2020--2021学年人教版八年级下册数学19.2.4：一次函数的面积问题（共48张ppt）

(共48张PPT)
一次函数的面积问题
第十九章
一次函数
复习与回顾
2、求直线
与两坐标轴所围成的
三角形的面积.
1、已知一次函数
的图像平行
于直线
，且过点（-1,5），
求一次函数的
解析式.
3、将直线
平移，使其经过（4,3）
（1）求平移后的函数解析式
（2）求平移后的函数图像与两坐标轴围成的三角形面积
6
1.
已知一次函数
.
（1）求图象与x轴交点A,
与y轴交点B的坐标.
（2）求图象与坐标轴所围成的三角形面积.
解:
(2)SΔOAB
=
OA·OB
=4
（1）设
与
轴交点坐标A(-2,0)
设
与
轴交点坐标B(0,4)
复习引入
　2、求直线y=－1.5x＋3与x轴、y轴所围成的三角形的面积。
y
x
O
A
B
3
2
解：当x=0时，y=3；
　　当y=0时，x=2；
∴A（0,3）　B（2,0）
∴OA＝3，OB＝2
因此三角形的面积为3.
∴S△ABC＝　OA·OB
＝
×3×2=3
求直线y=kx＋b与x轴、y轴所围成的三角形的面积。
y
x
O
A
B
b
∴S△ABC＝
知识探究
解：当x=0时，y=b；
　　
当y=0时，x=
；
∴A（0,b），　B（
,0）
∴OA＝|b|，OB＝
　＝
×
OA·OB
×|b|×
＝
＝
1.
若点P是
x
轴上一个动点,
且
,试确定
点P的位置.
探究
（1）若点P是y轴上一动点，
试确定点P的位置.
（3）若点P是平面内任意一动点，试确
定点P的位置.
2
.满足
（2）若点P是直线
上一动点，试确定点P的位置
.
交流展示
3.
若点P的坐标为（-2，m），
且
，试确定
点P的位置.
探究
已知直线L经过点（-2，4），且与坐标轴围成一
个等腰三角形，
（1）求直线的函数的解析式
（2）求所得三角形的周长及面积
注意：用坐标值表示线段长时要加上绝对值符号，以防漏解
引例
(1)设该直线的函数解析式为y=kx+b
把(-2，4)代入，得4=-2k+b，即b=2k+4
把x=0、y=0分别代入，得y=b=2k+4，x=-b/k=-2-4/k
由题意得|2k+4|=|-2-4/k|
当2k+4=-2-4/k时，整理得k?+3k+2=0
解得k1=-1，k2=-2
所以b1=2×(-1)+4=2，b2=2×(-2)+4=0(舍去)
当2k+4=2+4/k时，整理得k?+k-2=0
解得k3=1，k4=-2(舍去)
所以b3=2×1+4=6
所以该直线的函数解析式为y=-x+2或y=x+6
(2)当b=2时，三角形的周长为:2×2+2√2=4+2√2
三角形的面积为:1/2×2×2=2
当b=6时，三角形的周长为:6×2+6√2=12+6√2
三角形的面积为:1/2×6×6=18
一次函数的图像的应用
（面积问题)
例1　已知：如图,直线y=x-1交x轴、y轴于点A、B，　　　　　　　　　　　直线y=-0.5
x+2交x轴、y轴于点C、D，两直线交于　　　　点P。
续下页
一次函数中的面积问题
(1)写出各点坐标:A______、B______、C______、
D______、P______。
（1，0）
（0，-1）
（4，0）
（0，2）
（2，1）
(2)将△PAC中的线段___
作为底,它的长度为___,
△PAC的高为___,面积为____。
AC
3
1
(3)将△PBD中的线段___
作为底,它的长度为___,
△PBD的高为___,面积为____。
BD
3
2
3
返回
(4)
S四边形PAOD=_____-_____
=_____
S△COD
S△PAC
(5)
S△PBC=_____+_____
S△PBC=_____-_____=_____
S△PAC
S△BAC
S△PBD
S△CBD
3
如何求平面直角坐标系中的
图形的面积？
１．如果三角形有一边在坐标轴上（或平行于坐标轴），直接用面积公式求面积．
２．如果三角形任何一边都不在坐标轴上，也不平行于坐标轴，则需分割为几个有边在坐标轴上的三角形面积之和（或差）．
３．四边形面积常转化为若干个三角形面积之和（或差）．
例2　已知：直线y=2x和y=kx+b交于点A(1,m),直线y=kx+b交x轴于点B，且S△AOB=4。求m,k,b的值。
┐
A’
y=k’x
思考
(3)：当点A(x,y)在线段
BC上
运动时，写出△AOB的面积s与
x的函数关系式，并写出自变量
的取值范围。
当点A运动到什么位置时，△AOB的
面积为3？
是否存在某一位置，使△AOB的面积为6？
思考
(4)：若点A(x,y)在直线
BC上运动呢？
课堂小结
一、知识要点
1.求三角形面积的一般方法
(1)有一边在坐标轴上的三角形
(2)任何一边都不在坐标轴上,也不平行于坐标轴的三角形
2.四边形面积常转化为三角形面积之和或差
