圆锥曲线练习题库

第二章 圆锥曲线 专项训练(2)
直线与圆的位置关系，与圆有关的轨迹方程
【例题精选】：
例1、判断直线24与圆的位置关系。
解：配方
∴圆心
圆心到直线的距离
∴
∴直线与圆相切
例2：求与圆相切并且斜率为2的直线方程
解法1：设所求直线为：
①代入并整理
③
∵直线与圆相切
∴方程③有两个相同的实根
∴
∴
∴
∴所求直线方程为：或
即或
解法2：设所求直线为：
即
∵直线与圆相切
∴圆心到直线的距离等于半径
∴
∴
以下同解法1
例3：过点作圆 的割线，割线被圆截得的弦长为，求割线方程
解：设圆心为O
设割线与⊙O交于A、B两点
过O作OC⊥AB于C
∴（垂径定理）
∵
∴
又∵
∴
∴圆心O到割线的距离为1
设割线方程为：
即
∴
解得或
∴所求割线方程为：或
即或
例4：求与两定点距离的比为 的点的轨迹方程。
解：设动点为P（）
∵
∴
∴
∴即为所求
注：动点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆。
例5：已知圆方程x2+y2=25
求：圆中弦长为8的弦的中点的轨迹方程
解：如图，设为弦AB的中点
设为圆心，连结
则⊥AB
∵
∴
又∵
∴
∴
∴即为所求
例6：经过原点作圆的弦，试求这些弦中点的轨迹方程
解法1：如图
设已知圆的圆心为
弦中点为
连结AP，则AP⊥OP
∴P点轨迹是以OA为直径的圆
∴轨迹方程为：
解法2：设弦中点为P，弦一端点为O，另一端点为
则 ①
∵在圆上
∴ ②
把①代入②
∴即为所求
注：解法2所用的方法叫辅助动点法。
它的步骤是：（1）设动点P，辅助动点
（2）建立P与的关系
（3）利用满足的方程，从而得到 P满足的方程。
例7：已知圆上有一定点，过A作弦AB并延长至P，
使
求动点P的轨迹方程。
解：设
∵
∴分 所成
∴
∵在圆 上
∴
∴
∴
∴即为所求
【专项训练】：
（1）判断直线与圆的位置关系。
（2）求过点且与圆相切的直线方程。
（3）求由点向圆 所引的切线长。
（4）求直线被圆 截得的弦长。
（5）求与圆相外切并且半径为2的动圆的圆心轨迹方程。
（6）已知：点A在圆上，定点
求线段AB中点的轨迹方程。
（7）已知：有两个固定顶点 ，
顶点C在圆上，求这个三角形的重心的轨迹方程。
【答 案】：
（1）相切
（2）
（3）1
（4）
（5）
（6）
（7）第二章 圆锥曲线 专项训练(6)
抛物线
【例题精选】：
例1：①已知抛物线的方程为，求它的准线方程及焦点坐标。
②求焦点是的抛物线的标准方程。
解：①∵ ∴焦点坐标为，准线方程为
②∵焦点在x轴的负半轴上
∴它的标准方程为
例2：抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为
答案：
分析：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于P的2倍。
∴所求抛物线方程为
例3：抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点距离是6，则抛物线方程为
答案：
分析：∵点在第二象限
又∵对称轴是x轴 ∴抛物线开口向左
不妨设其焦点坐标为
求出相应的，则相应的抛物线方程为。
例4：抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为
答案：2
分析：设抛物线焦点为F，M是抛物线上横坐标为4的点，则
过M作MA垂直于准线于A，由抛物线定义可知，
，即
∴抛物线的焦点与准线的距离为2
例5：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m,－3)到焦点距离为5，求m的值。
解：设抛物线方程为，则准线方程为
到焦点的距离等于到准线的距离，而
求得P = 4，故抛物线方程为
在抛物线上，故
例6：直线截抛物线，所截得的弦中点的坐标是
答案：( 5, 4 )
分析：解方程组
∴弦的中点的横坐标，代入，得中点纵坐标，∴中点坐标是( 5, 4 )
例7：设抛物线被直线截得的弦长为，则b的值是
答案：
分析：解方程组
解出
小结：本题用到了弦长公式。
设斜率为k，则
例8：顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程。
解：设所求抛物线方程为
由
所以抛物线方程为
小结：设抛物线方程为，当a>0时抛物线开口向右，a<0时，其开口向左。
例9：抛物线有内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边所在直线方程为，斜边长为，求P的值。
解：设抛物线内接直角三角形AOB，其直角边OB所在直线方程为，斜边为AB，则直角边OA所在直线方程为
解方程组
得
于是有
解出，得
例10：过点(－1, －6)的直线l与抛物线相交于A、B两点（A、B不重合）求直线l的斜率k的取值范围。
解：设直线l的方程为
解方程组
例11：求抛物线上的点到直线的最短距离。
解：设抛物线上一点到直线的距离为d，则
（）
例12：k是什么实数时，直线与抛物线，（1）有两个交点；
（2）只有一个交点；（3）无交点
解：由方程组可得
时方程有唯一解，当时
①当 k < 1,且时，直线与抛物线有两个交点。
②当时，，直线与抛物线相切，有一个交点（即切点），直线平行于抛物线的对称轴，也只有一个交点。
③当时，，直线与抛物线相离，无交点。
小结：在讨论直线与抛物线的位置关系，判定交点的个数时，应考虑平行于轴的这一特殊情况，不能单纯地使用判别式。
例13：求抛物线中，以为中点的弦的方程。
解：设弦所在直线方程为
由 代入上式，得
设两根为A、B两点的纵坐标
则有
∴所求直线方程为
例14：动圆圆心Q在x轴上移动，且过点A（－3，0），设动圆交x轴于P，交y轴于N，过P引y轴的平行线，过N引x轴的平行线，它们的交点为M，求M的轨迹。
解：设动点
例15：抛物线，过其焦点作一弦AB，若弦长不超过8，且弦所在的直线与椭圆相交，试确定弦AB所在直线斜率k的取值范围。
解：∵焦点 ∴设过焦点F的直线为
∴ ②代入①，得
设直线交抛物线于
③
由
直线与椭圆相交
④
由 ③④ 得
【专项训练】：（45分钟）
1、抛物线上一点M到准线的距离为，则点M到抛物线顶点的距离是 。
2、焦点在直线上的抛物线的标准方程为 。
3、抛物线上一点到焦点距离等于6，则m = 。
4、一动点到y轴的距离比到点( 2,0 )的距离小2，这动点的轨迹方程是 。
5、抛物线的焦点坐标为 。
6、在抛物线上求一点P，使点P到直线的距离最短。
7、若抛物线的准线方程为，焦点为，则抛物线的对称轴方程是
。
8、P1P2是抛物线的通径，Q是准线与对称轴的交点，则 。
9、点A、B分别在抛物线和圆上，求|AB|的最小值。
