基础知识检测7（第9章平面向量、第10章三角恒等变换、第11章解三角形1）（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 基础知识检测7（第9章平面向量、第10章三角恒等变换、第11章解三角形1）（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 477.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-20 11:15:50 | ||
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文档简介
高一下学期数学基础知识检测（7）
考查知识点：苏教版必修第二册第九章
《平面向量》、第十章《三角恒等变换》、第十一章《解三角形》
一、单选题
1．下列说法中正确的是（
）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若和都是单位向量，则
D．零向量与其它向量都共线
2．已知向量，，且，则（
）
A．2
B．
C．
D．5
3．已知向量=(1，2)，=(m，m+3)，若，则m=（
）
A．-7
B．-3
C．3
D．7
4．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，且α为锐角，则cosα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知α∈（，π），并且sinα+2cosα，则tan（α）＝（
）
A．
B．
C．
D．﹣7
8．的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为（
）
A．
B．
C．或
D．或
二、多选题
9．已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（
）
A．
B．若且则
C．，则
D．若，则与共线且反向
10．已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．?1
B．与的夹角为钝角
C．向量在方向上的投影为
D．2m+n＝4
11．已知，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．的面积为6
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．给出以下5个条件：①；②；③与的方向相反；④或；⑤与都是单位向量.其中能使成立的是________(填序号).
14．已知向量，，若向量与向量共线，则___________.
15．已知角的终边经过点，则___________.
四、双空题
16．已知函数，则的最小正周期是__________；若，则的最小值是__________．
五、解答题
17．已知，α∈（0，π），求下列式子的值：
（1）sinαcosα；
（2）；
（3）sin3α+cos3α．
18．在中，角，，所对的边分别是，，，且，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的值.
高一下学期数学基础知识检测（7）
考查知识点：苏教版必修第二册第九章
《平面向量》、第十章《三角恒等变换》、第十一章《解三角形》
参考答案
1．D
【分析】
利用相等向量的定义可判断AC选项的正误；利用相等向量和相反向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量与任意向量共线这一性质可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；
对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；
对于C选项，和都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故和不一定相等，C选项错误；
对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.
故选：D.
2．D
【分析】
根据平面向量垂直的性质，结合平面数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】
解析：由，因为，
所以，所以.
故选：D
3．C
【分析】
根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于，所以，解得.
故选：C
4．B
【分析】
利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】
由题得
即，解得，即，
故选：B
【点睛】
方法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解.
5．C
【分析】
先由α为锐角，得到α﹣的范围，求得cos（），再由α＝（）+，运用两角和的余弦公式求解.
【详解】
因为，且α为锐角，
则﹣＜＜，
即cos（）＝＝，
则cosα＝cos[（）+]
＝cos（）cos﹣sin（）sin
＝（﹣）＝.
故选：C.
6．B
【分析】
本题首先可通过二倍角公式以及诱导公式得出，然后根据得出，最后通过半角公式即可得出结果.
【详解】
，即，
因为，
所以，，，
则，
故选：B.
7．A
【分析】
将已知等式平方，利用同角三角函数的基本关系可得cosα﹣2sinα，再结合已知等式作商可求得tanα，由两角和与差的正切公式计算即可得解．
【详解】
由sinα+2cosα，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α，
所以（1﹣cos2α）+4sinαcosα+4（1﹣sin2α），
整理得cos2α﹣4sinαcosα+4sin2α，
所以（cosα﹣2sinα）2，
因为α∈（，π），所以，
所以cosα﹣2sinα，又sinα+2cosα，
所以，，
所以tanα，
所以tan（α）．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：由sinα+2cosα推出cosα﹣2sinα是本题的解题关键.
8．B
【分析】
用面积公式即可.
【详解】
由已知，，，
则.
故选:
B.
9．AD
【分析】
对于A，由向量的夹角公式判断即可；对于B，举反例即可；对于C，若，则不一定共线；对于D，对两边平方化简即可
【详解】
解：对于A，若中有零向量，则显然成立，若均不为零向量，则因为，所以，所以A正确；
对于B，若所在的直线在所在直线夹角的平分线上，且，则有，而不成立，所以B错误；
对于C，若，则，而不一定共线，所以C错误；
对于D，因为，所以，所以，所以与共线且反向，所以D正确，
故选：AD
10．AD
【分析】
根据向量数量积的坐标运算计算，从而可判断A，B，代入投影公式判断C，根据向量共线列方程化简判断D.
【详解】
2×1+1×（﹣1）＝1，故A正确；
∵1＞0，∴，的夹角不是钝角，故B错误；
向量在方向上的投影为||?，故C错误；
（1，2），∵，
∴﹣n﹣2（m﹣2）＝0，∴2m+n＝4，故D正确.
故选：AD.
11．ACD
【分析】
利用角的范围判断，进而得，所以，对平方，计算得，再代入计算，结合角的象限，判断出正负，开方得，将加减法联立方程即可解得，从而得.
【详解】
因为，所以，又，所以，所以可得，故A正确；又，可得，则可得，所以，故D正确；由加减法联立解得，，所以，故C正确；
故选：ACD.