3.已知三角形面积求解析式,要注意多种情况
4.动点问题要充分考虑各种运动情况
二、思考策略
1.数形结合
2.转化
练习：
1、在直角坐标系中，
一次函数的图像与直线
平行，且图像与两坐标
轴围成的三角形面积等于4，求一次函数的
解析式。
2、已知正比例函数和一次函数的图像如图所示，其中交点A(3,4),且OA=
OB.求（1）正比例函数和一次函数解析式（2）三角形AOB的面积。
X
y
O
A
B
例：求直线
和
与y轴所
围成的图形的面积
例1
练习：
1、已知直线
与直线
的交点A在第四象限
（1）求正整数m的值；
（2）求交点A的坐标；
（3）求这两条直线与x轴所围成的三角形的面积
m=1
2、如图所示：直线y=kx+b经过点B
与点C(-1,3)且与x轴交与点A,经过点E(-2,0)的
直线与OC平行，并且与直线y=kx+b交与点D,
(1)求BC所在直线的函数解析式；（2）求点D的坐标；（3）求四边形CDEO的面积。
x
y
D
E
O
C
A
B
例2
总结
１、解题策略：画图像，看图像，求交点，分解图形
2、数学思想：数形结合思想。
练习与提高：
1：如图，由x轴，直线y=kx+4及分别过（1，0）
（3，0)且平行于y轴的两条直线所围成的梯形
ABCD的面积为
，求y=kx+4的解析式。
x
y
o
A
B
D
C
2、直线
：
y=kx+b过点B(-1,0)与y轴交于点C,
直线
：y=mx+n与
交于点P（2,5）且过点A
(6,0),过点C与
平行的直线交x轴于点D
(1)求直线CD的函数解析式;
(2)求四边形APCD的面积
B
C
P
A
X
Y
O
D
3、如图，已知长方形ABCD的边长AB=9,AD=3,现将此长方形置于坐标系中，使AB在x轴的正半轴上，经过点C的直线
与x轴交与点E，与y轴交与点F。
（1）求点E,B,D,A的坐标；（2）求四边形AECD
的面积。
y
o
F
A
D
C
B
E
x
变式：
如图：正方形ABCD边长为4，将此正方形置于坐标系
中点A的坐标为（1，0)。(1)过点C的直线
与x轴交与E,
求
（2）若直线l经过点E且将正方形
ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式。
Y
A
B
C
D
E
综合练习
1、已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数
y=a/x相交于A(2,4）B(-4,m)两点，（1）求两个
函数解析式。（2）求三角形AOB的面积。（3）
当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值
2、P(a,b)是第一象限内在直线y=x-3上一点，已知A(0,4),三角形AOP的面积为S,(1)用b表示a
，(2)写出S关于b的解析式；（3）若三角形AOP的面积为10，求点P的坐标
例1、求直线y=2x+3、y=-2x-1及y轴围成的
三角形的面积
若将y轴改为x轴呢？
x
y
O
y=2x+1
y=-2x-1
A
B
C
D
P
例题精讲
例2、已知直线y=ax+
分别与x轴和y轴交于
B、C两点，直线y=-
x+b与x轴交于点A，并且两
直线交点P为（2，2）
（1）求两直线解析式；
（2）求四边形AOCP的面积.
x
y
O
A
B
P(2,2)
C
例3、如图，一次函数y=ax+b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于
点B（0，-4），且AO=AB，△AOB的面积为6，
求两函数解析式。
x
y
O
A
B(0,-4)
C
2
3
(-3,-2)
例4、一次函数图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，与正比例函数
的图象交于点C，若OB=4，C点横坐标为6，（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）求原点O到直线AB的距离。
x
y
o
C
A
B
（0，-4）
（6，
）
4
（3，0）
H
变式、已知：点P是一次函数y=-2x+8的图象上一点，如果图象与x轴交于Q点，且△OPQ的面积等于6，求P点的坐标。
x
y
o
y=-2x+8
Q
P
变式、若一次函数的图象交x轴于点A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第二象限，它的横坐标为-
4，又知：S△AOB=15，求直线AB的解析式。
x
y
o
A(-6，0）
（-4，
)
B
y
小结：
1、在求一次函数解析式时，一般有两个待定系数，因此，只要给出两个独立条件,就可求出它的解析式.当题目中出现角、长度等几何条件时,通常是把它转化为点的坐标后代入解析式,求出未知系数,得出函数解析式.
