课时分层作业(十六) 等比数列前n项和的性质及应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7 B．8 C．15 D．16
C [由题意得4a2＝4a1＋a3，
∴4(a1q)＝4a1＋a1·q2，
∴q＝2，∴S4＝＝15.]
2．已知等比数列{an}的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q等于( )
A．
B．1
C．2
D．4
C [S3＝1，S6＝9，
∴S6－S3＝8＝a4＋a5＋a6＝q3(S3)＝q3，∴q3＝8，∴q＝2.]
3．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项和是( )
A．
B．Sqn－1
C．Sq1－n
D．
C [易知数列也是等比数列，首项为1，公比为，则数列的前n项和为＝＝·＝＝Sq1－n.]
4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N
)，且x1＋x2＋…＋x10＝10
，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于( )
A．1
025
B．1
024
C．10
250
D．20
240
C [∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，
∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10
250，故选C.]
5．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( )
A．S1
B．S2
C．S3
D．S4
C [由题知S1正确．
若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65.
若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12，得q＝，a3＝18，a4＝27，S4＝65，满足题设，故选C.]
二、填空题
6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝
．
－1 [由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．
又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点知k＝－1.]
7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝
．
2 [设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，
S奇＝.
由题意得＝.
∴1＋q＝3，∴q＝2.]
8．数列11，103，1
005，10
007，…的前n项和Sn＝
．
(10n－1)＋n2 [数列的通项公式an＝10n＋(2n－1).
所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.]
三、解答题
9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．
[解] ∵S30≠3S10，∴q≠1.
由得
∴
∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，
∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55
＝211＋53＝2
101.
1．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( )
A.3n－1
B．
C．
D．
A [由点(a，a)在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝3n－1.]
2．设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2
014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为( )
A．1
673
B．1
675
C．
D．
D [因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2
014，所以＝2
014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2
014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为
＝＝.]
3．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn＝
．
2n＋1－n－2 [因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]
4．阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．函数[x]叫做“取整函数”，也叫高斯函数．它具有以下性质：x－1＜[x]≤x＜[x＋1].请回答：[log21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log21
024]的值是________．
8
204 [由题意得，当x∈[2k，2k＋1)时，[log2x]＝k，令原式＝S，则S＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10，①
2S＝22＋2×23＋3×24＋…＋9×210＋20，②
①－②，得－S＝2＋22＋23＋…＋29－9×210－10＝－12－213，∴S＝12＋213＝8
204.]
5．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
[解] (1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由得
∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，
又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，
∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.
∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N
).
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.
∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，
∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋
＝2×－n＋
＝n2＋.
即数列{cn}的前n项和为n2＋.
PAGE课时分层作业(十五) 等比数列的前n项和
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于( )
A．
B．
C．
D．
D [Sn＝＝.]
2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于( )
A．16(1－4－n)
B．16(1－2－n)
C．(1－4－n)
D．(1－2－n)
C [∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n).]
3．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a1a5＝1，S3＝7，则S5等于( )
A．
B．
C．
D．
B [∵{an}是由正数组成的等比数列，且a1a5＝1，∴a1·a1q4＝1，
又a1，q>0，∴a1q2＝1，即a3＝1，S3＝7＝＋＋1，
∴6q2－q－1＝0，解得q＝，
∴a1＝＝4，S5＝＝.]
4．已知等比数列{an}中，an＝2×3n－1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为( )
A．3n－1
B．3(3n－1)
C．
D．
D [∵an＝2×3n－1，则数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n项和为Sn＝＝.]
5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于( )
A．或5
B．或5
C．
D．
C [设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝.]
二、填空题
6．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝
．
32 [设{an}的首项为a1，公比为q，则
解得所以a8＝×27＝25＝32.]
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N
)等于
．
6 [由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，
又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6.]
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝
．
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]
三、解答题
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
[解] (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1＝3，
故a1＝4.
从而Sn＝＝[1－(－)n].
10．在等差数列{an}中，a3＝4，a7＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)因为d＝＝1，
所以an＝a3＋(n－3)d＝n＋1.
(2)bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2＋＋＋…＋，
①
Tn＝＋＋…＋＋，
②
由①－②得Tn＝2＋＋＋…＋－
＝＋1－
＝＋1－＝2＋1－
＝3－，
所以Tn＝6－.
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N
)，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2
B．(2n－1)2
C．4n－1
D．(4n－1)
D [a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1).]
2．如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为( )
A．
B．π
C．2π
D．3π
B [根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π.]
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是
．
192 [设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.]
4．等差数列{an}中，公差d≠0，a＝a1a4，若a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，则kn＝
．
3n＋1 [由题意得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，∴a1＝d，∴q＝＝＝3.