10、求与圆外切，且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程。
11、已知直线l在x，y轴上的截距分别为2和－1，并且与抛物线交于A、B
两点，求（1）抛物线的焦点F到直线l的距离。（2）的面积。
【答 案】：
1、10
提示：抛物线准线方程为，点M的横坐标为从而到顶 点(0,0)的距离为10。
2、
提示：在中令 y = 0得x = 4令x = 0，得y=－3,抛物线焦点坐标为(4,0) 或(0,－3)，从而得抛物线标准方程
3、
提示：点M（4，m）在抛物线上，，据定义
4、
提示：设动点，则得平方得
，当x < 0时，y = 0。
5、焦点坐标为
提示：抛物线的标准方程为故其焦点坐标为。
6、
提示：设P点坐标为，它到直线的距离
，当时，，这时
7、
提示：抛物线的对称轴是经过焦点且垂直于准线的直线，
∴它的方程为 即
8、
提示：抛物线的通径是经过焦点F且垂直于对称轴的弦，是中
点，与都是等腰直角三角形
9、
解：设P、Q分别是抛物线和圆上的点，圆心C(3,0), 半径为1，若最小，则也最小， 因此C、P、Q共线，问题归结为：在抛物线上求一点 P，使它到圆心C的距离最小,为此设， 则
， 的最小值为所求。
10、解：设轨迹上任意一点为
由题意，得
解得所求轨迹方程是
11、解：
（1）直线l的方程为
。
（2）解方程组第二章 圆锥曲线 专项训练(8)
圆锥曲线复习
【例题精选】：
例1：设AB是椭圆的弦，已知AB的中点为，
求AB所在的直线方程。
解：设AB方程为：
即：
（1）代入（2）并化简：
设：A， B
∴所求直线方程为：
即：
例2：已知：双曲线
求取何值时，直线 与双曲线只有一个公共点
解：
（2）代入（1）并化简：
(i)当
方程（3）化为：
此时方程（3）只有一解，直线 与双曲线相交。
(ii)当时
方程（3）是二次方程
令
解得：
此时方程（3）有两个相同的解，直线 与双曲线相切。
∴综合(i)(ii)当时，直线 与双曲线只有一个公共点。
例3：已知：两圆
求与外切并且与 内切的动圆圆心的轨迹方程。
解：
设：动圆圆心为半径为
∵ ∴
∵ ∴
∴
∴P点轨迹是以O1（3，0），O2（-3，0）为焦点的椭圆。
∴所求轨迹方程为：
例4：由圆上任意一点向轴作垂线，求垂线夹在圆周和轴间的线段中点的轨迹方程。
解：设圆上任一点为
作 轴于
设的中点为
例5：证明双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积是定值。
证明：设为双曲线上任意一点
双曲线的两条渐近线为：
到渐近线的距离为
到渐近线的距离为
∴
∵
∴
∴（定值）
例6：过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦OA和OB。
求证：AB交抛物线的对称轴于定点。
证明：设OA,OB的方程为：
∴直线AB方程为：
在（1）中含
解得：
∴AB交抛物线的对称轴于点，这是一个定点。
例7：在抛物线上求一点 ，使点 到点A（1，0）和点B（3，2）两点距离之和最小，并求这最小值。
解：如图
作抛物线的准线：
再作于点
∵A（1，0）为抛物线的焦点，
∴
显然B，M，N三点共线且时， 最小，即 最小，
∴
此时
例8：已知：上任一点，
求：的最大值
解：设
∴求的最大值，就是求与椭圆 有公共点且斜率为 的直线在轴截距的最大值。
由图可知，当直线与椭圆相切时， 有最大值。
（1）代入（2）化简：
令
由图知：
例9：以双曲线与抛物线的三个交点为顶点得一三角形ABC，问当为何值时，这个三角形的面积最大？
解：
直线BC方程为：
∴A点到直线BC的距离（∵）
当且仅当
例10：双曲线的焦点为， 为双曲线上一点
且
求：的大小
解：
【专项训练】：
一、选择题：
1、椭圆的焦点为，AB是椭圆过焦点的弦，则的周长是
A．10 B．12 C．20 D．16
2、点是椭圆上一点 ，为椭圆两焦点，若，则面积为：
A．64 B． C． D．
3、已知双曲线上一点到它的右焦点的距离为8，那么点到它的右准线的距离是
A．10 B． C． D．
4、双曲线的实轴长，虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为
A． B． C．2 D．3
5、抛物线在处切线方程为
A． B．
C． D．
二、填空题：
6、与双曲线有相同的渐近线，且经过点的双曲线方程为
7、动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是2∶1，则动点的轨迹方程为
8、在抛物线上求一点，使它到直线的距离最小，此时最小值为
9、把椭圆绕左焦点逆时针方向旋转，则旋转后椭圆方程为
三、解答题：
10、求抛物线的焦点和准线方程。
11、三个顶点A，B，C都在抛物线上，点A（2，8），且这个三角形的重心恰好是抛物线的焦点，
求过B，C两点的直线方程。
12、过双曲线上任意一点，作双曲线两条渐近线的平行线，试证它们和两条渐近线围成的平行四边形的面积为定值。
【答 案】：
一、
1、C 2、C 3、D 4、B 5、C
二、
6、 7、
8、2 9、
三、
10、
解：
平移坐标轴，把原点移到
在新坐标系中，抛物线方程为：
焦点为：（0，2）
准线方程为：
∴在原坐标系中，焦点为（－3，3）
准线方程为：
11、
解：设
抛物线的焦点为
中点为（11，－4）
设BC方程为：
（1）代入（2）消去：
∴BC直线方程为：
即：
12、
解：设为双曲线上任意一点
四边形为平行四边形
渐近线
到OB的距离
方程为：第二章 圆锥曲线 综合练习（3）
【例题精选】：
例1：求经过两圆和交点的直线的方程。
分析：对于相交两圆、，方程表示过这两圆交点的曲线方程，当时为圆；当时，为这两圆的相交弦所在直线方程，当取其它值时，通常表示过这两圆交点的圆方程。
解：设经过两圆和交点的直线方程为：
根据所有的直线方程都是关于的二元一次方程，有项的系数要均为零，即：
解得：
代入得
即为所求直线方程。
例2：求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。
解：设所求圆方程为
整理，得
其圆心为
由已知有，
解得：
代入得
即：为所求圆方程。
例3：已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。
解：设所求过的圆的切线上任意一点
则有
整理，得
∵ 在圆上，
∴
∴ 所求切线方程为
即
例4：已知：一个圆的直径端点是
证明：圆的方程是
证明：设所求圆上任意一点为
则有∠AMB = 90
∴
故
因此，所求圆方程为
即
当时，代入有
当时，代入有
而点是圆和直径端点，在圆上，即所求方程
。
例5：求函数的最大、最小值。
分析：此题从结构上观察易知同斜率的表达式。将看作是平面直角坐标系上一个定点和一个动点两点连线的斜率。
