2021_2022学年高中数学第3章不等式作业含解析（7份打包）新人教A版必修5

课时分层作业(二十三)　基本不等式：≤
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时，lg
x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0B　[A中，当0x<0，lg
x＋≥2不成立；由基本不等式知B正确；C中，由对勾函数的单调性，
知x＋的最小值为；D中，由函数f(x)＝x－在区间(0，2]上单调递增，知x－的最大值为，故选B.]
2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是(　　)
A.lg
(x2＋1)≥lg
(2x)　
B．x2＋1>2x
C．≤1
D．x＋≥2
C　[对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立，故选C.]
3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是(　　)
A．＋<1
B．＋≥1
C．＋<2
D．＋≥2
B　[因为ab≤≤＝4，所以＋≥2≥2＝1.]
4．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则(　　)
A．ab≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
C　[∵a2＋b2≥2ab，
∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，
即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.]
5．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有(　　)
A．最大值64
B．最小值
C．最小值
D．最小值64
D　[由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.]
二、填空题
6．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为
．
4　[∵a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4.]
7．已知0．
　[由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．]
8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是
．
　[因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥.]
三、解答题
9．(1)已知x<3
，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
[解]　(1)∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3
≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，
即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)∵x，y是正实数，
∴(x＋y)＝4＋(＋)≥4＋2.当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
[解]　设使用x年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．
因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．
设汽车的年平均费用为y万元，则有
y＝＝
＝1＋＋≥1＋2＝3.
当且仅当＝，即x＝10时，y取最小值．
即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．
1．若－4A．有最小值1
B．有最大值1
C．有最小值－1
D．有最大值－1
D　[f(x)＝＝[(x－1)＋]，又∵－4∴x－1<0.
∴－(x－1)>0.
故f(x)＝－[－(x－1)＋]≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．]
2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16
B．25
C．9
D．36
B　[(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]
3．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N
)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．
5　[二次函数顶点为(6，11)，
设为y＝a(x－6)2＋11，代入(4，7)得a＝－1，
∴y＝－x2＋12x－25，
年平均利润为＝
＝－＋12≤－2＋12＝2，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．]
4．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
　[∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝1＋xy.
∵xy≤，∴(x＋y)2－1≤，
整理求得－≤x＋y≤，
∴x＋y的最大值是.]
5．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).
(1)将2021年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
[解]　(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0).
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
PAGE课时分层作业(二十二)　线性规划的实际应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1千克、a2千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为b1千克、b2千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为d1元、d2元，月初一次性购进原料A，B各c1千克、c2千克，本月生产甲产品和乙产品各多少千克时才能使月利润总额达到最大？在这个问题中，设本月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为(　　)
A．　
B．
C．
D．
[答案]　C
2．某服装制造商有10
m2的棉布料，10
m2的羊毛料和6
m2的丝绸料，做一条裤子需要1
m2的棉布料，2
m2的羊毛料和1
m2的丝绸料，做一条裙子需要1
m2的棉布料，1
m2的羊毛料和1
m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为(　　)
A．z＝20x＋40y
B．z＝20x＋40y
C.z＝20x＋40y
D．z＝40x＋20y
A　[由题意知A正确．]
3．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元
B．16万元
C．17万元
D．18万元
D　[
根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则
目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2，3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．]
4．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为(　　)
A．2，4　　B．3，3
C．4，2　　D．不确定
B　[设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3，3).]
5．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为(　　)
A．4
650元
B．4
700元
C．4
900元
D．5
000元
C　[设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得的利润为u(元)，u＝450x＋350y，由题意，x，y满足关系式作出不等式组满足的平面区域(略)，u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)在由确定的交点(7，5)处取得最大值4
900元．]
二、填空题
6．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为
．
3　[作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，5)，C(3，4)，设目标函数为z＝y－x，则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，n－m的最大值为3.
]
7．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为
．
30，20　[设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.
此时x，y满足条件
画出可行域如图，得最优解为A(30，20).
]
8．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同．但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，它们的具体收费如下表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为
元．
4
900　[设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙厂生产一等奖奖品(3－x)件，二等奖奖品(6－y)件，则x，y满足
设费用为z元，则z＝500x＋400y＋800·(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6
000，
作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分(包括边界)中的整点．
由图象知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小．
由解得即A(3，1)，故组委会定做该工艺品的费用总和最低为zmin＝－300×3－200×1＋6
000＝4
900(元).]