∴akn＝9a1×3n－1＝kna1，
∴kn＝9×3n－1＝3n＋1.]
5．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)由题意有
即
解得或
故或
(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋…＋＋.②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.
PAGE课时分层作业(十四) 等比数列的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于( )
A．± B．－ C． D．±
C [根据等比数列的性质可知a1a5＝a?a5＝
eq
\f(a,a1)＝.]
2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于( )
A．32
B．16
C．12
D．8
B [＝q3＝＝2，
∴a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2·23＝24＝16.]
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为( )
A．32
B．64
C．256
D．±64
B [由题意得，a1a99＝16，
∴a40a60＝a＝a1a99＝16，
又∵a50>0，∴a50＝4，
∴a40a50a60＝16×4＝64.]
4．设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1，n∈N
，若数列{bn}的连续四项在集合{－53，－23，17，37，82}中，则q等于( )
A．－
B．－
C．－或－
D．－或－
C [即an的连续四项在集合{－54，－24，16，36，81}中，由题意知，这四项可选择－54，36，－24，16，此时，q＝－，若选择16，－24，36，－54，则q＝－.]
5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于( )
A．
B．或
C．
D．以上都不对
B [不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋＝，
对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1
∴等比数列为，x1，x2，4，
∴q3＝＝8，∴q＝2，∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴＝＝.
同理，若是x2－nx＋2＝0的根，解得＝.故选B.]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于
．
256 [因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256.]
7.在如图所示表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________．
2 [∵＝，∴x＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5，6.
同理，第二行后两格中数字分别为2.5，3.
∴y＝5·，z＝6·，
∴x＋y＋z＝1＋5·＋6·＝＝2.]
8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是
．
－1 [由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用＝m，所以月平均增长率为－1.]
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比．
[解] 设该数列的公比为q.
由已知，得
所以解得(q＝1舍去)，故首项a1＝1，公比q＝3.
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解] an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4.
又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首项为－，公比为4的等比数列，所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.
1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．±2
B．±4
C．2
D．4
C [∵T13＝4T9，
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.]
2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )
A．16
B．14
C．4
D．49
A [∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6b8＝b＝16.]
3．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于
．
－213 [由于{an}是等比数列，
∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a，
∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，
而a7＝－2.
∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.]
4．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝
．
－1 [由题意，知a2－a1＝＝2，b＝(－4)×(－1)＝4.又因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，所以＝＝－1.]
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∵首项c1＝a1－1，
又a1＋a1＝1，
∴a1＝，∴c1＝－，
又cn＝an－1，∴q＝.
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·＝－，∴an＝cn＋1＝1－.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－[1－]＝－＝.
又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝.
PAGE课时分层作业(十三) 等比数列
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是( )
A．等差数列
B．既是等差数列又是等比数列
C．等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
A [由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，
∴log2b2＝log2ac，
即2log2b＝log2a＋log2c，
∴log2a，log2b，log2c成等差数列．]
2．等比数列{an}
中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为( )
A．3×10－5
B．3×29
C．128
D．3×2－5或3×29
D [设公比为q，则＋12q＝30，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴a10＝a3·q7＝12·27或12·，
即3×29或3×2－5.]
3．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6 C．±6 D．±12
C [a＝＝，
b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，
∴ab＝±6.]
4．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－13是此数列的( )
A．第2项
B．第4项
C．第6项
D．第8项
B [由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4，
∴首项为－4，公比为.
∴由－4×＝－13，解得n＝4.]
5．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于( )
A．－2
B．1或－2
C．1
D．1或2
B [根据题意，代入公式
解得：或]
二、填空题
6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝
．
1 [设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得a＝4·aq4，
∴q4＝，q2＝，
∴a3＝a1q2＝2×＝1.]
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝
．
3×2n－3 [由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]
8．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝
．
27 [由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9，∴q＝3(q＝－3舍)，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.]
三、解答题
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？
[解] (1)因为2an＝3an＋1，
所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，
所以a＝，由于各项均为负，故a1＝－，an＝－.
(2)设an＝－，则－＝－，＝，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．
10．在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N
).证明：数列{an＋3}是等比数列．
[证明] 法一：(定义法)
∵an>0，∴an＋3>0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴＝＝＝2.
∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．
法二：(等比中项法)
∵an>0，∴an＋3>0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴an＋2＝4an＋9.
∴(an＋2＋3)(an＋3)
＝(4an＋12)(an＋3)
＝(2an＋6)2
＝(an＋1＋3)2.
