第4章 因式分解检测题2（含答案）

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北师大版2020–2021学年度下学期八年级数学(下册)
第四章因式分解检测题2(有答案)
(时间：120分钟
满分：120分)
一、选择题
(每小题3分，共30分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是(　　)
A．(a?2b)2?(2b?a)
=(a?2b)(a?2b+1)
B．
x2?
y2=(x?y)2
C．x2
+1=x(x+)
D．m2?2m+4=(m?2)2
2．下列各组多项式中没有公因式的是(　　)
A．3x?2与?6x2?4x
B．3(a?b)2与11(b?a)3
C．mx?my与?ny?nx
D．ab?ac与?ab?bc
3．多项式5x2y?30y在实数范围内分解因式正确的是(　　)
A．
B．5y(x2?6)
C．
D．y(5x2?30)
4．
8a(x?y)2?4(y?x)3提取公因式后，余下的结果为(
)
A．2a?x?y
B．8a+4x?4y
C．8a?4x+4y
D．2a+x?y
5．计算：20212?4040×2021+20202=(
)
A．4041
B．0
C．1
D．4
6．若a为实数，则代数式a
2
(a
2
?1)?a
2
+1的值为(　　)
A．恒为正数
B．不是负数
C．恒为负数
D．不等于0
7．直角三角形的斜边c与一条直角边a是连续自然数，那么另一条直角边的平方是(
)
A．c+a
B．c?a
C．ca
D．
8．甲乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了m，分解结果为(x?2)(x?8)；乙看错了n，分解结果为(x?3)(x?5)，请你给出正确的分解结果(
)
A．(x?2)(x?7)
B．(x?4)2
C．(x?2)2
D．(x+4)2
9．若关于x的多项式ax3+bx2?2的一个因式是x2+3x?1，则a+b的值为(
)
A．14
B．26
C.
?22
D．10
10．已知二次三项式x2+mx+n可分解为两个一次因式的积(x+a)(x+b)，下面说法中错误的是
A.
若m>0，n>0，则a、b同取正号
B.
若m<0，n>0，则a、b同取负号
C.
若m>0，n<0，则a、b异号，且正的一个数大于负的一个数
D.
若m<0，n<0，则a、b异号，且负的一个数的绝对值较大
二、填空题
(每题3分，共30分)
11．分解因式a(a?b?c)+b(c?a+b)+c(b
+
c?a)的结果为
.
12．若(m+n?8)0无意义，且m2?n2=32，则m=
，n=
．
13．若(x2+y2)2?5(x2+y2)+6=0，则x2+y2=
．
14．若m2=2n+3，n2=2m+3(m≠n)，则m3?2mn+n3的值为
.
15．已知P=x2?xy+1，Q=xy?4y2，则P、Q的大小为
.
16．化简：=
.
17．已知a，b，c，d是非负整数，ac+bd+ad+bc=2021，则a+b
+c+d=
.
18．若实数x、y满足2x2+y2?6x=0，则x2+y2+2x的最大值为______．
19．将多项式x2+加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整
式：
，
，
．
20．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”．如：3=22?12，
7=42?32，
8=32?12，因此3，7，8都是“智慧数”．已知按从小到大顺序构成如下列：
3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…则数字2019
是第
个“智慧数”，第2019个“智慧数”是
.
三、解答题(共6题
共60分)
21．(本题12分)分解因式：
(1)
8a(x?y)+6b(y?x)
?14(x?y)；
(2)m2+2n?mn?2m；
(3)a2?c2?4a+4；
(4)
a4?6a2?27
22．(本题10分)
证明题：
(1)已知实数x，y，z，满足x=10?y，z2=xy?25，求证：x=y.
(2)若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，试探索△ABC的形状，并说明理由．
23．(本题9分)化简求值：
(1)已知x=7.67，y=?2.33，求(x?y)(x2+11xy+y2+13xy(y?x).
(2)设x=，求2x2?16x+30的值.
24．(本题9分)
设n为正整数，且64n?7n能被57整除，证明:82n+1+7n+2是57的倍数.
25．(本题11分)
阅读理解：用“十字相乘法”分解因式3x2?2x?5的方法．
(1)二次项系数3=1×3；(2)常数项?5=?1×5=1×(?5)，验算：“交叉相乘之和”；
1×(?1)+3×5=14????
1×5+3×(?1)=2????
1×1+3×(?5)=?14????
1×(?5)+3×1=?2
(3)发现第④个“交叉相乘之和”的结果1×(?5)+3×1=?2，等于一次项系数?2．
即：(x+1)(3x?5)=3x2?5x+3x?5=3x2?2x?5，则3x2?2x?5=(x+1)(3x?5)．这种分解因式的方法叫做十字相乘法．利用这种方法解决下列问题：
(1)x2?5x?24；(2)4x2?10x?14.
26．(本题11分)
一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数.如9=32，9就是一个完全平方数；16=42，16就是一个完全平方数；若M=20202+20202×20212+20212，试说明a是一个完全平方数的理由.