2、函数图象能直观、形象地反映两个变量之间的关系，要
善于捕捉图象中的所有信息，并能够熟练地转化成实际问题。
自学指导一：认真阅读试卷21题
如图,直线y=kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.点E的坐标为(-
9,
0),点A的坐标为(-6,0),点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点。
(1)求k的值；
(2)当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数
关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)探究：当△OPA的面积为3.6时，求P的坐标。
A
F
O
E
y
x
p
解：
（1）将E（-9,0）代入y
=
kx+6
得-9k+6=0
3
2
得k=
A(-6,0)
过点P作PH
⊥OA
于H；
连结PA、PO
∵点P在第二象限内,且在直线EF上运动
F
O
E
y
∴-
9＜x＜0
x
H
OA=____,PH=______。
6
p
(x,y)
|y|
|
|
若点P（x,
y）
是第三象限内的直线上的一个动点；其他
当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x
F
O
E
P(x,
)
----
H
A(-6,0)
变式（1）：
自学检测1（3分钟）
条件不变。
的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
x
y
OA=____,PH=______。
6
(x<-9)
如图,直线y
=
kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.
点E的
坐标为(-
9,
0),
点A的坐标为(-
6,0).
点P（x,y）是
直线上y
=
kx+6（k≠0）的一个动点。
A
F
O
E
y
x
p
----
H
F
O
E
y
x
p
----
H
S=2x+18(-9S=-2x-18(x<-9)
如图,直线y
=
kx-6与x轴y轴分别相交于点E,F.
点E的
坐标为(12,
0),
点A的坐标为(8,0).
点P（x,y）是
直线上y
=
kx-6（k≠0）的一个动点。
点A的坐标为(-
6,0).
点P（x,y）是
第二象限内的直线上的一个动点。
如图,直线y
=
kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.
点E的
坐标为(-
9,
0),
(3)探究：当△OPA的面积为3.6时，求P的坐标
即2x+18=3.6
y
=
x+6
得，
3
2
y
=1.2
∴当△OPA的面积为3.6时，
P的坐标P（-7.2,1.2）
p
A
F
O
E
y
x
解：令S=3.6
将x=-7.2代入
解得x=-7.2
A
探究：当△OPA的面积为3.6时，求P的坐标
如图,直线y
=
kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F.
点E的
坐标为(-
9,
0),
F
O
E
y
x
p
点A的坐标为(-
6,0).
点P（x,
y）是
第三象限内直线上的一个动点。
----
H
即-2x-18=3.6解得x=-10.8
y
=
-
x-6
得，
y
=-1.2
3
2
∴当△OPA的面积为3.6时，
P的坐标P（-10.8,-1.2）
变式（2）：
将x=-10.8代入
解：令S=3.6
A
F
O
E
y
x
p
H
变式（1）:
当点P在直线上运动过程中，若△OPA是以OA为底的等腰
三角形时，试求出点P坐标
变式（2）:
在变式（1）的基础上平面内是否存在点D使以点A、O、P、
D为顶点的
四边形
是平行四边形，若存在直接写出点D的
坐标；若不存在请说明理由。
-------------------------
M
A
F
O
E
y
x
p
变式（3）:
当点P在直线上运动过程中，若直线AP平分△OEF的面积
时，试求出直线AP的解析式和点P坐标
A
F
O
E
y
x
p
变式（6）
当点P在直线运动过程中，若直线AP分△OEF的面积为1:2
两部分时，试求出直线AP的解析式和点P坐标
A
F
O
E
y
x
p
A
F
O
E
y
x
p
变式(7):
当点P在第一和第二象限内（y轴上除外）运动过程中，
试写出以O、F、P、A为顶点的四边形的面积S与x的
函数关系式并指出自变量x的取值范围。
-----------
H
A
F
O
E
y
x
p
----------------------
当点P在直线上运动，
试写出以O、F、P、A为顶点的四边形的面积S与x的
函数关系式并指出自变量x的取值范围。
如图,直线y
=
kx-6与x轴y轴分别相交于点E,F.
点E的
坐标为(-
9,
0),
变式(8):
当点P在直线上运动，
试写出以O、F、P、A为顶点的四边形的面积S与x的
函数关系式并指出自变量x的取值范围。
A
F
O
E
y
x
p
如图,直线y
=
kx-6与x轴y轴分别相交于点E,F.
点E的
坐标为(-
9,
0),
变式(8):
E
A
O
F
p