4在湖面上高h处，测得云彩仰角为，而湖中云彩影的俯角为，
求云彩高
解：C、C’关于点B对称，设云高CE = x，
则CD = x h，C’D = x + h，
在Rt△ACD中，
在Rt△AC’D中，
∴
解得
四、课堂练习：
1证明射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA
证一：右边 == 左边
证二：右边 = 2RsinBcosC + 2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2RsinA= a = 左边
其余两式同
2 在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？
解：如图：船航行的方向是与河岸垂直方向成30夹角，即指向河的上游
五、小结 如何把物理学问题转化为数学问题？如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成;已知和中任意两个向量，如何找出另一个向量？总结物理学中哪些地方可用向量
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
A B
D C
30
上游
下游课 题：向量的概念
教学目的：
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；
2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；
3.了解平行向量的概念.
教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示
教学难点：向量概念的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
?向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法
本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等
本节从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念
在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量
教学过程：
一、复习引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.
二、讲解新课：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小
2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的
注意与0的区别
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
探究：1.对向量概念的理解
要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为，需要学生注意的是：的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.
既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者.
2.向量不能比较大小
我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法是错误的.
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加.
4．向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
三、讲解范例：
例1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
例2下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合
四、课堂练习：
1．平行向量是否一定方向相同？（不一定）
2．不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
3．与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
4．与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
5．若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
6．两个非零向量相等的充要条件是什么？（长度相等且方向相同）
7．共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
8．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量
五、小结 ：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量
六、课后作业：
1.下列各量中不是向量的是（ ） A.浮力B.风速 C.位移 D.密度
2.下列说法中错误的是（ ）
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.一条线段?B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点? D.一个单位圆
4.“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件.
5.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定 .
6.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定 .
参考答案：1.D 2.A 3.D 4.必要非充分 5.c∥b 6.不共线?
七、板书设计（略）
八、试题：
1.在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（ ）
?A. 与共线 B. 与共线
?C. 与相等 D. 与相等
2.下列命题正确的是（ ）
A.向量与是两平行向量 ?
B.若a、b都是单位向量,则a=b
C.若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形
?D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3.在下列结论中,正确的结论为（ ）
(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件
(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件
(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件
(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件?
?A.(1)(3) B.(2)(4) C.(3)(4) D.(1)(3)(4)?
4.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 .
5.已知||=1,| |=2,若∠BAC=60°,则||= .
6.在四边形ABCD中, =,且||=||,则四边形ABCD是 .
7.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,
求证： =.
8.某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点.
(1)作出向量、、 (1 cm表示200 m)?.
(2)求的模.
9.如图,已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A、B、C、D},求集合T={、Q∈M,且P、Q不重合}.
参考答案：
1.B 2.A 3.D 4.一条直线两点?5. 6.菱形 7.(略)?
8.(1)如图所示?
(2)450 m?
9.{、、、、、、、}?
第9题图课 题：向量的加法与减法（2）
教学目的：
⑴了解相反向量的概念；
⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.
教学难点：对向量减法定义的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
8．向量加法的交换律：+=+
9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
二、讲解新课：向量的减法
1．用“相反向量”定义向量的减法：
1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量(a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法
2．用加法的逆运算定义向量的减法：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作= a, = b, 则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意：1表示a b强调：差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
a∥b∥c a b = a + (b) a b
三、讲解范例：
例1已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd
解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d,
作, , 则= ab, = cd
例2平行四边形中，，，用，表示向量、
解：由平行四边形法则得：
= a + b, = = ab
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a, b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）
四、课堂练习：
1.下列等式:①a+0=a ②b+a=a+b ③-(-a)=a ④a+(-a)=0 ⑤a+(-b)=a-b 正确的个数是( )
?A.2 B.3 C.4? D.5
2.下列等式中一定能成立的是( )
A. +=? B. -=
C.?+= D. -=
3.化简-++的结果等于( )
A. B. C. ? D.
4.已知=a, =b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= .
5.在正六边形ABCDEF中, =m, =n,则= .
6.已知a、b是非零向量,则|a-b|=|a|+|b|时,应满足条件 .
参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 13?5.m-n 6.a与b反向?
