第一章 直线 综合练习(2)
直线的方程
【例题精选】：
例1：唯一性选择题：
（1）若图中的直线的斜率分别为，则
A．
B．
C．
D．
解：由斜率与倾斜角的关系，依正切函数的图象易知，故选D。
（2）下列四个命题中的真命题是
A．经过定点的直线都可以用方程表示。
B．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程
表示。
C．不经过原点的直线都可以用方程表示。
D．经过定点的直线都可以用方程表示。
解：依直线方程点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性知，此题应选B。
（3）如果直线，在第一、二、三象限，则
A． B．
C． D．
解：此题由直线图形知中，，，通过直线方程的一般式向斜截式或截距式的转化即可得出结论。
由有即
选C
若据截距式，令，得；令得
故 选C。
（4）如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是
A． B．－3 C． D．3
解：设直线l的方程为，则沿轴负方向平移3个单位，得；再沿y轴正方向平移1个单位后得。故。依题意，得，故选A。
例2：已知直线，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写
成。
解：（1）采用“代点法”，将O（0，0）代入中得，A、B不同为零。
（2）直线与坐标轴都相交，说明横纵截距均存在。设，得；设，得均成立，因此系数A、B应均不为零。
（3）直线只与x轴相交，就是指与y轴不相交——平行、重合均可。因此直线方程将化成的形式，故且为所求。
（4）x轴的方程为，直线方程中即可。注意B可以不为1，即也可以等价转化为。
（5）运用“代点法”。
在直线上，
满足方程，
即，
故可化为，
即，得证。
例3：设A、B两点的坐标分别是和直线AB的倾斜角是。求证：
证明：许多书上都给出了此题的证明，方法各异，但我认为最佳方案应是如下的方法。
运用分类讨论的方法：
（1）若，则。由根据图形易知，故 左 = 右 = 0，公式获证。
（2）若∪，则，
根据，有
因此
例4：把函数在及之间的一段图象近似地看作直线，设，证明的近似值是：
证明：设线段AB上点，函数的图象上相应点为
由，知
解得，
依题意，
的近似值是。
例5：一条直线经过点A（2,－3），它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求这条直线的方程。
解：设所求直线方程为
由已知
∴所求直线方程为
即：
例6：求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程。
解：依题意，知所求直线的截距存在。故可设其方程为：或。
（分截距不为零和截距为零两种情况）
点P（2，3）在直线上，根据代点法，有：
或
解得或
因此，所求直线方程为或。
例7：过点作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5。
分析：直线l应满足的两个条件是
（1）直线l过点（－5, －4）；
（2）直线l与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5。
如果设a，b分别表示l在x轴，y轴上的截距，则有。
这样就有如下两种不同的解题思路：
第一，利用条件（1）设出直线l的方程（点斜式），利用条件（2）确定；
第二，利用条件（2）设出直线l的方程（截距式），结合条件（1）确定a，b的值。
解法一：设直线l的方程为
分别令，得l在x轴，y轴上的截距为：
，
由条件（2）得
得无实数解；
或
解得
故所求的直线方程为：
或
解法二：设l的方程为，因为l经过点，则有：
①
又 ②
联立①、②，得方程组
解得或
因此，所求直线方程为：
或
例8：求直线关于点对称的直线的方程。
解：设所求直线l上任意一点为，由已知得点M关于点（－1，－3）对称的点一定在直线上。
根据 有
代入上，得
故所求直线方程为
