2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册第六章6.3.1 二项式定理 课件（共20张PPT）（山东省单县第一中学）

6.3.1 二项式定理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么　完成这件事共有 种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.
两个计数原理
温故知新
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”
区别1
完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”
区别2
区别3
每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
1.2：排列与组合
排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示.
排列数公式：
其中：
1.2：排列与组合
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示.
组合数公式：
其中：
组合数性质：
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
提出问题
我们知道，(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
上述两个等式的右侧有何特点？
答案　(a＋b)2的展开式有3项，每项的次数是2；
(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；
思考1　你能用组合的观点说明(a＋b)2是如何展开的吗？
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)= a2 +2ab+b2
每个都不取b的情况有1种，即 ,则a2前的系数为
恰有1个取b的情况有 种，则ab前的系数为
恰有2个取b的情况有 种，则b2前的系数为
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
＝ a2 + ab+ b2
由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项.
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= a3 + a2b+ ab2 + b3
思考2　你能用组合的观点说明(a＋b)3是如何展开的吗？
思考3 各项前的系数代表着什么？
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)= a2 +2ab+b2
各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数
思考4 根据你发现的规律，你能写出(a+b)4的展开式吗？
(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b).
=
思考5　进一步地，你能写出(a+b)n的展开式吗？
(n∈N*)
证明思路：
探究发现
①为什么每一项都是an-kbk的形式？
(a+b)n是n个(a+b)相乘，展开式中的每一项都是从
这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，故每一项都是an-kbk的形式，k=0, 1, …, n;
②展开式中各项的系数如何确定？
an-kbk是从n个(a+b)中取k个b, n-k个a 相乘得到的,
有 种情况可以得到an-kbk ,
因此, 该项的系数为
(binomial theorem)
注:
(4)二项展开式的通项：
(3)第r+1项二项式系数：
(1)公式右边叫作(a+b)n的二项展开式,
概念理解
二项式定理:
(n∈N*)
共n+1 项;
(2)各项的次数都等于n;字母 a 的次数由n降到0，字母 b 的次数由0升到n.
系数规律：
即有，
例1、
求　　　的展开式．
　　解：根据二项式定理，
解:
求 的展开式中 的系数
的展开式的通项是
根据题意，得
因此， 的系数是
C
1、二项式定理
展开式
共有 个项.
n+1
2、二项展开式的通项
3、二项式的系数和项的系数
课堂小结
4、思想方法：
(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
课下作业
1.课堂中处理完的习题
2.习题6.3中的 T1、T3、T5