∵
∴动点M在单位圆上运动。
求的最值问题就可转化求：
过定点向单位圆所引切线斜率的最值问题。
解：设过圆的切线方程：
即
∵为圆的切线
∴圆心O到切线的距离等于半径1
即
解得，
故，函数的最大值为最小值为。
例6：为⊙O：外一点引圆的两条切线AB 和AC，其中B、C是切点，求经过这两个切点的直线l的方程。
解法一：连接OB、OC
则OB⊥AB，OC⊥AC
∴ B、C两点在以OA为直径的圆上。
∵以OA为直径的圆的方程为：
即……（1）
∴点B、C坐标满足方程（1）
双∵点B、C坐标满足已知圆……（2）
∴（2）－（1）得，此方程即为过B、C两点的直线l的方程。
解法二：设切点
则过B、C两点的圆的切线方程分别为
又∵切线AB，AC均过点A
∴
此方程组表明点 适合方程
∴为所求直线方程。
【综合练习】：
1、唯一性选择题：
（1）方程，表示的曲线关于直线对称，那么必有（ ）
A．D = E B． D = F C．E = F D． D = E = F
（2）从直线上向定圆作切线，则切线长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（3）若直线与半圆有两个不同的公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（4）圆上到直线距离为的点共有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
（5）圆和的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
2、填空题：
（1）圆上的点到直线的距离的最小值是 。
（2）若OAB中，则OAB的内切圆方程为 。
（3）以点为圆心且与y轴相切的圆的方程是 。
（4）圆的弦AB的中点为，则直线AB的方程是 。
3、解答题：
（1）已知直线坐标平面上点和圆动点M到圆C的切线长与的比等于常数。求动点M的轨迹方程。
（2）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为
3∶1； ③圆心到直线的距离为，求该圆的方程。
【答案】：
1、（1）A
（2）切线长（P为上点，O为圆心）其最小值为 ，A。
（3）通过图形易知，选C。
（4）画图，选C。
（5）C
2、（1）5
（2）
（3）
（4）
3、（1）
解：设MN切圆于N，则动点M组成的集合是
∵
∴
设则，有
整理，得
当 时，方程为：表示一条直线。
当 时，方程为：表示圆。
（2）解：设圆心，半径为r
则P点到x轴、y轴的距离分别为由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90知圆P截x轴所得弦长为
故
又圆P被y轴所截得的弦长为2，
∴
从而
∵到直线的距离为
∴
即：
∴ 或
解得 或
故
所求圆方程为 或。第二章 圆锥曲线 综合练习
求曲线方程（一）
【例题精选】
例1 ：求经过两圆的交点，圆心在上的圆的方程。
[分析]：（1）从题设知：两圆 ⊙O1：
⊙O2： 的交点可以通过解方程求出，记作A、B，则A、B两点在所求的圆上。
（2）所求圆的圆心若设为（a, b），则有。
（3）可由待定系数法，设出所求圆的方程：，这方程中含有三个待定系数得到三个方程，解方程组求出：a 、b 、R便可。
另外，所求圆是过两相交圆的交点，则可由“圆系”方程，设出过两圆交点的圆的方程，进而求出圆心坐标（含待定系数1个）再将圆心坐标代入方程上，得解，于是得出如下解法：
[解法一]：
两圆交于
由题设有
∴ 所求圆的方程为
即
[解法二]：设过两个已知圆的交点的圆的方程为：
即：
圆心为
∵ 圆心在直线上
∴ 有
则所求的圆为：
即：
小结：这两种方法虽然都是待定系数法，从待定系数个数看：解法一中有a,b R三个待定系数，而解法二中只有m一个待定第数，从计算量看，两解法都不繁琐。
例2：求中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为，且过点M（－4，）的椭圆方程。
分析：由题意随圆为标准方程，但焦点不明确，故而要考虑焦点在x轴或y轴的两种可能；由离心率可得含a、b的一个方程，再由点M 的坐标满足椭圆方程得出a、b的另一个方程，解方程组求出a、b就可得到椭圆方程。
解：若椭圆焦点在x轴上，则设方程为
将M点坐标代入方程得到：
解方程组：
解得： 因此椭圆方程为：
若椭圆焦点在y 轴上，则设方程为：
同上可得：
将M点坐标代入这个椭圆方程中得到：
解方程组：得到
因此椭圆方程为
例3：求焦点是（0，），截直线所得弦的中点的横坐标是中心在原点的椭圆方程。
分析：由题设知这是中心在原点，焦点在y轴的椭圆。
直线与椭圆相交所得弦的中点横坐标已知是建立含待定系数a,b的一个方程，另一个是解方程组便可。
另外也可以先设出直线与椭圆相交结的端点的坐标，由于两点在椭圆上，故而坐标满足椭圆方程，然后两式相减，若则：
（直线的斜率）也可求出待定系数的值。
[解法一]：设所求的椭圆为：
代入化简为：
解法二：设直线与椭圆相义于两点
说明：本题解法一是规范的待定系数法的解法。
解法二是利用曲线与方程的关系，化简得到这样两个“平方差”其中一个平方差这两个因式表示的分别是弦的中点横坐标的2倍，又因直线中斜率为2，因而直线与椭圆交点中，，为些用去除等式的两边时，便得到的式子，而这正是直线l的斜率是已知的，为此较容易的得到a,b的一个方程，此法涉及到直线与圆锥曲线相交弦的中点有关问题时（若直线斜率未知也可以用此法求点）使用较简捷。
例4：双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交于双曲线P，Q两点，若，求双曲线方程。
分析：要求双曲线方程由于题设中焦点在x轴，因而方程为类型，其右焦点为F(c,o)，需建立起a,b为未知的两个方程，一个可利用，另一个利用通过图形关系完成向方程的转化。
解：设所求的双曲线方程为,右焦点为F(c,0)
由题设过F点的直线l方程为：
整理消去y 化为：……(※)
现分析的取值
若=0，则有这显然与已知直线l 的斜率相等而已知直线l 平行于双曲线的渐近线，则直线l 与双曲线只能交于一点与题设矛盾，
∴
因此若（※）方程两个根为 则有：
则：
其中：
例5：求下列抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上点（3，a）到焦点的距离是5；
（2）顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线所得的弦长为。
分析：（1）由题设抛物线焦点在y轴上，但开口方向并不明确，仍有两种情况：
其焦点分别为：，准线方程分别为由抛物线定义得到，再由点（3，a）在抛物线上得到p,a的另一方程，消去a求得P .