例9：已知，并且。
求证：
证明：设
则，
由平面直角坐标系的图形知，直线OA的倾斜角小于直线AB的倾斜角
故，即
例10：求经过点且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程。
解法一：设所求直线方程为
面积
当且仅当，即时
此时
故为所求。
解法二：设所求直线方程为，显然，由题意，
当且仅当时取等号
故为所求直线方程。
【综合练习】：
1、如果且，那么直线不通过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、若是直线的倾斜角，则的值的范围为
A． B．
C． D．
3、直线在轴上的截距是
A． B．－ C． D．
4、直线绕原点按逆时针方向旋转后，所得的直线方程是
A． B．
C． D．
5、若都在直线上，则用表示为
A． B．
C． D．
6、已知，则直线AB的倾斜角为 。
7、直线l过原点，且平分□ABCD的面积，若B(1, 4)、D(5, 0)，则直线l的方程是
。
8、一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是
。
9、若k为任意非零实数，则直线必过定点 。
10、若方程表示一条直线，则m的取值范围为 。
11、已知中，A(1, 3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为和，求各边所在直线方程。
12、的三个顶点是，，。如果直线l：将三角形OAB的面积分成相等的两部分，且。求和b应满足的关系。
【答 案】：
1、将化为截距式：
因此直线不通过第三象限，此题选C。
2、
依正弦曲线，知
选B。
3、令，得，选B。
4、设直线的倾斜角为，
设所求直线方程为：
有
即，故选A。
5、由及在直线上，据代点法，有
选B。
6、
7、依题意知，所有直线l过□ABCD的中心，因BD中点为□ABCD中心，故所求l方程为过（0，0）及（3，2）的直线为。
8、设所求直线方程为，
依题意，有
解得
故或
若，则
所求直线为，即。
若，则
所求直线为，即。
9、由有
令及有
过定点（1，1）
10、方程表示一条直线，则此方程一定可化为关于的二元一次方程。
令，则应为有相等实根的一元二次方程，故或为有一负实根一非负实根的一元二次方程。
即 解得
因此，或为所求。
11、分析：B点应满足的两个条件是：
①B在直线上
②BA的中点D在直线上
由①可设，进而由②确定值。
解：设
则AB的中点
∵D在中线CD：上
∴，解得
故B(5, 1)
同样，因点C在直线上，可以设C为，
求出
根据两点式，得中
AB：
BC：
AC：
12、解：设和AB交于P，和x轴交于Q点，则
由，有
依题意：第一章 直线 专项训练（3）
两条直线的位置关系（一）
【例题精选】：
例1：（1）求过点A（1，－4），且与直线平行的直线方程
解：∵的斜率为
∴所求直线方程为：
即
（2）求过点A（1，－4），且与直线垂直的直线方程
解：∵的斜率为
∴所求直线方程为：
即
例2：已知： ，
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明1：
∵
∴
∴四边形ABCD是平行四边形。
证明2：线段BD的中点为即（1，1）
线段AC的中点为即（1，1）
∴BD与AC互相平分
∴四边形ABCD是平行四边形。
例3：证明以A（4，0），B（5，2），C（－4，4）为顶点的三角形是直角三角形。
证明1：
∵
∴
∴
∴是直角三角形。
证明2：
∵
∴
∴是直角三角形。
例4：已知A（5，3），B（7，－1），C（－1，5）是三角形的三个顶点，求下列各直线方程。
（1）BC边上的高线AD
（2）BC边上的中垂线
解：（1）
∵
∴
∴高线AD的方程为：
即：
（2）线段BC的中点为
∴边上的中垂线方程为：
即
例5：已知：直线
求：（1）
（2）
解：（1）
∴
（2）
∴
例6：已知：A（0，2），B（2，0），C（6，1）
求：
解：
∴
∴
∴
例7：求经过点（4，－3），且到直线的角为的直线方程。