三、解答题
9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10
g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10
g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足病人的营养需要，又使费用最省？
[解]　设甲、乙两种原料分别用10x
g和10y
g，总费用为z，那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，它是在y轴上的截距为且随z变化的一组平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，
即当使用甲、乙两种原料分别为28
g、30
g时，才能既满足病人的营养需要，又能使费用最省．
10．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？
成分种类
阿司匹林
小苏打
可待因
每片价格(元)
A(毫克/片)
2
5
1
0.1
B(毫克/片)
1
7
6
0.2
[解]　设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y∈N)，
则有两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.
如图所示，作直线l：x＋y＝0，
将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．
解方程组
得交点A坐标.
由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1，10)，(2，9)，(3，8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．
1．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)
原料药剂
甲
乙
A
2
5
B
5
4
药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20
kg，原料乙33
kg，那么可以获得的最大销售额为(　　)
A．600元
B．700元
C．800元
D．900元
D　[设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时，u最大，umax＝900.]
2．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为(　　)
A．2
000元
B．2
200元
C．2
400元
D．2
800元
B　[设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件
目标函数z＝400x＋300y，画图(图略)可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4，2)时，z取得最小值2
200.]
3．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
216
000　[设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
目标函数z＝2
100x＋900y.
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2
100×60＋900×100＝216
000(元).]
4．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是
．
37　[设小明买科普书x本，文具y套，总数为z＝x＋y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图中阴影部分整点所示．
将z＝x＋y化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x并平移，使之经过可行域，易知经过点A时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z最大为37.]
5．某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如表所示：
规格类型袋装大米类型
A
B
甲
2
1
乙
1
3
已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋．
(1)问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域)
(2)若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率．
[解]　(1)设需分甲，乙两种袋装大米的袋数分别为x，y，所用的袋装大米的总袋数为z，则z＝x＋y(x，y为整数)，作出可行域D如图．
从图中可知，可行域D的所有整数点为：(3，9)，(3，10)，(4，8)，(4，9)，(4，10)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，共8个点
因为目标函数为z＝x＋y(x，y为整数)，所以在一组平行直线x＋y＝t(t为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，其经过的整点是(3，9)和(4，8)，它们都是最优解．
所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3袋、9袋或4袋、8袋可使所用的袋装大米的袋数最少．
(2)由(1)可知可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为P＝＝.
PAGE课时分层作业(二十一)　简单的线性规划问题
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为(　　)
A．－6　　　　B．－2　　　　C．0　　　　D．2
A　[画出可行域，如图所示，
解得A(－2，2)，设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值；
所以zmin＝2×(－2)－2＝－6，
故选A.]
2．若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)
A．0
B．3
C．4
D．5
C　[
不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，
由得
所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.]
3．设变量x，y满足约束条件则z＝|x－3y|的最大值为(　　)
A．10
B．8
C．6
D．4
B　[画出可行域，如图中阴影部分所示，
令t＝x－3y，则当直线t＝x－3y经过点A(－2，2)时，t＝x－3y取得最小值－8，当直线t＝x－3y经过点B(－2，－2)时，t＝x－3y取得最大值4，又z＝|x－3y|，所以zmax＝8，故选B.]
4．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)
A．4
B．9
C．10
D．12
C　[
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设P(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.
由解得
故A(3，－1)，由解得故B(0，－3)，由解得故C(0，2).|OA|2＝10，|OB|2＝9，|OC|2＝4.显然，当点P与点A重合时，|OP|2即x2＋y2取得最大值．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.]
5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为(　　)
A．11
B．10
C．9
D．8.5
B　[由已知可得x，y所满足的可行域如图阴影部分所示：
令y＝－x＋.
要使z取得最大值，只须将直线l0：y＝－x平移至A点，
联立，得A(3，1)，
∴zmax＝2×3＋3×1＋1＝10.]
二、填空题
6．满足不等式组并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是
．
(0，5)　[首先作出可行域如图阴影所示，设直线l0：6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M(0，5)时截距最大，此时z最大．
]
7．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是
．
1　[不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
设t＝x＋2y，
则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.]
8．若x，y满足约束条件则的最大值为
．
3　[
画出可行域如图阴影所示，因为表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，
所以点(x，y)在点A处时最大．
由得
所以A(1，3)，所以的最大值为3.]
三、解答题
9．已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－y，求z的最大值和最小值．
[解]　
z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5，2)时，zmax＝2×5－2＝8，
当l移动到l2，
即过点C(1，4.4)时，zmin＝2×1－4.4＝－2.4.
10．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，求a的取值范围．
[解]　先画出可行域，如图所示，y＝ax必须过图中阴影部分或其边界．
∵A(2，9)，∴9＝a2，∴a＝3.