(2）由于焦点在x轴上，但不明确抛物线的开口方向，故而可设抛物线方程：通过题设条件，求得m值，便于确定方程。
[解]：（1）
由（2）得
解得
（2）设所求的抛物线方程为
小结：本题给出求抛物线方程的常用方法，主要是当题设只给出焦点所在的轴，而不明确开口方向时作为待定系数法的第一步：“假设方程”时的两类不同设。
例6：如图，在面积为1的
求出以M，N为交点且过点P的椭圆方程。
分析：从图中和题设知所求椭圆的焦点在x轴上，而椭圆方程为形状，建立a,b的方程组，求出a,b
由题意可设
又∵ P为椭圆上的点，由椭圆定义有
解法一：设所求的椭圆方程为
焦点
直线
直线
解法二：同解法一得
∵ P点在椭圆上
∴椭圆方程为
[解法三]：作
又已知：tgM=, ∴
[解法四]：
由余弦定理得：
即：
小结：本题比较新颖，题目在开始便给出“如图”这无疑给出了坐标系，否则若去掉“如图”这个词。则在解题开始便应该先建立适当的坐标系，难度显然加大了，解法也会随之发生变化。在以此显然将M，N两定点所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴建立的坐标系。如果改变坐标系的建立，如以M，N所在直线为y轴，线段MN的垂直平分线为x轴，那么又如何求P点所在的椭圆方程呢？可以自己试试。
这里提供四种解法，解法一，解法二是单纯的典型的待定系数法通过解方程组求出两直线的交点，椭圆定义；弦长公式三角形面积公式等求出待定系数a,b的值来。解法规范，也是常用方法。解法三，是数形结合的使用，充分使用平面几何的处理方法，由三角形面积公式，启发作出轴于H点，多次使用解直角三角形的方法，得到与的数值，由椭圆定义写出方程，此法比前两种解法简捷。解法四是三角知识在解析法中的应用，主要因为题设给出的是△内角的三角形数的值，由此容易联想到解△中的正弦定理、余弦定理。来出求△PMN的边的点来。
以上是用待定系数法求曲线方程的（标准方程）简介，下一讲是用轨迹法求曲方程。
【综合练习】：
1．求下列椭圆的标准方程
（1）与椭圆有相同的焦点，过点
（2）一个焦点为（0,1）长轴和短轴的长度之比为t.
（3）椭圆过点。
2．求下列双曲线的标准方程
（1）一个焦点是（－4，0），一条渐近线是。
（2）是渐近线与准线的交点。
（3）焦点在x轴上的等轴双曲线截直线。
3．求过直线的交点，关于坐标轴对称的抛物线方程。
4．过椭圆的一个焦点作垂直于x轴的直线，交椭圆于M,N两点，A,B是长轴的两个端点，若。求椭圆方程。
5．已知双曲线的离心率为2，点为左、右焦点，P为双曲线上的点，，求双曲线的标准方程。
【答案及提示】
1．（1）
（2）
（3）
2．（1）提示：设双曲线方程为
求得：
（2）提示：若双曲线方程为
则：
若双曲线方程为
则：
所求双曲线方程为
（3）
3．
4．简解：如图F2（c,0）, A（-a,0）B（a,0）MN方程：x=c M(c,), N(c,)
∠AMB可看成是直线AM到直线BM的角。
5．
简解：如上图第二章 圆锥曲线 专项训练(3)
椭 圆
【例题精选】：
例1 求下列椭圆的标准方程：
（1）与椭圆有相同焦点，过点；
（2）一个焦点为（0，1）长轴和短轴的长度之比为t；
（3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为。
（4）准线方程为
（5）
解：（1）设所求椭圆的标准方程为
小结：设标准方程时，要根据已知条件，上题已很明确的知道焦点在x轴上，所以长轴a要与x对应。
解：（2）设椭圆的标准方程为
解：（3）设椭圆的标准方程为
椭圆的两焦点与短轴的一个顶点构成了等边三角形
解：（4）
消去
解：（5）设椭圆标准方程为
例2 已知椭圆的焦点为为准线方程。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P在这个椭圆上，且，求：的值。
解：（1）设椭圆的标准方程为
（2）根据椭圆定义
又
例3 已知：椭圆上的三个点成等差数列。
求证：到焦点F2的距离也成等差数列。
证明：可考虑用椭圆的第二定义。
设椭圆的一条准线方程为到准线 的距离为
则根据椭圆的第二定义：
小结：这道例题主要是对椭圆第二定义的应用，同时若是椭圆上任一点，是椭圆的左、右焦点，则叫做椭圆的焦半径。
例4 已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的
求：椭圆的离心率。
解：设椭圆方程为
小结：离心率是椭圆中的一个重要内容，要给予重视。
例5 已知椭圆，过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于两点。
求：弦AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。
解：
小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。
例6 在面积为1的建立适当的坐标系，求以 为焦点且过点P的椭圆方程。
解：以直线MN为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设以M、N为左右焦点且过点P的方程为，
又设
小结：这道题的综合能力比较强，需运用多方面的知识，如果能建立比较合适的直角坐标系，使图形与方程有机的结合起来，是可以找到解题的思路的。关键是把所求分为两个阶段，先解出C来，再用椭圆定义求出2a，并写出椭圆方程。把一个复杂的问题转化解为几个解题阶段，是解析几何考查的重点。
例7 已知是椭圆在第一象限内部分上的一点，求面积的最大值。
解：
过A、B的直线方程是
小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。
【专项训练】：
一、填空：
1、椭圆的中心在原点，有一个焦点，它的离心率是方程的一个根，椭圆的方程是 ；
2、若椭圆则实数k的值是 ；
3、过椭圆作直线交椭圆于A、B二点，F2是此椭圆的另一焦点，则的周长为 ；
4、椭圆上有一点P到两个焦点的连线互相垂直，则P点的坐标是 ；
二、选择题：
1、椭圆的准线方程是
A． B．
C． D．
2、椭圆上的一点P到它的右准线的距离是10，那么P点到它的左焦点的距离是