即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，
∴数列{an＋3}是等比数列．
1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于( )
A．＋1
B．3＋2
C．3－2
D．2－3
C [设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，a3，2a2成等差数列，
则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q.
由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，解得
q＝1±.
又等比数列{an}中各项都是正数，
所以q>0，所以q＝1＋.
所以＝＝＝＝3－2.]
2．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2
B．1
C．
D．
C [法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.
法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，
∴a2＝a1q＝，故选C.]
3．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝
，d＝
．
－1 [∵a2，a3，a7成等比数列，
∴a＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.]
4．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为
．
64 [设等比数列{an}的公比为q，
∴?
解得
∴a1a2…an＝
＝
＝，当n＝3或4时，
取到最小值－6，
此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.]
5．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p.
[解] 因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列，
所以(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)，
将cn＝2n＋3n代入上式得，
[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，
整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，
解得p＝2或p＝3.
PAGE课时分层作业(十二) 等差数列前n项和的综合应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
B [等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.]
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于( )
A．100
B．101
C．200
D．201
A [∵A，B，C三点共线?a1＋a200＝1，
∴S200＝(a1＋a200)＝100.]
3．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )
A．15
B．35
C．66
D．100
C [易得an＝
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an>0则2n－5>0，∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]
4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是( )
A．②③
B．①②
C．①③
D．①④
B [∵S6>S7，∴a7<0，
∵S7>S5，∴a6＋a7>0，
∴a6>0，∴d<0，①正确；
又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确；
S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确；
{Sn}中最大项为S6，④不正确．
故正确的是①②.]
5.＋＋＋＋…＋等于( )
A．
B．
C．
D．
C [通项an＝＝(－)，∴原式＝
[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]
＝
＝.]
二、填空题
6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝
．
5 [∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.]
7．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是
．
6或7 [由|a5|＝|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0?2a1＋12d＝0?a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小．]
8．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝
时，Sn取到最大值．
5或6 [∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0，
∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或6时，Sn最大．]
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
[解] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一：a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N
，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
[解] ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝2n2－15n＋56.
∴Tn＝
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18
B [Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，
所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，
由Sn＝＝210，得n＝14.]
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C [am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.]
3．已知数列：1，，，…，，…，则其前n项和等于
．
[通项an＝＝
＝2，
∴所求的和为2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2＝.]
4．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是
，项数是
．
11 7 [设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．]
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.
(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；
(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；
(3){Sn}有多少项大于零？
[解] (1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．
(2)Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N
，
∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．
{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.
(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，费用最少，最少总费用为1
000A元．
PAGE课时分层作业(十一) 等差数列的前n项和
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于( )
A．49 B．42 C．35
D．28
B [2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.]
2．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为( )
A．4
B．
C．－4
D．－
A [由题知S5＝＝＝55.解得a3＝11.
∴P(3，11)，Q(4，15)，∴k＝＝4.故选A.]
3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765
B．665
C．763
D．663
B [∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.]
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1
B．－1
C．2
D．
A [＝＝＝＝·＝1.]
5．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9
B．10
C．19
D．29
B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，
为10根．]
二、填空题
6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差d＝
．
[a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，
①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，
②
由①②联立解得a1＝1，d＝.]
7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于
．
27 [由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.]
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝
．
[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝.]
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.
10．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.
[解] ∵Sn＝n2－2n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]
＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)
＝2n－3，
∴a2＋a3－a4＋a5＋a6
＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4
＝2a4＋2a4－a4＝3a4
＝3×(2×4－3)＝15.
1．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N
)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于( )
A.
B．
C．
D．
C [由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，
所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝
＝.]
2．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a( )＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )
A．15
B．24
C．18
D．28
C [设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，
∴6a1＋(n＋12)d＝24.
又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，
所以a1＋5d为定值．
所以＝5，n＝18.]
3．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝
．
－ [当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝1，即－＝－1，所以是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－.]
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝
．
10 [因为{an}是等差数列，
所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.]
5．某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种．甲方案是公司在每年年末给每位员工增资1
000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元．
(1)假如你是一名员工，你会怎样选择增资方案？请说明你的理由；
(2)若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资额改为a元，问a为何值时，方案乙总比方案甲增资多？
(说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资总额为准；②假定员工工作年限均为整数)
[解] (1)设甲方案第n次的增资额为an，则an＝1
000n，第n年末的增资总额为Tn＝＝500n(n＋1).
乙方案第n年末的增资总额为
S2n＝＝300n(2n＋1).
∵Tn－S2n＝100n(2－n)，
当n＝1时，Tn＞S2n；
当n＝2时，Tn＝S2n；
当n≥3时，Tn＜S2n.