五、小结 向量减法的定义、作图法
六、课后作业：
1.在△ABC中, =a, =b,则等于( )
A.a+b? B.-a+(-b) C.a-b? D.b-a
2.O为平行四边形ABCD平面上的点,设=a, =b, =c, =d,则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
3.在下列各题中,正确的命题个数为( )
(1)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a+b与a方向相同
(2)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a-b与a+b方向相同
(3)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a方向相反
(4)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a+b方向相反
?A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:
a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .
5.一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 .
6.若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立,则a与b的关系为 .
7.在五边形ABCDE中,设=a, =b, =c, =d,用a、b、c、d表示.
8.如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示）,使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.
9.已知O是□ABCD的对角线AC与BD的交点,若=a, =b, =c,试证明:c+a-b=.
参考答案：1.B 2.B 3.D 4.-f -e f 0?
5.2 km/h 6.a与b的方向相反且都不为零向量? 7.b+d-a-c?
8.
9.(略)?
七、板书设计（略）
八、课后记：
ab
A
A
B
B
B’
O
ab
a
a
b
b
O
A
O
B
ab
ab
B
A
O
b课 题：平面向量的数量积及运算律（2）
教学目的：
1掌握平面向量数量积运算规律；
2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
教学重点：平面向量数量积及运算规律
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 ?
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量
1ea = ae =|a|cos；2ab ab = 0
3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|
特别的aa = |a|2或
4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
7．判断下列各题正确与否：
1若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0 ( √ )
2若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0 ( × )
3若a 0，ab = 0，则b = 0 ( × )
4若ab = 0，则a 、b至少有一个为零 ( × )
5若a 0，ab = ac，则b = c ( × )
6若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时成立 ( × )
7对任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc) ( × )
8对任意向量a，有a2 = |a|2 ( √ )
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a b = b a
证：设a，b夹角为，则a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos
∴a b = b a
2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)
证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，
若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，
(ab) =|a||b|cos，
a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos
3．分配律：(a + b)c = ac + bc
在平面内取一点O，作= a, = b，= c，
∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，
即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2
∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
三、讲解范例：
例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2
代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解：如图：ABCD中，，，=
∴||2=
而=
∴||2=
∴||2 + ||2 = 2=
例3 四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，
∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２
由于ａ·ｂ＝с·ｄ，
∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０
即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC
综上所述，四边形ABCD是矩形
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系
四、课堂练习：
1下列叙述不正确的是（ ）
A向量的数量积满足交换律 B向量的数量积满足分配律
C向量的数量积满足结合律 Da·b是一个实数
2已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
A72 B-72 ?C36 ?D-36
3|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A平行 B垂直 C夹角为 ?D不平行也不垂直
4已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝
5已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|=
6设|a|=3,|b|=5,且a+λb与a－λb垂直，则λ＝
参考答案：1C 2B 3B 4２ ５－１+2 5 6±
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题
六、课后作业
1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A60° ?B30° ?C135° ?D４５°
2已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A2 ?B2? C6 ?D12
3已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）
A充分但不必要条件 ?B必要但不充分条件
C充要条件 D既不充分也不必要条件
4已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=
5已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b=
6已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)２＝______
7已知|a|=1,|b|=,(1)若a∥b,求a·b;(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|； (3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角
8设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角
9对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角
参考答案：1D 2B 3C 4 5 –63 6 11
7(1)- (2) (3)45°? 8 120° 9 90°?
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1常用数量积运算公式
在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛
即(a＋b)２＝a２＋２a·b＋b２，（a－b）２＝a２－２a·b＋b２
上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a２－b２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用
2应用举例
［例1］已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a·b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜
解：∵｜a＋b｜２＝（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３
∴｜a＋b｜＝，∵（｜a－b｜）２＝（a－b）２＝a２－2a·b＋b２＝2２－2×（－3）×５２＝35，
∴｜a－b｜＝．
［例2］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°)
解：∵（｜a＋b｜）２＝（a＋b）２＝a２＋2a·b＋b２＝｜a｜２＋2｜a｜·｜b｜ｃｏｓθ＋｜b｜２
∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，
∴ｃｏｓθ＝，∴θ≈５５°
C课 题：解斜三角形应用举例（2）
教学目的：
1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；
2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；?