A．14 B．12 C．10 D．8
3、的曲线为椭圆时的
A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D． 非充分非必要条件
4、椭圆的左右焦点为F1、F2，一个圆的圆心在F2且该圆过椭圆的中心交椭圆于P点，直线PF1是圆的切线，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
三、已知椭圆上一点，，又点Q在OP上且满足上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
【答 案】：
一、
1、
2、。提示：由基本量求方程要注意其解是否唯一。
3、24
4、
二、
1、C 2、B 3、B 4、A
三、
解：设点的坐标分别为
由题设
将（1）（2）（3）式代入上式，
整理得点Q的方程为
为中心，长、短半轴长分别为，且长轴在x轴上 的椭圆，去掉坐标原点。
注意：目标是消去*式中的三个字母，因此需要三个独立方程。Q、R、P三点共线已线提供了两个独立方程。
最后对曲线的说明，要说明曲线的长轴为水平方向，这是易漏之处。第二章 圆锥曲线 专项训练(5)
双曲线
【例题精选】：
例1：双曲线的两顶点间的距离为 离心率为 。
答案：2、
分析：双曲线中，
∴顶点坐标为A（－1，0）B（1，0）
∴两顶点间距离为
又
∴离心率：
小结：等轴双曲线的离心率是
例2：双曲线的两准线间的距离是焦距的，则此双曲线的离心率为 。
答案：
分析：双曲线两准线间的距离为
由题意知：
小结：双曲线方程含两个参量a,b，因此确定其方程需要两个独立的条件，但是求离心率则不必先求双曲线方程，只需用a，b，c，间的关系就可导出。
例3：已知双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点（3，4），则双曲线的离心率为 ，双曲线的方程为
答案：
分析：∵双曲线的渐近线方程为
∴设双曲线方程为
又∵双曲线过点（3，4）
∴，解得，
∴双曲线方程为
其中
∴离心率：
小结：当已知渐近线方程，求双曲线方程时，由于不知道焦点在x轴上还是在y轴上，可设方程为，若求出的k为负值，则说明焦点在y轴上。
与双曲线其渐近线的双曲线为时焦点在y轴上。
例4：已知双曲线的焦距是6，并且经过P（4，1）点则此双曲线的标准方程是
答案：
分析：由题意知
设双曲线的方程为
则
∴双曲线的标准方程为
又设双曲线的标准方程为
则
小结：题目当中没有指明焦点在x轴上还是焦点在y轴上，所以两种情况都要考虑。
例5：已知双曲线的两个焦点坐标为F1(0,－10), F2(0,10)且一条渐近线方程是，则双曲线的标准方程为
答案：
分析：∵双曲线的两个焦点为：
∴实轴在y轴上，且c=10
又∵一条渐近线为
∴双曲线的标准方程为
小结：本题容易犯的错误是把写为要引起注意。
例6：已知双曲线经过，且与另一双曲线，有共同的渐近线，则此双曲线的标准方程是
答案：
分析：设双曲线的方程为
则
解得
∴双曲线的标准方程为
即
小结：常有同学把这类题目中的“渐近线”错认为“准线”。
例7：已知双曲线的一条渐近线方程是，焦点是椭圆与坐标轴的交点，则双曲线的标准方程是
答案：
分析：椭圆与坐标轴的交点为A(－10 , 0) B(10 , 0) C (0 , －5) D(0, 5)
若双曲线以A、B为焦点，设双曲线方程为，
有
∴双曲线方程为
若双曲线以C、D为焦点，设双曲线方程是有：
∴双曲线方程为
例8：已知双曲线的两条渐近线所夹的锐角是，则此双曲线的离心率为
答案：或2
分析：∵两条渐近线所夹的锐角为
∴渐近线有两种情况。
（1）设渐近线方程为
（2）设渐近线方程为
例9：直线被双曲线，所截得弦的中点坐标是 ，弦长是
。
答案：，
分析： 把 ①代入②得
③
设直线与双曲线的两个交点为， 的中点坐标为。
由方程③知
把代入 ① 中得
又
例10：已知关于x，y的二次方程表示的是双曲线，则m的取值范围是
答案：
分析：由题意知：
例11：已知双曲线方程为，经过它的右焦点F2，作一条直线，使直线与双曲线恰好有一个交点，则设直线的斜率是 .
答案：
分析：双曲线方程 ①
平行于渐近线的直线，与双曲线有唯一交点，
例12：已知双曲线方程为，过一点P(0，1)，作一直线l，使l与双曲线无交点，则直线l的斜率k的集合是
答案：
分析：设l的斜率为k，则直线的方程为
①
将 ① 代入到双曲线方程中得
，整理为
②
若，则可知直线l与双曲线相交。
故舍去
则方程 ② 是一个一元二次方程且无实数根
例13：双曲线右支上一点P到左右两个焦点的距离之比是5∶3，则P点右准线的距离为
A． B． C． D．
答案：D
分析：设双曲线的左，右两个焦点分别为F1、F2，则F1(－5, 0), F2(5 , 0)，
离心率
由题意得知∶
设又P点在右支上
即
根据双曲线的第二定义，设P点到右准线的距离为d，则
选D
例14：已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆相交于点A(4 , －1)，若圆在点A的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程。
解：圆的方程为，A(4 , －1)点在圆上
∴过A点的圆的切线方程为
又 ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，
∴渐近线方程为
设双曲线的方程为
将A(4,－1)的坐标代入得
所求的双曲线方程为
小结：过圆上一点A(x0 , y0)，的圆的切线方程为.求已知渐近线的双曲线方程：已知渐近线方程为时，可设双曲线方程为，再利用已知条件确定的值。实质是待定系数法。


例15：已知双曲线上有一点P，焦点为F1、F2，且，求证：
证明：如图
由双曲线定义知
在中，根据余弦定理有：
例16：斜率为2的直线l被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程。
解：设直线l的方程为
将代入得
整理得
设直线l与双曲线的两个交点坐标为，
由得
解得
所求的直线方程是
小结：在直线上两点，间的距离可用公式表示。


例17：已知P为双曲线上的动点，Q是圆上的动点，求的最小值。