∵a>1，∴1∴a的取值范围是(1，3].
1．设O为坐标原点，A(1，1)，若点B(x，y)满足则·取得最小值时，点B的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．无数个
B　[如图，
阴影部分为点B(x，y)所在的区域．
∵·＝x＋y，令z＝x＋y，
则y＝－x＋z.
由图可知，当点B在C点或D点时，z取最小值，故点B的个数为2.]
2．设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)
A．－5
B．3
C．－5或3
D．5或－3
B　[二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A(，)处，z取得最值．
因此＋a×＝7，
化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3.]
3．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝
．
－2　[
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z.易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，所以k＝－2.]
4．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下，取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是
．
(2，＋∞)　[
先根据
作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x＋y－2＝0，且只有当n>2时，可行域才包含x＋y－2＝0这条直线上的线段BC或其余部分．]
5．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，求|PQ|的最小值．
[解]　画出不等式组所表示的平面区域，x2＋(y＋2)2＝1所表示的曲线是以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．
如图所示，只有当点P在点A，点Q在点B(0，－1)时，|PQ|取最小值.
PAGE课时分层作业(二十)　二元一次不等式(组)与平面区域
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知点P1(0，1)，P2(2，1)，P3(－1，2)，P4(3，3)，则在4x－5y＋1≤0表示的平面区域内的点的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
C　[经验证，P1，P3，P4均在区域内．]
2．原点(0，0)和点(1，1)在直线x＋y＝a的两侧，则a的取值范围是(　　)
A．a<0或a>2
B．0C．a＝2或a＝0
D．0≤a≤2
B　[直线方程为x＋y－a＝0，因为(0，0)和(1，1)在直线两侧，则(0＋0－a)(1＋1－a)<0，∴a(a－2)<0，∴03．已知点(a，2a－1)既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，5)
C．(0，2)
D．(0，5)
D　[由题可得?04．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[不等式组表示的平面区域如图所示．
交点A，B(0，4)，C(1，1)，
∴S△ABC＝××1＝.]
5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是(　　)
A．a≥
B．0C．1≤a≤
D．0D　[
先画出不含参数的不等式表示的平面区域，如图所示，要使不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，需使直线x＋y＝a在点A(1，0)的下方或在点B的上方．当直线x＋y＝a过点A时，a＝1.当直线x＋y＝a过点B时，a＝.又因为直线x＋y＝a必在原点O的上方，所以0二、填空题
6．表示如图阴影部分所示平面区域的不等式组是
．
　[由所给的图形容易知道，点(3，1)在相应的平面区域内，将点(3，1)的坐标分别代入3x＋2y－6、2x－3y－6、2x＋3y－12中，分别使得3x＋2y－6>0、2x－3y－6<0、2x＋3y－12<0，再注意到包括各边界，故图中阴影部分所示平面区域的不等式组是
]
7．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有
个．
6　[由题意点(x，y)的坐标应满足
由图可知
整数点有(0，0)，(1，0)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，共6个．]
8．若不等式组表示的平面区域为Ω，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ω中的那部分区域的面积为
．
　[如图所示，Ω为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ω中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2，0)，O(0，0)，C(0，1)，D，E(0，2)，△CDE为直角三角形，
∴S四边形BOCD＝S△BOE－S△CDE＝×2×2－×1×＝.
]
三、解答题
9．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域．
[解]　不妨设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不小于180，x与y的和不超过500，用不等式组表示就是
对应的平面区域如图阴影部分所示．
10．求不等式组表示的平面区域的面积．
[解]　作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．
可以求得点A的坐标为，点B的坐标为(－2，－2)，点C的坐标为(8，－2)，
所以△ABC的面积是×[8－(－2)]×＝.
1．设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是(　　)
A．[－3，0]
B．[－3，2]
C．[0，2]
D．[0，3]
B　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2，0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0，3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.
所以z＝x－y的取值范围是[－3，2].故选B.]
2．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)
A．－3
B．1
C．
D．3
B　[作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2，0)，B(1－m，1＋m)，C(，)，D(－2m，0).
S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去).
]
3．不等式组表示的平面区域的面积为
．　
4　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
易得B(2，0)，C(0，2)，D(4，0).
由得A(8，－2).
所以S△ABC＝S△CBD＋S△ABD＝×2×2＋×2×2＝4.]
4．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为
．
　[作出区域D及圆x2＋y2＝4如图所示，
图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别为，－即tan
α＝，tan
β＝，tan
θ＝tan
(α＋β)＝＝1，
所以θ＝，故弧长l＝θ·R＝×2＝.]