3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力
教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法?
教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：?自学辅导法?
在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼
教学过程：
一、复习引入：
上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决
二、讲解范例：
例1如图，是曲柄连杆机的示意图当曲柄CB0绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在AO处设连杆AB长为340 ｍｍ，曲柄CB长为85 ｍｍ，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)(精确到1 ｍｍ)
分析：如图所示，因为A0A＝AOC－AC，又知AOC＝AB＋BC＝340＋85＝425，所以只要求出AC的长，问题就解决了在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC?
解：在△ABC中，由正弦定理可得?
sinA＝
因为BC＜AB，所以A为锐角，得A＝14°15′?
∴B＝18O°－（A＋C）＝18O°－（14°15′＋8O°）＝85°45′?
由正弦定理，可得?
AC＝
因此，AOA＝AOC－AC＝(AB＋BC）－AC＝(34O＋85)－3443＝8O7≈81（ｍｍ）
答：活塞移动的距离约为81ｍｍ
评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围要求学生注意解题步骤的总结：?
用正弦定理求A求B 求AC→求AOA?
例2 如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝ｓ，试求AB的长
分析：如图所示：对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解
解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ，由正弦定理得
AC＝
在△BCD中，由正弦定理得?
BC＝
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝α－β，所以用余弦定理,就可以求得
AB＝
评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用
(2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用?
例3 据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30　ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响
问：S岛是否受其影响
若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响 持续时间多久 说明理由
分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化S岛是否受台风影响可转化为SB≤27O这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过ｔ小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB?
解：设台风中心经过ｔ小时到达B点，?
由题意，∠SAB＝9O°－3O°＝6O°?
在△SAB中，SA＝3OO，AB＝3Oｔ，∠SAB＝6O°，?
由余弦定理得：
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cosSAB?
＝3OO2＋（3Oｔ）2－2·3OO·3Otcos6O°?
若S岛受到台风影响，则应满足条件?
｜SB｜≤27O 即SB2≤27O2?
化简整理得 ｔ2－1Oｔ＋19≤O?
解之得 5－≤ｔ≤5＋
所以从现在起，经过5－小时S岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束?持续时间：(5＋)－（5－）＝2小时?
答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2小时
例4 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为03，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为195米，AB与水平线之间的夹角为620’，AC长为140米，求货物开始下滑时BC的长
解：设车箱倾斜角为，货物重量为
当即时货物下滑
当 时， ，
∠BAC=
在△ABC中:
，
三、课堂练习：
1海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北6O°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险 ?
答案：不会触礁?
2直线AB外有一点C，∠ABC＝6O°，AB＝2OO　ｋｍ，汽车以8O ｋｍ／ｈ速度由A向B行驶，同时摩托车以5O公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小?
答案：约13小时?
四、小结 通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力
五、课后作业：
1．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值为（ ）
A．－ B． C．－ D．
分析：先用正弦定理：可求出a∶b∶c=3∶2∶4，
所以可设a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理：
即
答案：A
2．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度
解：如图所示，∠SMN=15°+30°=45°，∠SNM=180°－45°－30°=105°
∴∠NSM=180°－45°－105°=30°
答：货轮的速度为里/小时
3．△ABC中，a+b=10，而cosC是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值
分析：由余弦定理可得，然后运用函数思想加以处理
解：
又∵cosC是方程2x2－3x－2=0的一个根
由余弦定理可得
则
当a=5时，c最小且c=
∴△ABC周长的最小值为
4．在湖面上高h米处，测得云的仰角为α,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为β，试证：云高为米
分析：因湖而相当于一平面镜，故云C与它在湖中之影D关于湖面对称，设云高为x=CM，则从△ADE，可建立含x的方程，解出x即可
解：如图所示，设湖面上高h米处为A，测得云的仰角为α，而C在湖中的像D的俯角为β，CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E，设云高CM=x
则CE=x－h，DE=x+h
5．在某定点A测得一船初始位置B在A的北偏西α1处，十分钟后船在A正北，又过十分钟后船到达A的北偏东α2处若船的航向与程度都不变，船向为北偏东θ，求θ的大小(α1＞α2)
分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题
解：如图所示，在△ABC中，由正弦定理可得：
①
在△ACD中，由正弦定理可得：
②
根据题意，有BC=CD
∴由①、②得：
即
（α1＞α2）
6．（1998年全国高考题）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sinB的值
解：∵a+c=2b,∴sinA+sinC=2sinB
由和差化积公式得
六、板书设计（略）
七、课后记：课 题：正弦定理、余弦定理（4）
教学目的：
1进一步熟悉正、余弦定理内容；?