【点睛】
利用三角函数基本关系求值时，一般关于正余弦的加减法运算需要注意平方的应用，其次开方时一定要注意判断三角函数值的正负.
12．ABD
【分析】
利用余弦定理，结合题意，可求得的值，根据，利用正弦定理边化角，可求得的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b的值及的面积，即可得答案.
【详解】
因为，
所以，
所以，故A正确；
因为，利用正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
即
因为，所以，
所以，又，
所以，故B正确；
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题.
13．①③④
【分析】
利用向量的有关概念和定义判断.
【详解】
相等向量一定是共线向量，①能使；，不能确定方向，所以②不能确定，方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使；零向量与任一向量平行，④成立，单位向量的模相等，但方向不确定，所以⑤不能推出.
故答案为：①③④
14．
【分析】
求得，根据共线向量的条件，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，
可得，
因为向量与向量共线，可得，
整理得，解得.
故答案为：
15．
【分析】
利用三角函数的定义求出的值，利用二倍角的余弦公式可得出，在所得分式的分子和分母中同时除以，然后代入的值计算即可得解.
【详解】
因为角的终边经过点，所以，
则，
故答案为：.
16．
【分析】
利用三角变换公式可得，利用公式可求最小正周期，再利用正弦函数的性质可得的最小值.
【详解】
,
故最小正周期为.
当时，，故，
故，当且仅当时，取最小值为，
故答案为：，.
17．（1）；（2）3；（3）．
【分析】
（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcosα的值；
（2）根据题意得到，结合已知求出、、，利用二倍角的正切公式求出，利用的范围可得结果.
（3）利用立方和公式即可求解．
【详解】
（1）∵，α∈（0，π），
∴两边平方，可得1+2sinαcosα，
∴解得sinαcosα；
（2）∵0，①
又α∈（0，π），∈（0，），
∴sinα＞0，cosα＜0，tan0，
∴sinα﹣cosα，②
∴由①②可得sinα，，所以，
又，所以，整理得，
解得或(舍)，
所以.
（3）sin3α+cos3α＝（sinα+cosα）（sin2α+cos2α﹣sinαcosα）＝（）×（1）．
【点睛】
关键点点睛：利用同角三角函数基本关系式，平方差公式，二倍角的正弦函数公式，立方和公式求解是解题关键.
18．（1）；（2）4.
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角得到，再计算即可.
（2）结合三角形面积公式和余弦定理，求出的两个关系式，整体代换求即可.
【详解】
（1）由，
结合正弦定理得，
因为，代入整理即得，
故，.
解得.
（2）由，得.
由，由题设得：，
由余弦定理知，即，
即，所以.
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
考查知识点：苏教版必修第二册第九章
《平面向量》、第十章《三角恒等变换》、第十一章《解三角形》
一、单选题
1．下列说法中正确的是（
）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若和都是单位向量，则
D．零向量与其它向量都共线
2．已知向量，，且，则（
）
A．2
B．
C．
D．5
3．已知向量=(1，2)，=(m，m+3)，若，则m=（
）
A．-7
B．-3
C．3
D．7
4．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，且α为锐角，则cosα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知α∈（，π），并且sinα+2cosα，则tan（α）＝（
）
A．
B．
C．
D．﹣7
8．的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为（
）
A．
B．
C．或
D．或
二、多选题
9．已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（
）
A．
B．若且则
C．，则
D．若，则与共线且反向
10．已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．?1
B．与的夹角为钝角
C．向量在方向上的投影为
D．2m+n＝4
11．已知，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．的面积为6
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．给出以下5个条件：①；②；③与的方向相反；④或；⑤与都是单位向量.其中能使成立的是________(填序号).
14．已知向量，，若向量与向量共线，则___________.
15．已知角的终边经过点，则___________.
四、双空题
16．已知函数，则的最小正周期是__________；若，则的最小值是__________．
五、解答题
17．已知，α∈（0，π），求下列式子的值：
（1）sinαcosα；
（2）；
（3）sin3α+cos3α．
18．在中，角，，所对的边分别是，，，且，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的值.
高一下学期数学基础知识检测（7）
考查知识点：苏教版必修第二册第九章
《平面向量》、第十章《三角恒等变换》、第十一章《解三角形》
参考答案
1．D
【分析】
利用相等向量的定义可判断AC选项的正误；利用相等向量和相反向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量与任意向量共线这一性质可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；
对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；
对于C选项，和都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故和不一定相等，C选项错误；
对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.
故选：D.
2．D
【分析】
根据平面向量垂直的性质，结合平面数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】
解析：由，因为，
所以，所以.
故选：D
3．C
【分析】
根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于，所以，解得.
故选：C
4．B
【分析】
利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】
由题得
即，解得，即，
故选：B
【点睛】
方法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解.
5．C
【分析】
先由α为锐角，得到α﹣的范围，求得cos（），再由α＝（）+，运用两角和的余弦公式求解.
【详解】
因为，且α为锐角，
则﹣＜＜，
即cos（）＝＝，
则cosα＝cos[（）+]
＝cos（）cos﹣sin（）sin
＝（﹣）＝.