解：直线的斜率为
设所求直线为：
∴
∴所求直线方程为：
即：
例8：求经过点（4，－3），且和直线的夹角为的直线方程。
解：直线
设所求直线为：
解得：
∴所求直线方程为：
注：仔细比较例7和例8的异同！
例9：等腰三角形一腰所在的直线的方程是底边所在的直线的方程是，点（－2，0）在另一腰上，求这腰所在直线的方程。
解：直线的斜率为
直线的斜率为
设直线的方程为：
设到的角为
到的角为
∵=
∴
∴
解得
∴所求直线方程为：
即
例10：已知中，A（－3，2），B（5，－4），C（0，－2）
求：A的内角平分线所在的直线方程
解：
设A的内角平分线为AD，其斜率为
设AD到AB的角为
AC到AD的角为
∵=
∴
∴
解得：
从图中可看出
∴
∴所求直线方程为：
即
【专项训练】：
1、求直线在坐标轴间的线段的中垂线方程。
2、平行四边形的两条邻边为它的一个顶点为
（5，5），求平行四边形的其它两边方程。
3、求直线的夹角。
4、已知：中，A（2，4），B（－6，－4），C（5，－8）
求的三个内角。
5、一条光线射到点（1，1）上被直线反射，求反射光线的方程。
6、已知：项点为，A（5，－1），B（－1，7），C（1，2），
求A的内角平分线方程。
7、等腰直角三角形中，直角顶点坐标为（5，4）
斜边所在直线方程是
求两直角边所在直线方程。
【答 案】：
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、第一章 直线 综合练习(3)
《两条直线的位置关系及曲线和方程》
【例题精选】
例1、已知两条直线:
l1 = x + my + 6 = 0, l2: (m－2)x + 3y + 2m = 0
当m为何值时, l1与l2(i)相交; (ii)平行; (iii)重合。
解: 若m = 0时 l1: x = －6
l2: 2x－3y = 0, 此时l1与l2相交
若
由
故i)当, l1与l2相交
ii)当m = －1时, , l1与l2平行
(iii)当m = 3时, l1与l2重合。
例2、已知两条直线l1、l2, 其中一条没有斜率。这两条直线什么时候(1)平行; (2)垂直。逆命题成立吗？
解: (1)另一条也没有斜率且在x轴上的横截距不相等时, 它们平行。
(2)另一条斜率为零时, 它们垂直。
逆命题分别为:
(1')已知两条直线l1、l2, 其中一条没有斜率且它们平行, 则另一条也没有斜率且它们在x轴上的横截距不相等。成立！
(2')已知两条直线l1、l2, 其中一条没有斜率且它们垂直, 则另一条斜率为零。成立！
例3、若直线x + ay + 2 = 0和2x + 3y + 1 = 0互相垂直, 求a值。
解: 由直线A1x + B1y + C1 = 0与A2x + B2y + C2 = 0互相垂直的充要条件A1B2 + A2B1 = 0, 有3 + 2a = 0解得。
例4、已知A(1, 3)、B(2, 1), 求过P(－1, 0)点与A、B两点距离相等的直线l的方程。
解: 依几何性质, 知过P点与直线AB平行的直线以及过P点及线段AB中点C的直线为所求。
设C(x0, y0)则
则所求直线l的方程为: y = －2(x + 1)及, 即2x + y + 2 = 0及4x－5y + 4 = 0为所求。
例5、已知直线分别满足下列条件, 求直线的方程:
(1)经过两条直线2x－3y + 10 = 0和3x + 4y－2 = 0的交点, 且垂直于直线3x－2y + 4 = 0;
(2)经过两条直线2x + y－8 = 0和x－2y + 1 = 0的交点, 且平行于直线4x－3y－7 = 0。
分析: 两条直线A1x + B1y + C1 = 0、A2x + B2y + C2 = 0相交, 交点为P(x0, y0)应由解方程组求得, 而解二元一次方程有加减消元法, 即直线方程过P(x0, y0)点。
解: (1)设所求直线方程为:
,
即
依题意, 知其斜率为
故, 有
解得, 代入得所求方程为:
－34x－51y + 34 = 0
即2x + 3y－2 = 0
(2)设所求直线方程为:
即
依题意, 知其斜率为
故, 有
解得:
代入得, 所求直线方程为4x－3y－6 = 0
例6、在ABC中, BC边上的高线AH所在的直线方程为x－y－1 = 0, A的平分线AT所在的直线方程为4x－3y－5 = 0, 且B点坐标为(－1, 0), 求点A、C的坐标。
解: 由
得, 即A(2, 1)
∵ ∴
设BC边所在直线方程为: y = －x + m,
由B(－1, 0)在BC上, 得m = －1, 即BC边所在直线方程为y = －x－1
∵AT平分BAC, 即BAT = TAC
∴
将
∵AC过A(2, 1), 由直线方程的点斜式得: AC所在直线方程为79x－3y－155 = 0
由 解得
说明: 求C点坐标的另一种方法——由于AT为BAC平分线, 所以直线AB、AC关于AT对称, 即B点关于AT的对称点一定在直线AC上, 由此可由两点式求出AC直线方程。
例7、已知正方形的中心M为直线2x－y + 2 = 0和x + y + 1 = 0的交点, 正方形一边所在直线的方程为x + 3y－5 = 0, 求这一正方形其他三边所在直线的方程。
分析: 可由已知条件求出正方形的中心, 然后根据正方形的两对边平行和两邻边垂直以及中心到各边的距离相等这些性质, 运用点到直线的距离公式来求出正方形其他三边所在直线的方程。
解: 由
故正方形中心M(－1, 0)
点M到直线x + 3y－5 = 0距离
根据正方形两对边平行和两邻边垂直这些性质, 可设其他三边所在直线的方程为x + 3y + m = 0和3x－y + n = 0
∵中心M(－1, 0)到四边距离相等,
∴
即
∴m = －5或7; n = －3或9
因此, 所求直线方程为x + 3y + 7 = 0, 3x－y－3 = 0, 3x－y + 9 = 0。
例8、设命题甲: 点P的坐标适合方程F(x, y) = 0; 命题乙: 点P在曲线C上; 命题丙: 点Q的坐标不适合F(x, y) = 0; 命题丁: 点Q不在曲线C上。已知甲是乙的必要条件, 但不是充分条件, 那么( )
A．丙是丁的充分非必要条件;
B．丙是丁的必要非充分条件;
C．丙是丁的充要条件;
D．丙既不是丁的充分条件也不是丁的必要条件。
解: 由已知条件, 得“乙甲”且“甲乙”它的逆否命题为“丙丁且丁丙”
故选A。
例9、求经过两条曲线交点的直线的方程。
解: 设这两曲线的任意一个交点为M(x0, y0), 则是方程组的解, 即为方程的解若令此方程为直线方程, 则应有,
∴为所求。
例10、求抛物线对称的曲线方程。
解: 设所求曲线上任意一点为M(x, y), 依题意, 有M(x, y)关于2x + 3y－1 = 0对称点在抛物线上。
依题意, 有
由①, ②得代入③并整理,
得所求曲线方程为:
【综合练习】
(一)习题:
1、唯一性选择题:
(1)直线3x + 2y + m = 0和(m2 + 1)x－3y + 2－3m = 0的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．重合 D．与m有关
(2)若点(2, k)到直线5x－12y + 6 = 0的距离是4, 则k的值是( )
A．1 B．－3 C．1或 D．－3或
(3)原点关于x－2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )
A． B． C． D．
(4)若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x, y) = 0”是正确的, 则下列命题中正确的一个是( )
A．f(x, y) = 0是曲线C的方程
B．坐标满足方程f(x, y) = 0点均在曲线上
C．曲线C是方程: f(x, y) = 0的轨迹
D．方程f(x, y) = 0所表示的曲线不一定是C
(5)设命题甲: lgx2 = 0; 命题乙: x = 1, 则甲是乙的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、填空题:
(1)射光线沿直线y = 2x + 1射向x－y－2 = 0, 则反射光线所在的直线方程为
。
(2)使(1 + x)(1|x|) > 0成立的充要条件是 。
(3)若, 则直线(2m－1)x + (m + 3)y－(m－11) = 0恒过的定点坐标是 。
(4)曲线F(x, y) = 0关于点(3, 2)对称的曲线方程为 。
3、解答题:
(1)求过点P(3, 5)的所有直线中, 与Q(－1, 1)距离最远的直线方程。
(2)讨论直线l: y = kx－1与抛物线C: y = x2的位置关系, 并在l与C相交时, 求交点间的距离。
(3)已知A、B为两定点, 动点M到A与到B的距离比为常数, 求点M的轨迹方程。
【答 案】
1、(1)B (2)D (3)B (4)D (5)B
2、(1)x－2y－7 = 0;
(2)。提示: 使(1 + x)(1－|x|)为正的充要条件就是求不等式:
(1 + x)(1－|x|) > 0的解, 即求不等式组或的解集。
(3)(2, －3)
提示: 原方程可化为(－x + 3y + 11) + m(2x + y－1) = 0
由为所求。
另解, 取m两个不同值, 联立解方程组,
得再代入(2m－1)x + (m + 3)y－(m－11) = 4m－2－3m－9－m + 11 = 0成立, 可知定点(2, －3)。
(4)F(6－x, 4－y) = 0
提示: 设所求曲线上任意一点为M(x, y), 依题意, 有M(x, y)关于点(3, 2)对称的点在已知曲线F(x, y) = 0上,
依题意, 有方程组
由①②解得, 代入③得,
所求曲线方程为F(6－x, 4－y) = 0
3、(1)解: 由图形的几何意义, 可知所求直线过点P(3, 5)与PQ垂直可设为:
y －5 = K(x－3)
由
有y－5 = －x + 3即x + y－8 = 0为所求直线方程。
(2)解: 由 , 得x2－kx + 1 = 0
其中 = k2－4
当> 0, 即时, l与C相交, 设交点为A(x1, y1)、B(x2, y2)
此时
当 = 0时, 即, l与C相切, A、B距离为0
当< 0时, 即时, l与C距离, A、B不存在。
(3)解: 以A、B所在直线为x轴, 线段AB的中点为原点, 建立平面直角坐标系x0y,
设A(－a, 0)、B(a, 0), 动点M(x, y)
则有
化简, 得: 为所求动点M的轨迹方程。第一章 直线 综合练习
有向线段、定比分点
【例题精选】：
例1、不等式的解集为R，求实数a的取值范围。
解：设y = |，分析|x－1|, | x + 2|的几何意义，有y > 3
依有向线段长度的定义
∵ 的解集为R，
∴ a < 3 为所求。
例2、用解析法证明：三角形的重心到三角形的三个顶点的距离的平方和等于三边平方和的三分之一。
解：设△ABC重心为G，以BC所在直线为x轴，过A点垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示：
设A(0, a), B(－b, 0), C (c, 0 )
则G
又由
。
有
说明：建立平面直角坐标系的原则①考虑图形的对称性②使图形上的点尽可能多地落在坐标轴上。
例3、已知， 求的最大值。
分析： 代数方法求最值需先求解析式，再采用正确的变换方法使变量收敛。
解：
当最大，值为9。
例4、以点A（1，3），B（－2，8），C（7，5）为顶点的ABC是
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
分析：根据两点的距离公式及正余弦定理可以判断三角形的形状。
解：
由余弦定理，
∴
为钝角。
故ABC为钝角三角形，选C。
例5、已知两点A（3，－4），B（－9，2），在直线AB上求一点P，使得。
解：
（1）若P在线段AB上时，P为内分点，同向 。
∵ ∴
即
∴
（2）若P不在线段AB上，
∵ ∴
P点不可能在AB的延长线上，只能在AB的反向延长线上，此时AP与AB的方向相反。
∴
又∵AP = －PA
∴
∴
因此，点P的坐标为（－1，－2）或（7，－6）