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式?
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系?
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：启发引导式?
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：
一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲解范例：
例1在任一△ABC中求证：
证：左边=
==0=右边
例2 在△ABC中，已知，，B=45 求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45<90 即b当A=60时C=75
当A=120时C=15
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时
从而A=60 ，C=75
当时同理可求得：A=120 ，C=15
例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且
2cos(A+B)=1
求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)= ∴C=120
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC22AC BC osC
即AB=
（3）S△ABC=
例4 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得：
解之： （舍去）
由余弦定理：
∴
例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 ;
2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1设三边 且
∵C为钝角 ∴解得
∵ ∴或3 但时不能构成三角形应舍去
当时
2设夹C角的两边为
S
当时S最大=
例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程?
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC?
∴
解得，ｘ＝2?, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型?
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积?
解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝
∴
又，其中R为三角形外接圆半径
∴, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1?
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解
2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB?
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，
∴AB＝
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值?
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π
∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π
∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符?
∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝
又C＝180°－（A＋B）?
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较?
四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记及备用资料：
1正、余弦定理的综合运用?
余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之?
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数
解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，?
∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ?∴cosΒ＝－ ∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，
则A＝120°
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状?
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，
由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A，
∴sin2C＝sin2B?∴B＝C
故△ABC是等腰三角形?
2一题多证?
［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形?
证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0
即sin（B－C）＝0，?∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）?
∵B、C是三角形的内角，?∴B＝C，即三角形为等腰三角形?
证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC?∴2bcosC＝bcosC＋ccosB?∴bcosC＝ccosB，即
又∵∴即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，?∴B＝C?∴△ABC为等腰三角形?
证法三：∵cosC＝∴
化简后得b2＝c2?∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形?课 题：向量的加法与减法（1）
教学目的：
⑴掌握向量加法的定义
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算
教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.
教学难点：向量的加法和减法的定义的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
7.对向量概念的理解
的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
二、讲解新课：
1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
如图，已知向量、在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即
特殊情况：
对于零向量与任一向量，有
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||;
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||,当与反向时，若||>||,则+的方向与相同，且|+|=||-||;若||<||,则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
2．向量加法的交换律：+=+
3．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
证：如图：使, ,
则(+) +=
+ (+) =
∴(+) +=+ (+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
三、讲解范例：
例1如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行的速度.
在中，，
所以
因为
答：船的实际航行的速度的大小为，方向与水流速间的夹角为
四、课堂练习：
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
五、小结 1向量加法的几何法则；2交换律和结合律；
3注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号
六、课后作业：2、已知两个力F1,F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小
3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
七、板书设计（略）
八、课后记：课 题：平面向量的坐标运算（1）
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
2．向量加法的交换律：+=+
3．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a b = a + (b)
5．差向量的意义： = a, = b, 则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
6．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
7．运算定律 λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
8． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ
9．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示
与相等的向量的坐标也为
特别地，，，
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示
2．平面向量的坐标运算
（1） 若，，则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
设基底为、，则
即，同理可得
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
==( x2, y2) (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1)
（3）若和实数，则
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
设基底为、，则，即
三、讲解范例：
例1已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点
解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2, 2)
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4, 6)
当平行四边形为DACB时，得D3=(6, 0)
例2已知三个力 (3, 4), (2, 5), (x, y)的合力++=
求的坐标
解：由题设++= 得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
即： ∴ ∴(5,1)
四、课堂练习：
1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, )
∴ ∴P点坐标为(-1, -)
2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则2=(-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是梯形
解：∵=(-2, 3) =(-4, 6) ∴=2
∴∥ 且 |||| ∴四边形ABCD是梯形
五、小结 1．向量的坐标概念 2．向量坐标的运算
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：