故选：C.
6．B
【分析】
本题首先可通过二倍角公式以及诱导公式得出，然后根据得出，最后通过半角公式即可得出结果.
【详解】
，即，
因为，
所以，，，
则，
故选：B.
7．A
【分析】
将已知等式平方，利用同角三角函数的基本关系可得cosα﹣2sinα，再结合已知等式作商可求得tanα，由两角和与差的正切公式计算即可得解．
【详解】
由sinα+2cosα，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α，
所以（1﹣cos2α）+4sinαcosα+4（1﹣sin2α），
整理得cos2α﹣4sinαcosα+4sin2α，
所以（cosα﹣2sinα）2，
因为α∈（，π），所以，
所以cosα﹣2sinα，又sinα+2cosα，
所以，，
所以tanα，
所以tan（α）．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：由sinα+2cosα推出cosα﹣2sinα是本题的解题关键.
8．B
【分析】
用面积公式即可.
【详解】
由已知，，，
则.
故选:
B.
9．AD
【分析】
对于A，由向量的夹角公式判断即可；对于B，举反例即可；对于C，若，则不一定共线；对于D，对两边平方化简即可
【详解】
解：对于A，若中有零向量，则显然成立，若均不为零向量，则因为，所以，所以A正确；
对于B，若所在的直线在所在直线夹角的平分线上，且，则有，而不成立，所以B错误；
对于C，若，则，而不一定共线，所以C错误；
对于D，因为，所以，所以，所以与共线且反向，所以D正确，
故选：AD
10．AD
【分析】
根据向量数量积的坐标运算计算，从而可判断A，B，代入投影公式判断C，根据向量共线列方程化简判断D.
【详解】
2×1+1×（﹣1）＝1，故A正确；
∵1＞0，∴，的夹角不是钝角，故B错误；
向量在方向上的投影为||?，故C错误；
（1，2），∵，
∴﹣n﹣2（m﹣2）＝0，∴2m+n＝4，故D正确.
故选：AD.
11．ACD
【分析】
利用角的范围判断，进而得，所以，对平方，计算得，再代入计算，结合角的象限，判断出正负，开方得，将加减法联立方程即可解得，从而得.
【详解】
因为，所以，又，所以，所以可得，故A正确；又，可得，则可得，所以，故D正确；由加减法联立解得，，所以，故C正确；
故选：ACD.
【点睛】
利用三角函数基本关系求值时，一般关于正余弦的加减法运算需要注意平方的应用，其次开方时一定要注意判断三角函数值的正负.
12．ABD
【分析】
利用余弦定理，结合题意，可求得的值，根据，利用正弦定理边化角，可求得的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b的值及的面积，即可得答案.
【详解】
因为，
所以，
所以，故A正确；
因为，利用正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
即
因为，所以，
所以，又，
所以，故B正确；
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题.
13．①③④
【分析】
利用向量的有关概念和定义判断.
【详解】
相等向量一定是共线向量，①能使；，不能确定方向，所以②不能确定，方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使；零向量与任一向量平行，④成立，单位向量的模相等，但方向不确定，所以⑤不能推出.
故答案为：①③④
14．
【分析】
求得，根据共线向量的条件，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，
可得，
因为向量与向量共线，可得，
整理得，解得.
故答案为：
15．
【分析】
利用三角函数的定义求出的值，利用二倍角的余弦公式可得出，在所得分式的分子和分母中同时除以，然后代入的值计算即可得解.
【详解】
因为角的终边经过点，所以，
则，
故答案为：.
16．
【分析】
利用三角变换公式可得，利用公式可求最小正周期，再利用正弦函数的性质可得的最小值.
【详解】
,
故最小正周期为.
当时，，故，
故，当且仅当时，取最小值为，
故答案为：，.
17．（1）；（2）3；（3）．
【分析】
（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcosα的值；
（2）根据题意得到，结合已知求出、、，利用二倍角的正切公式求出，利用的范围可得结果.
（3）利用立方和公式即可求解．
【详解】
（1）∵，α∈（0，π），
∴两边平方，可得1+2sinαcosα，
∴解得sinαcosα；
（2）∵0，①
又α∈（0，π），∈（0，），
∴sinα＞0，cosα＜0，tan0，
∴sinα﹣cosα，②
∴由①②可得sinα，，所以，
又，所以，整理得，
解得或(舍)，
所以.
（3）sin3α+cos3α＝（sinα+cosα）（sin2α+cos2α﹣sinαcosα）＝（）×（1）．
【点睛】
关键点点睛：利用同角三角函数基本关系式，平方差公式，二倍角的正弦函数公式，立方和公式求解是解题关键.
18．（1）；（2）4.
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角得到，再计算即可.
（2）结合三角形面积公式和余弦定理，求出的两个关系式，整体代换求即可.
【详解】
（1）由，
结合正弦定理得，
因为，代入整理即得，
故，.
解得.
（2）由，得.
由，由题设得：，
由余弦定理知，即，
即，所以.
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.