2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册第六章6.3.2二项式系数的性质 课件（共18张PPT）（山东省单县第一中学）

6.3.2二项式系数的性质
1、二项式定理
展开式
共有 个项.
n+1
2、二项展开式的通项
3、二项式的系数
复习回顾
问题1、计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
1
6
15
20
15
6
1
1
5
10
10
5
1
1
4
6
4
1
1
3
3
1
1
2
1
1
1
通过计算、填表，你发现了什么规律？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}(a+b)1
…………………………
1 1
(a+b)2
…………………………
1 2 1
(a+b)3
…………………
1 3 3 1
(a+b)4
…………………
1
4
6
4
1
(a+b)5
…………
1 5 10 10 5 1
(a+b)6
…………
1
6
15
20
15
6
1
我们可以从中发现，每一行的系数具有对称性.除此之外,还有什么规律呢？
1.在同一行中,每行的两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
2.在相邻的两行中，除1以外，每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
对于 展开式的二项式系数
从函数角度看， 可看成是以k为自变量的函数 ,其定义域是：
对于确定的n，我们还可以画出它
的图象，例如，当n=6时，其图象
是右图中的7个孤立点．
分析右图，你发现了什么规律？
1 4 6 4 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
可直接由公式 得到．
n为偶数时，正中间的一项最大
n为奇数时，正中间的两项最大
1 1
1 4 6 4 1
1 2 1
1 3 3 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
性质1：对称性
性质2：增减性与最大值
二项式系数是逐渐增大的，
由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，即先增后减，
所以在中间项取得最大值。
所以，当 时，
性质2：增减性与最大值
∵二项展开式共有n+1项，
∴当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，
且同时取得最大值
1、在(a＋b)20展开式中，第五项与第_____项的的二项式
系数相同；
练习：
17
2、已知(1+x)n的展开式中的第4项和第8项的系数相等，求这两项的二项式系数（课本35页T8）
练习：
4、在(a-b)11展开式中，二项式系数最大的是第_____项.
系数最小的是第_____项.
6和7
6
二项式系数与系数的区别
3、
（课本复习参考题6 T1（7））
（赋值法）令a=1，b=1，则
同时由于 ，上式还可以写成：
性质3：各二项式系数的和
例1、求证在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数
的和等于偶数项的二项式系数的和．
分析：由(a+b)n的展开式可知，
奇数项的二项式系数之和是
偶数项的二项式系数之和是
由于只是要得到这些系数之和，故可采用赋值法
例题分析
例1、求证在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数
的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明：
∴不妨令a=1，b=-1，则可得
∴在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和
等于偶数项的二项式系数的和
例题分析
例2已知(1+2x)n的展开式中的第6项和第7项的系数相等
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项。
（1）∵ (1+2x)n的展开式有9项
∴二项式系数最大的项是
例题分析
不妨设第m+1项的系数最大，则
解得5≤m≤6
∵m∈{0，1，2，…，8} ∴m=5或m=6
例题分析
(1)二项式系数的三个性质
a 单调性；
b 图象；
c 最值
小 结
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
先增后减，在中间项取得最大值。
(2) 数学思想：函数思想
课后作业
1、课本34页练习T1、T3、T4
2、习题6.3剩余的题目