分析：从圆外一点P向圆上各点连线，则连结P点与圆心C，与圆的交点为Q，线段PQ的长最短，所以只须求的最小值即可。
解：设P(x，y)为双曲线。上的任一点，
C(0, 2) 是圆的圆心。
，此时也得到最小值。
【专项训练】：（45分钟）
1、双曲线上一点P，到一个焦点的距离为12，则P到另一个焦点的距离为
2、以为渐近线，且经过点(1 , 2)的双曲线是 。
3、双曲线的离心率e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 。
4、双曲线的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角为
5、若双曲线=1的一条渐近线的倾斜角为锐角，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
6、已知双曲线的渐近线方程为，一条准线的方程为，求这双曲线方程
7、与双曲线共轭的双曲线方程是 ，它们的焦点所在的圆方程是 。
8、双曲线的离心率，则k的取值范围是
A． B． C． D．
9、椭圆与双曲线的焦点相同，则a=
10、如图，OA是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为焦点，且，，则设双曲线方程是
11、双曲线的方程是
（1）直线l的倾斜角为，被双曲线截出的弦长为，求直线l的方程。
（2）过点P(3 , 1)作直线l，使它截出的弦长恰好被点P平分，求l的方程。
【答 案】：
1、22或2，
提示：双曲线方程中，由曲线定义知
2、。
提示：以为渐近线的双曲线方程可设为。
3、3∶1。
提示：由
4、
提示：渐近线的斜率为，较小的斜率为，故得倾斜角为。
5、C
6、。
提示：因为准线平行于x轴，又中心在原点，所以可设双曲线方程为 ，由已知得，解得
双曲线方程为
7、
提示：根据概念得共轭双曲线方程，半焦距得焦点所在的圆的方程为
8、C
提示：双曲线方程为而
9、
提示：由双曲线方程知a>0，焦点在x轴上，故有可得
10、
提示：根据双曲线的几何性质知
于是
由已知可得
，从而，故双曲线方程为。
11、（1）l的方程为
（2）l的方程为
提示：（1）设l的方程 ①
把 ①代入双曲线方程，整理得
在即 ② 的情况下，设两实根 为x1 、x2，
则
∴。它满足条件 ②
∴所求l的方程为
解（2）设l与双曲线的交点为要使P(3, 1)为的中 点，应使
①－②得把③，④代入，得 由得
方程为即 ⑤
把⑤代入双曲线方程，得,∴直线l与双曲线有两个交 点，从而l方程就是
注意：必须验证l与双曲线确实有两个交点，否则解法就不完整。第二章 圆锥曲线 综合练习（2）
求曲线方程
【例题精选】
例1：点P与一定点F (2,0)的距离和它到一定直线的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程。并说明轨迹是什么图形。
分析：此题的给出恰符合圆锥曲线的统一定义，又因为其比值为 < 1。
所以轨迹是一个椭圆。
解法一：用待定系数法
根据题意有 解得a = 4
又
∴ 轨迹方程为
解法二：轨迹法
设点P, 点P到定直线的距离为
即：
化简得： 为所求方程动点P的轨迹方程。
轨迹曲线是以4为半长轴、为半短轴；中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆。
例2：已知定圆，动圆M和定圆相切，又和y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
分析：动圆和定圆外切之和，圆又和y轴相切，圆的半径用圆心 M横坐标|x|来表示，这样动点M满足的几何条件已得到，再由解析几何中的公式代换了可得到的轨迹方程。
解：设动圆圆心M
动圆半径为|x| = R′
又定圆
即
圆心（11，0）
半径R = 1
解有
即： 等式两边平方后得：
化简得：
∴ 时，轨迹方程为
时，轨迹方程为
说明：先求动点满足的几何关系，然后用解析几何中公式进行坐标论，化简方程，找到所有满足条件的点，这就是轨迹法求方程的最基本方法。
例3：已知⊙O方程为，圆外有一定点，求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹。
分析：动圆的定圆相切分外切、内切两种情况，若两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，若两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差，动点满足的几何条件找到了，轨迹方程可求。
解法一：设动圆圆心为P，定圆圆心为(0,1)，半径为1，由题可知动圆半径为。
⊙P与定⊙O作外切时，有
⊙P与⊙O内切时有
综上有
即
化简得 为所求动圆圆心的轨迹方程。
解法二：由解法一得到，这说明P点是到两个定点O (0,0)，A ( 4,0)的距离的差的绝对值都是常数1。（1 < 4）的点其轨迹是以O点A点为焦点，对称中心为
O′(2,0)，对称点为坐标轴 Ⅲ 2a = 1 2c = 4的双曲线。
∴ 轨迹方程为
说明：本题对动点满足的几何关系分析得出符合圆锥曲线的定义，故而用解法二更为简捷些。
如果本题中将“相切”改为“外切”或“内切”，则所得轨迹只能是双曲线的一支。
例4：已知椭圆与双曲线有共同的焦点，F1(0,4)，F2(0,4)，并且椭圆的长轴点是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹方程。
分析：通过椭圆和双曲线定义，建立动点满足的几何条件，再坐标化而得到轨迹方程。
或由焦点已知曲线中收为原点，坐标轴为对称轴，再需一个条件用待定系法也可求轨迹方程。
解法一：设椭圆与双曲线的交点为P ，由椭圆、双曲线定义，及已知条件得：
或
即
化简得
或
即：
化简得：
∴ 所求轨迹方程为
轨迹是两个圆除去与y轴的交点。
解法二：由题意设双曲线的实半轴长为a
则椭圆的半长就是a
又∵ c = 4
为椭圆半短轴
为双曲线的虚轴
则椭圆方程为……（1）
双曲线方程为……（2）
由（1）×4－（2）得
即 ……（3）
（3）代入（2）得：
代回（2）中消去a得
若
即
即