∴只工作一年选择甲方案；只工作两年，两个方案皆可；工作两年以上选择乙方案．
(2)Tn＝500n(n＋1)，S2n＝an(2n＋1)，由已知条件得S2n＞Tn，即a＞500·＝250.
经分析知为递减数列，当n＝1时，取到最大值.∴当a＞时，方案乙总比方案甲增资多．
PAGE课时分层作业(十) 等差数列的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A.5 B．6 C．8 D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5.]
2．数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A.－2
B．－
C．2
D．
C [∵an＋1－an＝3，
∴{an}为等差数列，且d＝3.
a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3，
a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，
∴log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.]
3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )
A.5
B．8
C．10
D．14
B [由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.]
4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A.8
B．4
C．6
D．12
A [因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.]
5．下列说法中正确的是( )
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
C [因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]
二、填空题
6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为
．
－21 [设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1，3，7或7，3，－1.
∴它们的积为－21.]
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为
．
1或2 [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]
8．在通常情况下，从地面到10
km高空，高度每增加1
km，气温就下降某一个固定数值．如果1
km高度的气温是8.5
℃，5
km高度的气温是－17.5
℃，则2
km，4
km，8
km高度的气温分别为
、
、
．
2
℃ －11
℃ －37
℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2
km，4
km，8
km高度的气温分别为2
℃，－11
℃，－37
℃.]
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
[解] ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
10．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[解] 设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N
)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an},
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A.a1＋a101>0
B．a2＋a101<0
C.a3＋a99＝0
D．a51＝51
C [根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.]
2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( )
A.14
B．15
C．16
D．17
C [设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.]
3．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第(n＋1)列的数是________．
n2＋n [观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第(n＋1)列的数是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.]
4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为
升．
[设自上而下各节的容积构成的等差数列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9.
则
解得故a5＝a1＋4d＝.]
5．两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，
又等差数列5，8，11，…的通项公式为an＝3n＋2，等差数列3，7，11，…的通项公式为bn＝4n－1.
所以数列{cn}为等差数列，且公差d＝12，①
所以cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，②
得n≤25，可知两数列共有25个相同的项．
PAGE课时分层作业(九) 等差数列的概念及简单的表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14等于( )
A.45 B．41 C．39 D．37
B [设公差为d，则d＝＝＝3，∴a1＝a2－d＝2，
∴a14＝a1＋13d＝2＋13×3＝41.]
2．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A.49
B．50
C．51
D．52
D [∵an＋1－an＝，
∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)·＝2＋，
∴a101＝2＋＝52.]
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于( )
A.10
B．18
C．20
D．28
C [设公差为d，则a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝2a1＋9d＝10.
∴3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝20.]
4．数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4为( )
A.
B．
C．
D．
D [法一：a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.
法二：取倒数得＝＋3，
∴－＝3，∴是以为首项，3为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)·3
＝3n－＝，
∴an＝，∴a4＝.]
5．若lg
2，lg
(2x－1)，lg
(2x＋3)成等差数列，则x的值等于( )
A.0
B．log25
C．32
D．0或32
B [依题意得2lg
(2x－1)＝lg
2＋lg
(2x＋3)，∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，
∴(2x)2－4·2x－5＝0，
∴(2x－5)(2x＋1)＝0，
∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x＝log25.]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝
．
13 [设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.]
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝
．
3n [因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.]
8．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝
．
1 [法一：设数列{an}的公差为d，由题意知：解得
故an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
法二：∵an＝am＋(n－m)d，
∴d＝，
∴d＝＝＝－2，
a10＝a8＋2d＝5＋2×(－2)＝1.]
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
[解] 设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知
解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N
，所以153是所给数列的第45项．
10．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N
)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2
021.
[解] (1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N
)，
∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2且n∈N
)，
∴是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝，
∴＝＝，
∴x2
021＝.
1．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )
A.
B．
C．
D．
C [设an＝－24＋(n－1)d，
由
解得2．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则( )
A.an＝3n
B．an＝
C.an＝n－
D．an＝3n2
D [∵点(，)在直线x－y－＝0上，
∴－＝，即数列{}是首项为，公差为的等差数列．
∴数列{}的通项公式为
＝＋(n－1)＝n，
∴an＝3n2.]
3．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝
．
[由a－a＝4，知数列{a}成等差数列，且a＝1，
∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又∵an>0，∴an＝.]
4．等差数列{an}中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为
．
an＝38－5n(n∈N
) [由题意可得
即
解得－又∵d∈Z，∴d＝－5，
∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n(n∈N
).]
5．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2,
…
)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列
{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1.
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列
{an}不可能为等差数列，
证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ).