参考答案
一、选择题(共10小题
每3分
共30分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
D
C
B
A
B
B
C
二、填空题(共10小题
每题3分
共30分)
11、(b+c?a)2
12、6，2
13、2或3
14、–6
15、P>Q
16、
17、2022
18、15
19、x，–x，x2
20、1515，
295
三、解答题(共6题
共60分)
21．(本题12分)分解因式：
(1)
8a(x?y)+6b(y?x)
?14(x?y)；
(2)m2+2n?mn?2m；
(3)a2?c2?4a+4；
(4)
a4?6a2?27
解：(1)原式=8a(x?y)?6b(x?y)
?14(x?y)
=2(x?y)(4a?3b?7)；
(2)原式=
m2?mn?2m+2n
=(
m2?mn)
?
(
2m?2n)
=m(m?n)
?2(m?n)
=(
m?n)(
m?2)；
(3)原式=
a2?4a+4?c2
=(a2?4a+4)
?
c2
=(a?2)2?
c2
=(a+c?2)(a?c?2)；
(4)原式=a4?6a2?27
=a4?6a2+9?27?9
=
(a4?6a2+9)?36
=(a2?3)2
?36
=(a2?3+6)(
a2?3?6)
=(a2+3)(
a2?9)
=(a2+3)(
a+3)
(
a?3).
22．(本题10分)
证明题：
(1)已知实数x，y，z，满足x=10?y，z2=xy?25，求证：x=y.
解：∵x=10?y，∴z2=(10?y)y?25=10y?y2?25，
∴z2+
y2?10y
+25=0，
∴z2+
(y?5)
2=0，
∴z=0，y?5=0，
∴z=0，y=5，
∴x=10?y=5，
∴x=y.
(2)若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，试探索△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a2+b2+c2=ab+ac+bc
∴a2+b2+c2?ab?ac?bc=0
∴2a2+2b2+2c2?2ab?2ac?2bc=0
∴(a2?2ab+b2)+(b2?2bc+c2)+(c2?2ac+a2)=0
∴(a?b)2+(b?c)2+(c?a)2=0
∴a?b=0，
b?c=0，
c?a=0，
∴a=b，b=c，c=a，
∴a=b=c.
∴△ABC为等边三角形．
23．(本题9分)化简求值：
(1)已知x=7.67，y=?2.33，求(x?y)(x2+11xy+y2+13xy(y?x).
解：(x?y)(x2+11xy+y2+13xy(y?x)
=(x?y)(x2+11xy+y2?13xy(x?y)
=(x?y)(
x2+11xy+y2?13xy)
=(x?y)(
x2?2xy+y2)
=(x?y)(
x?y)2=(
x?y)3
∵x=7.67，y=?2.33，
∴原式=(x?y)3=(7.67+2.33)3=1000；
(2)设x=，求2x2?16x+30的值.
解：∵x==
=
==，
∴x?4=，
∴
x2?8x+16=3，
∴x2?8x+13=0，
∴2x2?16x+30=2(x2?8x+15)=2(x2?8x+13+2)=4.
24．(本题9分)
设n为正整数，且64n?7n能被57整除，证明:82n+1+7n+2是57的倍数.
证明：82n+1+7n+2
=8×82n+72×7n
=8×64n+49×7n
=8×64n?8×7n+57×7n
=8(64n?7n)+57×7n
∵64n?7n能被57整除，且n为正整数，
∴8(64n?7n)能被57整除，57×7n也能被57整除。
∴82n+1+7n+2是57的倍数.
25．(本题11分)
阅读理解：用“十字相乘法”分解因式3x2?2x?5的方法．
(1)二次项系数3=1×3；
(2)常数项?5=?1×5=1×(?5)，验算：“交叉相乘之和”；
1×(?1)+3×5=14????
1×5+3×(?1)=2????
1×1+3×(?5)=?14????
1×(?5)+3×1=?2
(3)发现第④个“交叉相乘之和”的结果1×(?5)+3×1=?2，等于一次项系数?2．
即：(x+1)(3x?5)=3x2?5x+3x?5=3x2?2x?5，则3x2?2x?5=(x+1)(3x?5)．这种分解因式的方法叫做十字相乘法．利用这种方法解决下列问题：
(1)x2?5x?24；(2)4x2?10x?14.
解：(1)x2?5x?24=(x+3)(x?8)；
(2)4x2?4x?15=(2x+3)(2x?5).
26．(本题11分)
一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数.如9=32，9就是一个完全平方数；16=42，16就是一个完全平方数；若M=20202+20202×20212+20212，试说明a是一个完全平方数的理由.
解：设a=2020，则20202+20202×20212+20212
=a2+a2
(a+1)2+(a+1)2
=a2?2a(a+1)+(a+1)2
+2a(a+1)+
[a
(a+1)
]2
=
[a?(a+1)]2+2a(a+1)+
[a
(a+1)
]2
=1+2a(a+1)+[a(a+1)]2
=[1+a(a+1)]2=(a2+a+1)2.
∴a2+a2(a+1)2+(a+1)2是完全平方式.
∴20202+20202×20212+20212=(1+2020×2021)2
∴M是完全平方数.
①
②
③
④
①
②
③
④
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