则所求的轨迹是两个圆除去它们与y轴的交点，方程是：
说明：解法一是将“a”当作参数引进后来后建立方程，不如解法一直接使用定义寻找到动点满足的几何关系简单。
例5：过抛物线的焦点，作直线与此抛物线的相交于两点P、Q，求线段PQ中点的轨迹方程。
分析：因过焦点的直线是过定的直线 系中除对称轴外均与直线交于两点，则这些线段均有中点，由中点坐标公式可用坐标代换法，求出轨迹方程。
解法一：设直线PQ
∵ F （1,0） 设PQ中点M
（k存在）
消x得
由中点坐标公式知
中得：
为所求的轨迹方程，（当PQ方程为时弦的中点为（0，1）符合这个方程）
解法二：放PQ的中点M P
则由中点坐标公式得
∵ P、Q点在抛物线上
∴ 有
两式相减得
∵ 焦点F（1，0）在该曲线上
∴ 为所求的轨迹方程
解法三：设P Q
∵ M点是P、Q的中点
∴
∵ P、Q两点在抛物线上
∴ 两式相减得
即：
时
其中 就表示直线PQ的斜率
∴ 代入上式中
为所求的轨迹方程
时PQ在x轴，此时方程为x = 1，弦的中点M（1，0）符合这方程。
说明：此题提供的三种解法中，解法一是通常使用的方法，本题是在化简方程组中消去“x”，但若消“y”，计算量便显得增大，故而此法较“繁杂”。解法二是能过中点坐标公式表示线段溶点长的坐标然后再消支开始引进的P点坐标中的，相当于一种逆向思维的解题方法。
解法三是求直线与圆锥曲线相交弦的中点轨迹问题，常方法这里几个主要的数量关系为：①圆锥曲线的标准方程是二元二次方程端点P、Q坐标代入后，两式相减得，若是椭圆或双曲线方程相减后为可以得到两个或一个平方差的式子，如：，而正是弦中点M的横坐标的2倍2x。同量。
②式子中当表示弦在直线的斜率，用KPQ表示。
③弦的中点也在直线PQ上，如本题有。
④式子右端为0，使继续运算比较简便。综上解法三最为简捷。此法也适用于下例。
例6：过点A（2，1）点作直线l交双曲线：于P、Q两点，求线段PQ中点的轨迹方程。
分析：这是与上例同类型的题：这里仍给出两种解法：
解法一：设PQ的中点M
则有
又直线PQ的斜率与MA的斜率相同
有
∵ P、Q在双曲线上
∴ 两式相减得：
当时有
即：
当时，过A点的弦PQ的方程为
此时弦的中点为（2，0）也符合这个方程
∴ 所求的轨迹方程为
解法二：设PQ的方程为
消去y得
∵ 双曲线的渐近线为，其斜率为
又∵PQ不平行于渐近线
∴
∴
设弦PQ的中点M
则： 即：
又∵ 代入上式中，
∴
∴ 化简得：
k不存在时，PQ方程为，弦的中点为（2，0）也符合该方程的所求的轨迹方程是
例7：已知椭圆，直线l：，P点是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足。当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：本题动点Q的运动依赖于①P点的运动。②这样两个关系，又O、Q、R、P、D点共线，可以把P点、R点的坐标分别用动点Q的坐标表示后一起代入③④⑤ 中去整理。化简得轨迹方程；另外也可以过Q、R、P三点分别做y轴的垂线，将转化成这三点纵坐标的关系，再求轨迹方程。
方法一：设Q ，Q点不在原点，
显然x,y不同是为零
①P点不在y轴时，即时
∵ R不在椭圆上
∴
又∵
∵ P点在直线l上，∴
解得：
∵
∵ x、y不同时为零
∴
∵ Q点与坐标原点O在直线l的同侧
∴
则：
即：
②P点在y轴上时，P（0，8）
k（0，4）
可得Q（0，2），Q点满足这个方程
∴ 所求的轨迹方程是
解法二：点的坐标同上，过P、R、Q分别作y轴的垂线，垂足分别记作
∵
又∵
∴
即
由题已知 三个量同号
∴
设 射线OP方程为
则
又R也在OP上，∴
代入中
化简：
∵
则为所求的轨迹方程
说明：本题解法一仍是坐标代换法的一种形式，主要是将动点的相关点的坐标用动点坐标表示后，代入联系着它们的等式中，求出动点的轨迹方程，这里因P点在直线l：上运动，而该直线与y轴可以相交，当P点在 y轴上时，R、Q也相对确定成为定值，所以在解决这个问题时，先两步，第一部P在直线l上，运动不在y轴时（完全是“动态”）情况，第二步必须再看P在y轴时Q点做为定点是否符合所求的轨迹方程。这正是容易被忽略的，必须注意。
综上，在圆锥曲线的标准方程这部分内容中，应掌握的求曲线方程的基本方法。由于求曲线方程是平面解析几何两个主要内容之一，可以题型多，方法多。但因为坐标轴平移还没学到因而涉及到园锥曲线的一般式的问题后再讲。
【综合练习】
1．动圆C过定点A（－3，0）并且和园相内切求动圆圆心的轨迹方程。
2．动圆与定圆C1：和定圆C2：都相外争，求动园圆心M的方程。
3．在△ABC中，已知B（－3，0），C（3，0），AB、AC两边上中线长的和为18，求顶点A的轨迹方程。
4．已知△ABC的三边AB、AC、AC的长成等差数列，但，B、C坐标分别为（－1，0）、（1，0），求顶点A的轨迹方程。
5．已知定点A（5，2）及定圆C：，动点P在C上运动，求线段AP中点的轨迹方程。
6．如图，A（1，0），动点P在线段O上运动，以OP、PA为边的第一象限内作正△OPE，△PAC，求AB与OC交点N的轨迹方程。
【答案及提示】
1．
2．（双曲线右支）
提示：QC1：圆心
QC1：
设动圆圆心为M
则
显然这是双曲线的右支
双曲线的中心为（3，0）
3．
提示：设A ，AB、AC中点分别为D、E
则G为△ABC的重心
∴ G点是以B、C两成为焦点的椭圆。
若 2a = 12 2c = 6 b2=27
∴
又∵
∴轨迹方程为 （除去与x轴的交点）
4．
提示：成等差数列
∴
A点是到定点B、C的距离的和为4 （且4 > 2）的点
其轨迹是以B（－1，0），C（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆
∵ 2c = 2 2a = 4
∴
∵ ABC为三角形，
∴ A点不能在x轴上（）
∴ A点轨迹方程为
5．
提示：设M , P
∴
则
即
6．
提示：见题图
设
则
直线AB：
直线OC：
∴
整理得为所求轨迹方程。第二章 圆锥曲线 专项训练
曲线和方程，曲线的交点以及圆的方程
【例题精选】：
例1 ：求直线的角平分线方程
解：
设P为角平分线上任意一点
根据角平分线的性质
P到直线的距离 相等
∴
∴
∴
∴