例6、求连结A（4，1）和B（－2，4）的直线与x轴的交点P的坐标。
解：设P（x, y），由P在直线AB上且P与B不重合，
又∵P在x轴上
∴
∴x = 6
故AB与x轴交点P（6，0）
例7、△ABC中，A（4，1），B（7，5），C（－4，7）
（1）求△ABC的A平分线的长。
（2）A的外角平分线与CB的延长线交于E，求点E坐标。
分析：三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线内分对边成两条线段长度比等于夹这角两边长之比。
三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线外分对边成两条线段长度比等于夹这角两边长之比。
解：设A平分线交BC边于D（x1, y1），设E（x2, y2）
由
∴
由
∴E（18，3）。
引伸：一九九九年高考最后一题就是一道与定比分点、角分线性质定理有关的求轨迹方程问题，有能力的同学可以研究一下。
如图，给出定点A（a, 0）(a > 0)和直线
l：x = －1，B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C。求C点的轨迹方程。
例8、已知曲线C：，求其关于点P（2，1）对称的曲线方程。
解：设所求曲线上任意一点为M（x, y），按曲线方程的意义，求出关于动点M（x, y）横坐标x与纵坐标y之间关系式f（x, y）= 0即可。
由于所求曲线与已知曲线C关于点P（2，1）对称，则M（x, y）关于点P（2，1）的对称点一定在C：上。
根据中点坐标公式，有
∴ 故
即为所求曲线方程。
例9、求证：对于任意实数x1，x2，y1，y2有下列不等式成立：
分析：和坐标法相反，我们还可以通过构造几何图形法，将代数问题转化为几何问题来解决。这种方法的关键在于深入挖掘代数问题的几何意义，构造出适当的几何模型，使代数问题几何化。
解：在平面直角坐标系内，设P1（x1, y1），P2（x2, y2）则
∵连结两点P1，P2的所有线中，以线段P1P2最短
∴
即
例10、求的最小值。
解：原解析式可化为
设A（2，3），B（5，4），C（x，0）
则由对称性知，若设A（2，3）关于x轴的对称点为（2，－3），有y的最小值为：。
【综合练习】
1、填空题：
（1）A，B是数轴上两点，点A的坐标为x1 = －(a + b)，点B的坐标为x2 = b－a，那么AB = BA = = 。
（2）当m = 时，点A（－2m + 1，m－2）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍。
（3）角的始边是x的正半轴，，如果点P在的终边上，，则点P的坐标是 。
（4）等腰△ABC的顶点A（3，0），底边，若BC中点是D（5，4），则它的腰长为 。
（5）已知A（－1，4），B（3，2），H是有向线段AB所在直线上一点，且，则点H的坐标为 。
2、唯一性选择题
（1）已知两点P1（3，－5），P2 （－1，－2），在P1P2所在直线上有一点P，便，则点P的坐标是
A．（－9，4） B．（15，14）
C．（－9，4）或（15，－14）D．（9，4）或（15，14）
（2）若点P在线段AB的反向延长线上，分AB的比为，则的取值范围为
A．（0，+） B．（－1，0）
C．（－，－1） D．（－，0）
（3）已知点A（a，－b），B（2a，b），C（3a，3b），则△ABC的重心G坐标为
A．（） B．（2a，b）
C．（6a，3b） D．（a，2b）
（4）已知P分AB的比为，则B分AP的比为
A． B． C． D．
（5）线段，点P在P1P2的延长线上，，则点P分所成的比是
A．2 B． C． D．
3、解答题
（1）用解析法证明：梯形的中位线等于两底之和的一半。
（2）在△ABC 中，已知A（0，－2），B（－3，1），C（1，－1），求BC边上的中线长。
（3）已知P1（－1，－6），P2 （3，0），P为有向线段的分点，且，求P点坐标。
4、设x1y是小于1的正数，求证：。
5、如图， 求的最小值（其中a < b < c为确定实数，x为任意实数）。