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，
解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{an}是等差数列．
PAGE课时分层作业(八) 数列的通项与递推公式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )
A.an＋1＝an＋n，n∈N
B.an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N
，n≥2
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N
，n≥2
B [由题可知an－an－1＝n(n≥2).]
2．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是( )
A.1
B．
C.
D．
C [a1＝1，a2＝a1＋＝1，
a3＝a2＋＝.]
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为( )
A.an＝n
B．an＝n＋1
C.an＝2n
D．an＝2n－1
D [由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D.]
4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A.103
B．108
C.103
D．108
D [根据题意结合二次函数的性质可得，
an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－2＋3＋.
所以n＝7时，an＝108为最大值．]
5．已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，设Sn＝x1＋x2＋…＋xn，则下列结论正确的是( )
A.x100＝－a，S100＝2b－a
B.x100＝－b，S100＝2b－a
C.x100＝－b，S100＝b－a
D.x100＝－a，S100＝b－a
A [x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，
∴{xn}是周期数列，周期为6，
∴x100＝x4＝－a，
∵x1＋x2＋…＋x6＝0，
∴S100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.]
二、填空题
6．数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2
021等于________．
1 [∵x1＝1，∴x2＝－，∴x3＝1，∴数列{xn}的周期为2，∴x2
021＝x1＝1.]
7．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是
．
255 [因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，
a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.]
8．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝
．
[由an＋1＝，得an＝1－，
∵a8＝2，∴a7＝1－＝，
a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…，
∴{an}是以3为周期的数列，
∴a1＝a7＝.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
[解] ∵f(x)＝x－，∴f(an)＝an－，
∵f(an)＝－2n，∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0.
∴an＝－n±.
∵an>0，∴an＝－n.
10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项．
[解] 假设第n项an为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
1．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N
，则a2
020＋a2
021等于( )
A．4
B．
C．
D．
B [a2＝f＝－1＝；
a3＝f＝－1＝；
a4＝f＝＋＝；
a5＝f＝2×－1＝；
a6＝f＝2×－1＝；
…
∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，
∴a2
020＋a2
021＝a4＋a5＝.
故选B.]
2．数列{an}中，a1＝7，a9＝8，且(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，则a2等于________．
9 [由(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，
得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an，
两式相减，得
nan＋1－(n－1)an＝an.
∴n≥3时，nan＋1＝nan，即an＋1＝an.
又a9＝8，∴a3＝8.
又2a3＝a1＋a2，a1＝7，∴a2＝2a3－a1＝9.]
3．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N
)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．
640 [由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
[解] 存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….
∵当n≥3时，＝×＝＝<1，
∴an＋1又∵a1∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项．
PAGE课时分层作业(七) 数列的概念及简单表示法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
A [an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．]
2．数列－，3，－3，9，…的一个通项公式是( )
A.an＝(－1)n(n∈N
)
B．an＝(－1)n(n∈N
)
C.an＝(－1)n＋1(n∈N
)
D．an＝(－1)n＋1(n∈N
)
B [把前四项统一形式为－，，－，，可知它的一个通项公式为an＝(－1)n.]
3．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为( )
A． B．－ C． D．－
D [易知数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－.]
4．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于( )
A．20
B．28
C．0
D．12
A [a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，
∴a2a3＝2×10＝20.]
5．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的第几项( )
A．4
B．8
C．7
D．12
B [令2n2－3＝125得n＝8或n＝－8(舍)，故125是第8项．]
二、填空题
6．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第
项．
9 [令＝－3，
即－＝－3，∴n＝9.]
7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N
)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝
．
2 [∴a2－a＝2，
∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.]
8．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝
．
① ②
[因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，
所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.]
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)1，3，6，10，15，…；
(3)7，77，777，….
[解] (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝.
(2)注意6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝.
(3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，
因而有an＝(10n－1).
10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2
021；
(3)2
021是否为数列{an}中的项？
[解] (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有
解得k＝4，b＝－2，∴an＝4n－2.
(2)a2
021＝4×2
021－2＝8
082.
(3)由4n－2＝2
021得n＝505.75?N
，
故2
021不是数列{an}中的项．
1．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积为( )
A．
B．5
C．6
D．
B [a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.]
2．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N
)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A.(－∞，2]
B．(－∞，3)
C．(－∞，2)
D．(－∞，3]
B [an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．]
3．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为
．
9 [由an＝19－2n>0，得n<.
∵n∈N
，∴n≤9.]
4．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有
个点．
n2－n＋1 [观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．]
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
).
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项．
[解] (1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．
令an＝1，得＝1，
而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，
则有an＝an＋1，
即＝.
解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
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