∴
∴所求角平分线方程为：
二、曲线的交点：
两条曲线交点的坐标是两个曲线方程组成的方程组的实数解。
例2：求直线与抛物线的交点
解：
（1）代入（2）
∴
∴
∴
把代入（1）
得
∴所求交点为
三、圆的方程：
1、圆的标准方程：
2、圆的一般方程：
例3：已知：两点
求以为直径的圆的方程。
解：
设圆方程为
∴所求圆的方程为：
例4：求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
解：
设圆方程为
∵圆和直线相切
∴圆心C到直线的距离等于
∴
∴
∴所求圆的方程为
例5：一圆与轴相切于点且过点，求圆方程。
解：
设圆方程为
由图可知：
∴
把代入（1）
∴
解得
∴所求圆方程为：
例6：半径为5的圆与轴交于
解：
设圆方程为：
如图∵
∴
∵
∴
∴
∴所求圆的方程为： 或
例7：求与两平行直线相切
且圆心在直线上的圆方程。
解：
设圆方程为：
设与两平行直线等距的直线方程为：
∴
解得
∴所求圆方程为：
例8：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆方程。
解：
设圆方程为：
∴
∴
∴所求圆方程为：
例9：求证：圆
与圆相外切
证明：
第一个圆方程可化为：
∴圆心
第二个圆方程可化为：
∴圆心
∴
又∵
∴
∴两圆相外切。
【专项训练】：
（1）已知：A（－1，－1），B（3，7）
求线段AB的垂直平分线的方程（要求用动点轨迹法）。
（2）求直线和双曲线的交点。
（3）已知：圆通过A（0，0），B（2，2），C（3，1）
求圆的方程。
（4）求以直线在两坐标轴间的线段为直径的圆方程。
（5）已知：圆过两点（0，0），（1，2）且圆心在直线上，
求圆方程。
（6）求圆心在（3，－1），且截直线所得弦长为6的圆方程。
（7）求半径为1，且与直线相切于点（1，1）的圆方程。
【答 案】：
（1）
（2）(1，2)，(－2，－1)
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）第二章 圆锥曲线 专项训练(7)
坐标变换
【例题精选】：
例1：如果曲线，经过平移坐标轴后的新方程为=1，那么新坐标的原点在原坐标系中的坐标是什么？
解：（一）待定系数法：
设代入原方程得：
代入方程得
即：新坐标的原点在原坐标系中的坐标是（1，－1）
（二）配方法：
即新坐标原点在原坐标系中的坐标是（1，－1）。
小结：从上面这个例题可以看出，对于缺少xy项的二元二次方程：
（A、C不同时为0）
利用坐标轴平移，可以使新方程没有一次项（或没有一个一次项和常数项）从而化成圆锥曲线的标准方程，配方法很简单，应熟练掌握。
例2：用坐标平移化简方程并画出新旧坐标系和方程的曲线。
解：
这就是说将原点移到（2，－3）时原方程化简为。
例3：抛物线，把坐标系xoy平移到后，抛物线方程为，求：在原坐标xoy中的坐标。
解：把代入方程
令
解得
在原坐标系中的坐标为
小结：此题所用方法叫待定系数法。
例4：平移坐标轴化简方程，并求在原坐标系下的顶点坐标，焦点坐标、准线方程、渐近线方程，对称轴方程。
解：
令代入方程得
这是焦点在轴上的标准双曲线方程。
在中 在中
顶点（－2，0）（2，0） （－3，2）（1，2）
焦点
准线方程：
渐近线方程：
即
对称轴方程
小结：作此题的几个关键步骤：
1、配方、找出新坐标原点；
2、写出在新坐标系下的各种量；
3、用对比的方法写出在原坐标系下的各种量。
例5：已知椭圆的长半轴长是5，焦点。求椭圆方程。
例6：求以（3，0）（0，0）为顶点，离心率为的双曲线方程。
解：∵双曲线的顶点为（3，0）（0，0）
∴双曲线的中心为，且焦点在x轴
∴
双曲线方程为∴
例7：焦点F（1，－1），准线方程为，求抛物线方程。
解：∵F（1，－1），准线方程为
∴抛物线应为焦点在的直线上且开口向左，即
∵焦点到准线的距离
∴抛物线的中心，即抛物线的顶点坐标为（2，－1）
∴抛物线方程为
小结：作上面这几个求曲线方程的过程中可总结出一般步骤：
1、根据条件确定中心、定型；
2、根据过去所学过的知识确定各种量；
3、写出方程。
同时，用画图的方法也可帮助求出各种量。
例8：求与椭圆有公共焦点，离心率为的双曲线方程。
解：分析，有共同的焦点，则说明它们有共同的中心（2，－3）同时焦点也在x轴上，则方程为。
双曲线方程为
例9：双曲线的渐近线方程为，，准线方程为。求双曲线方程：
解：分析：渐近线的交点应为双曲线的中心，由准线方程可定型为II型，再由斜率和之间的关系即可求出方程：
解得：
∴双曲线的中心为（2，1）
∴设双曲线的方程为
∵
∴
∵，∴
∵
∴
解得：
∴双曲线方程为
小结：在这道题中主要要注意准线方程，要相对于曲线中心，求距离。
例10：平移椭圆使它左准线成为右准线，且椭圆中心在直线上。求：椭圆的新方程。
解：分析：可以画图帮助分析，由于只是平移，因此只要找出中心位置即可。
由题意将中心o平移至
∵需将左准线改为右准线
∴
例11：已知一条与y轴平行的直线与曲线交于A、B两点，曲线中心为。求面积的最大值。
解：先找出坐标，即将曲线方程配方
从图形中可以发现的面积可以由线段AB和OH计算，AB为弦长，应在新坐标系下求比较简单。
令
∴在新坐标下的方程为
②代入①
找出了表达式，研究最值可以采用均值定理或配方法。
当且仅当可取到最大值1。
用不等式证明要注意条件，同时要在定义域范围之内，在此题中定义域为可以取到。
如果用配方法：
时有最大值1
小结：通过此题可以看到利用平移可以简化计算。
【专项训练】：
填空题：
1、给定点平移坐标轴使原点移至 才能使M的新坐标为。
2、椭圆的焦距是 ，准线方程是 。
3、椭圆的中心是点 ，长轴在直线 上。
4、双曲线的离心率等于 ，焦点坐标 ，准线方程 。
5、抛物线的焦点在轴上，则m的值为 。
6、一个焦点为（－15，4），相应准线为，离心率为的椭圆方程为
。
【答案】：
一、填空题：
1、
2、
3、
4、
5、 解：配方
则新系下的方程为
在新系下的焦点，则在原系下的焦点坐标为
已知F在x轴上，所以。
6、解：从已知条件中要找到三者之间的关系。设焦点到准线间的距离为p。
解方程组得到
再由椭圆中心到焦点（－15，4）的距离为12，则（－3，4）
椭圆方程为