6、已知正△ABC的两个顶点A（2，0），B（4，2），求顶点C的坐标。
7、求证：平行四边形的两条对角线的平方和等于各边平方的和。
8、正方形ABCD中，A（－4，0），中心G（0，3），求其它三个顶点的坐标。
【答 案】
1、填空题
（1）AB = 2b，BA = －2b， 。
（2）
（3）
（4）腰长
（5）
2、唯一性选择题
（1）C （2）B （3）B （4）C （5）B
3、解答题：
（1）证明：建立平面直角坐标系，如图所示：A（a, 0），B（b, 0），C（0, c），D（d, c）设梯形ABCD的中位线为EF，则
∴
而
∴
（2）解：设BC边中点为D，则D（－1，0），BC边上的中线长
（3）解：设P（x, y）
∵
∴（1）若P在有向线段P1P2上，则
故P点坐标
（2）若P在有向线段P 1P2的反向延长线上，则
故P点坐标即
因此
4、证明：在平面直角坐标系中，设P（x, y）、Q（1, 1）、O（0, 0），
则
由于，而
∴。
5、解：中，依绝对值的几何意义，当x = b时，最小为c－a。
6、解：如图，设顶点C的坐标为（x, y）, 则由，得
解之得：
∴顶点C的坐标为（）或（）。
7、证明：以平行四边形ABCD对角线BD所在直线为x轴，BD中点O为原点建立平面直角坐标系，设A（b, c），D（a, 0），则B（－a, 0）
可得
∴
∴
因此，
8、解：设C（x1, y1）
则有
解得
设B（x2, y2）由
有
因此，正方形ABCD其余三点坐标为（4，6），（3，－1），（－3，7）。第一章 直线 专项训练（2）
直线方程
【例题精选】：
例1：已知下列两点坐标，求过其两点直线的斜率和倾斜角。
①
解：
②
解：
③
解：
例2：已知：直线过点（1，2），且倾斜角的正弦为，求直线方程。
解：设直线的倾斜角为
所求方程为：
即：
注：求直线方程结果应化成一般式。
例3：如果一条直线经过点（3，－5），且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求该直线方程。
解：设直线的倾斜角为
所求直线方程为：
即：
例4：已知：
求证：A，B，C三点共线。
证明一：由A，B两点确定的直线方程为：
即： ①
把C（5，7）代入方程①的左边：
左边右边
∴C点坐标满足方程①
∴C在直线AB上
∴A，B，C三点共线
证明二：∵
∵
∴A，B，C三点共线
例5：直线l过点P（6，－2），且与坐标轴围成一个直角三角形的面积为3，求直线l的方程。
解：设所求方程为：
所求直线方程为：
即：
例6：过点P（1，2）作直线l交x，y轴的正半轴于A，B两点，求使面积取得最小值时，直线的方程。
解：设直线方程为：
∵P（1，2）在直线上
当且仅当时，②式中等号成立，即③式中等号成立。
时，ab有最小值8，
此时的面积有最小值
直线l方程为：
即：
例7：求过三点且为正整数的直线方程。
解：设所求直线方程为
①
∵（1，2）在直线①上
∵是正整数
∴时，不符题意，
时，不存在，
时，不是整数。
∴所求直线方程为：
即：
【专项训练】：
1、已知：点A（1，－1），B（3，3），C（4，5）
求证：A，B，C三点共线。
2、求过点（－2，1），倾斜角为的直线方程。
3、求过（－2，1）点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程。
4、求过点（2，－7），倾斜角的余弦为的直线方程。
5、一直线过点（－3，4），且在两轴上的截距之和为12，求此直线方程。
6、已知：一直线通过（－2，2），且与两轴构成的三角形面积为1，求此直线的方程。
7、求过点A（1，2）并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
【答 案】：
略第一章 直线 专项训练
有向线段，两点间的距离以及定比分点
【例题精选】：
例1：已知：数轴上三点A，B，C的坐标分别是4，－2，－6，
求：，的数量和长度。
解：
例2：已知：A，B，C是数轴上的三个点，
求证：不论A，B，C如何排列，总有