5．设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t，1)在平面区域Q内，求整数t的取值集合．
[解]　(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示).
由
解得A(4，－4)，
由
解得B(4，12)，
由
解得C(－4，4).
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝×16×8＝64.
(2)由已知得
即亦即
得t＝－1，0，1，2，3，4.
故整数t的取值集合是{－1，0，1，2，3，4}．
PAGE课时分层作业(十九)　一元二次不等式的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x<1}
C．{x|－1≤x≤1}
D．{x|－1B　[原不等式?
∴－1≤x<1.]
2．不等式<0的解集为(　　)
A．{x|－1B．{x|1C.{x|2D．{x|－1A　[原不等式?
∴－13．不等式组有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
A　[由题意得，a2＋1∴只须4＋2a>a2＋1，即a2－2a－3<0，∴－14．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要.]
5．已知函数f(x)＝若f(x)≥1，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，0)∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D　[由题意得或
∴x≤－1或x≥1.]
二、填空题
6．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是
．
(－∞，－5]　[设f(x)＝x2＋mx＋4，要使x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有即解得m≤－5.]
7．偶函数y＝f(x)和奇函数y＝g(x)的定义域均为[－4，4]，f(x)在[－4，0]上，g(x)在[0，4]上的图象如图所示，则不等式<0的解集为
．
{x|－20，当x∈(－2，2)时，f(x)<0，当x∈(－4，0)时，g(x)>0，x∈(0，4)时，g(x)<0.
所以当x∈(－2，0)∪(2，4)时，<0.
所以不等式<0的解集为{x∈R|－28．某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2
400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是
．
[3，5]　[设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2
400××t%＝60(8t－t2).
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]
三、解答题
9．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　由题意可知，只有当二次函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，
则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0，此时应满足Δ＜0，即4(a－2)2－16＜0，解得0＜a＜4.
故a的取值范围是(0，4).
10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a
kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
[解]　(1)设下调后的电价为x元/kw·h，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为
y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意，有
整理，得
解此不等式，得0.60≤x≤0.75.
∴当电价最低定为0.60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
1．下列选项中，使不等式x<A．(－∞，－1)　
B．(－1，0)　
C．(0，1)　
D．(1，＋∞)
A　[法一：取x＝－2，知符合x<法二：由题知，不等式等价于(－x)·<0，
即<0，
从而<0，解得x<－1，选A.]
2．函数f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围为(　　)
A．(0，1)
B．[1，＋∞)
C．[0，1]
D．(－∞，0]
C　[kx2－6kx＋(k＋8)≥0恒成立，
当k＝0时，满足．
当k≠0时，
?0综上，0≤k≤1.]
3．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝
．
4　[∵(x－a)(x＋1)>0与>0同解，∴(x－a)(x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，
∴4，－1是(x－a)(x＋1)＝0的根，∴a＝4.]
4．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是
．
(－∞，－3]　[设f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，∴f(x)在x∈[0，1]上单调递减，∴当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝－3，∴要使x2－4x≥m对于任意x∈[0，1]恒成立，则需m≤－3.]
5．设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
[解]　原不等式可化为(x2－1)m－(2x－1)＜0.
令f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，其中m∈[－2，2],
则原命题等价于关于m的一次函数(x2－1≠0时)或常数函数(x2－1＝0时)在m∈[－2，2]上的函数值恒小于零．
(1)当x2－1＝0时，由f(m)＝－(2x－1)＜0得x＝1；
(2)当x2－1＞0时，f(m)在[－2，2]上是增函数，要使f(m)＜0在[－2，2]上恒成立，只需
解得1＜x＜；
(3)当x2－1＜0时，f(m)在[－2，2]上是减函数，要使f(m)＜0在[－2，2]上恒成立，只需
解得＜x＜1.
综合(1)(2)(3)，得
＜x＜.
PAGE课时分层作业(十八)　一元二次不等式及其解法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A．　　　
B．
C．?
D．
D　[(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.]
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N
，x≤5}，则A∩B等于(　　)
A．{1，2，3}
B．{1，2}
C．{4，5}
D．{1，2，3，4，5}
B　[(2x＋1)(x－3)<0，∴－且x≤5，则x＝1，2.]
3．若0A．
B．
C．
D．
D　[t∈(0，1)时，t<，
∴解集为.]
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　)
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3C　[由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，
∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a>0，
∵a<0，∴x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，
∴－25．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0，2)
B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1，2)
B　[根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是(－2，1).]
