18.2.3正方形判定 课件-2020-2021学年人教版八年级数学下册（共16张ppt）

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18.2.3
正方形的判定
人教
版八年级数学下册
一、复习：什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
温故知新
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线垂直
二、平行四边形、矩形、菱形之间的关系
菱形
矩形
平行四边形
四边形
思考:
怎样判定一个四边形是正方形呢？
温故知新
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.
问题1：什么样的矩形是正方形？为什么？
正方形
探究新知
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
问题2：什么样的菱形是正方形，为什么？
正方形
探究新知
已知：如图,在菱形ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵
四边形ABCD是菱形,
∴
AB=BC=CD=AD,
AC⊥DB.
∵
AC=DB,
∴
AO=BO=CO=DO,
∴
△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴
四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
写出证明过程
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
探究新知
矩形法：
正方形
=
一邻边相等
+
矩形
2
定义法：
正方形
=
一邻边相等
+
一个直角
+
平行四边形
1
菱形法：
正方形
=
一个直角
+
菱形
3
对角线法：
正方形
=
互相垂直
+
互相平分
+
相等
4
你能总结出正方形有哪些判定方法吗？
探究新知
例1
在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
M
N
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN
∠A=∠B=∠C=∠D
AN=BE=CF=DM
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）
=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形
.
例题讲解
例2.如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB.CF⊥OF于点F.若∠AOC=900，求证：四边形CDOF是正方形
证明
：∵OA=OC,OD平分∠AOC
∴OD⊥AC，DC=DA
∴∠CDO=900
∵OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB.
∴∠COD=∠COA,∠COF=∠COB
∵∠COA+∠COB=1800
∴∠DOF=∠COD+∠COF=900
∵CF⊥OF,
∴∠CFO=900
∴∠CFO=∠DOF=∠CDO=900
∴四边形DOFC是矩形
∵∠AOC=900,DC=DA
∴OD=DC=DA
∴矩形DOFC是正方形
例题讲解
1.下列命题正确的是（
）
A.
四个角都相等的四边形是正方形
B.
四条边都相等的四边形是正方形
C.
对角线相等的平行四边形是正方形
D.
对角线互相垂直的矩形是正方形
D
D
2.
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（
　）
A.
当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
巩固练习
3.
如图，四边形ABCD中，ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
请添加一个条件____________________，
可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
4.
已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，
④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，
其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
A
B
C
D
O
巩固练习
5.
如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，
PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC
∵
PE⊥BC
，
PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴
∠FCE=90°
∴
四边形PECF是矩形
∴
PC=EF
又∵
四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴
AP=PC
∴
AP=EF
巩固练习
证明：∵
DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠DEC=
∠DFC=90°.
又∵
∠C=90
°
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB
∴
DE=DG
同理：DG=DF
∴ED=DF
∴四边形ADFC是正方形.
6.
如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
巩固练习
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线垂直
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
菱形
矩形
平行四边形
四边形
正方形
一组邻边相等
对角线垂直
一个角是直角
对角线相等
一组邻边相等且一内角是直角
对角线互相垂直且相等
课堂小结
布置作业
教科书62页，习题18.2
13题
教科书第60页第3、6题
布置作业
再见