证明：设A，B，C三点的坐标为
例3：试判断以为顶点的三角形的形状。
解：
为等腰直角三角形
例4：已知：中，AO是BC边上的中线。
求证：
证明：以O为原点，BC为x轴，过O点与BC垂直的直线为y轴建立坐标系。
设
例5：求与A（32，10），B（42，0），C（0，0）等距离点的坐标。
解：设所求的点为
即为所求
例6：求在x轴上与两点A（－1，3），B（2，4）距离相等的点的坐标。
解：设所求的点为
即为所求
例7：已知：如图
求：①P分所成的
②P分所成的
③分所成的
④分所成的
解：①
②
③
④
例8：已知：，连结并延长到P，使。
求：
解法1：把P看成分点
P分所成的
解法2：把看成分点
分所成的
例9：已知：三角形的顶点
求：的重心
解：设D为BC的中点
注：例9的结论可作为公式直接使用。
例10：求证：三角形的重心到三角形的三个顶点的距离的平方和等于三边平方和的三分之一。
证明：设三角形的三顶点为
则重心
同理：
结论成立。
【专项训练】：
1、试在y轴上求点M，使它到的距离等于17。
2、已知：的三个顶点是，
求：的外心。
3、试证以A（1，1），B（2，3），C（5，—1）为顶点的三角形是直角三角形。
4、已知：等腰的顶点A（3，0），底边，BC边的中点是D（5，4），则它的腰长为 。
5、已知：的重心在原点，若A，B的坐标分别是（1，4），（－3，－3），
试求：顶点C的坐标。
6、已知：的三边中点分别为，
求：三角形的三个顶点的坐标。
7、已知点P分的比是
则点P分的比为
点A分的比为
点B分的比为
8、已知：一条线段两端点的坐标为，
求：这线段AB上两个三等分点的坐标。
【答 案】：
1、（0，28），（0，－2）
2、（－1，－2）
3、略
4、
5、（2，－1）
6、（－2，－6），（8，2），（－6，10）
7、
8、（－4，1）（－7，0）第一章 直线 专项训练（4）
两条直线的位置关系（二）
【例题精选】：
例1：已知：直线
求证：交于一点。
证明：先求的交点
把（－2，2）代入的左边
左边右边
∴的交点在上，即交于一点。
例2：已知：中，A（32，10），B（42，0），C（0，0）
求：的外心。
解：如图，BC的中垂线为：
∵
AC的中点为（16，5）
∴AC的中垂线为：
即：
∴外心的坐标是的解
即：（21，－11）
例3：已知：直线l：
求：点P（4，5）关于直线的对称点。
解：设P关于的对称点为
直线的斜率为3
∴直线的方程为：
即：
设与交于Q点
Q点坐标是的解
∴Q（1，6）
∵Q是线段的中点
∴
∴所求对称点为（－2，7）
例4：求直线关于直线对称的直线方程。
解：先求直线
与直线的交点
∴交点为（4，2）
直线的斜率为
直线的斜率为1
设所求直线的斜率为k
如图，
∴所求直线方程为：
即：
例5：判定下列两条直线的位置关系：
①
解：∵
∴两直线相交
②
解：∵
∴两直线重合
③
解：∵
∴两直线平行
例6：已知：的顶点坐标为，
求：。
解：设B到AC的距离为d。
AC方程为：
即：
∴
∴
例7：求与直线距离为的直线方程。
解：设所求直线方程为：
∴所求直线方程为：
例8：求与直线，等距离的直线方程。
解：设所求直线方程为：
∴
∴
两边平方：
∴
∴所求直线方程为：
例9：正方形中心在C（－1，0），一条边方程为：，求其余三边直线方程。
解：设为
设的对边为
设的两邻边为
设的方程为：
∵C点到的距离等于C点到的距离
∴的方程为：
∵的斜率是
又∵
∴的斜率为3
设的方程为：
即：
∵C到的距离等于C到l的距离。
∴或
∴的方程为：
的方程为：
【专项训练】：
1、已知三条直线，，交于一点，求的值。
2、求m为何值时，直线与和交于第四象限。
3、已知直线l：
求点P（2，4）关于l的对称点。
4、已知：直线：
求直线关于的对称直线。
5、已知：的三个顶点，B（6，－4），C（－2，－10）
求的面积。
6、已知：梯形两底边所在直线方程为：和，
求梯形的高及中位线的方程。
7、求过和的交点，且与原点相距为1的直线方程。
【答 案】：
1、15 2、 3、
4、 5、
6、 7、