二、填空题
6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为
．(用区间表示)
(－4，1)　[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－47．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是
．
(－3，1)∪(3，＋∞)　[f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，
解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，
解得－3所以f(x)>f(1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞).]
8．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________．
[－3，2)　[由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，又由2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0可得，(2x＋5)(x＋k)＜0，如图所示，由已知条件可得解得－3≤k＜2.
]
三、解答题
9．求下列不等式的解集：
(1)x2－5x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0.
[解]　(1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2，0)和(3，0)，其图象如图(1).根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2).根据图象可得不等式的解集为?.
10．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
[解]　原不等式可化为
[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1).
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠a＋1.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
当a＝3时，解集为{x|x≠a＋1}，
当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)或x1．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A．
B．R
C．
D．?
A　[因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A.]
2．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为(　　)
A．{x|－2B．{x|x>2或x<－1}
C．{x|x>1或x<－2}
D．{x|x<－1或x>1}
C　[∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1∴解得
∴bx2－ax－2>0，
即x2＋x－2>0，
解得x>1或x<－2.]
3．不等式2x2－x＜4的解集为
．
{x|－1＜x＜2}　[∵2x2－x＜4，
∴2x2－x＜22，
∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，
∴－1＜x＜2.]
4．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
{x|－7＜x＜3}　[当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0，5).又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5，5)，所以－55．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
[解]　原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，所以3－2a>，
此时不等式的解集是
eq
\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x)；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为，当a>时，原不等式的解集为.
PAGE课时分层作业(十七)　不等关系与不等式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－a　　　
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
C　[法一：∵a＋b>0，∴a>－b，
又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，
∴a>－b>b>－a.
法二：设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.]
2．设0A．abB．logbC．2b<2a<2
D．a2C　[设a＝，b＝，验证即得A，D错误；结合y＝logx，y＝2x的单调性得B错误，C正确．]
3．已知a，b∈(0，1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MB．M>N
C．M＝N
D．不确定
B　[M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)(b－1).
∵a，b∈(0，1)，
∴a－1<0，b－1<0
∴M－N>0，∴M>N.]
4．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是(　　)
A．a－c＜b－d
B．ac＞bd
C．＜
D．ad＞bc
B　[∵a＜b＜0，c＜d＜0，
∴－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，
∴(－a)(－c)＞(－b)(－d)，
即ac＞bd.]
5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则先到教室的是(　　)
A.甲
B．乙
C.同时到达
D．无法判断
B　[设路程为S，步行速度v1，跑步速度v2，则
甲用时t1＝＋，
乙用时t2＝，
t1－t2＝＋－
＝S
＝·S
＝＞0，甲用时多．故选B.]
二、填空题
6．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为
．
x2＋2>3x　[(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，
因为x<1，
所以x－1<0，x－2<0，
所以(x－1)(x－2)>0，所以x2＋2>3x.]
7．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是
．
f(x)＞g(x)　[∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，∴f(x)＞g(x).]
8．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
7.5
B类
6
今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产
件，最高产值为
万元．
20　330　[设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，
当且仅当x＝20时，y取最大值330.
所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．]
三、解答题
9．(1)已知a(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
[证明]　(1)由于－＝
＝，
∵a∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，
∴<0，故<.
(2)∵<，∴－<0，
即<0，而a>b，
∴b－a<0，∴ab>0.
10．已知12[解]　∵15∴－36<－b<－15，
∴12－36∴－24又<<，∴<<，
∴<<4.
综上，－241．若a>b>0，cA．>
B．<
C．>
D．<
D　[令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则＝－1，＝－1，所以A，B错误；＝－，＝－，所以<，所以C错误．故选D.]
2．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②acloga(b－c).其中所有的正确结论的序号是(　　)
A．①　　　B．①②
C．②③　　　D．①②③
D　[由a>b>1，得0<<，又c<0，所以>，①正确；幂函数y＝xc(c<0)在(0，＋∞)上是减函数，所以acb－c>0，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．故①②③均正确．]
3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是
(用区间表示).
[3，8]　[∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z的取值范围是[3，8].]
4．设a，b为正实数，有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中正确的命题为
(写出所有正确命题的序号).
①④　[对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1?a－b＝?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则≥1?a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1.
对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.
对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0.
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.
即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，
∴0即|a－b|<1.因此正确．]
5．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的．试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[解]　设该单位有职工n人(n∈N
)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋x(n－1)＝x＋xn，y2＝xn，所以y1－y2＝x＋xn－
xn＝x－xn
＝x.
当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1y2.
因此，当单位人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
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