第十八章 平行四边形章末复习：微专题6 正方形中全等三角形的证明（含答案）

微专题6正方形中全等三角形的证明
1.如图，正方形ABCD中，P为BC上一点，且∠BAP＝22.5°，PC＝2，求AB.

2.如图，正方形ABCD的边长为2，G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4
(1)求证:△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长
3.如图，正方形ABDE和正方形ACFG中，DM⊥BC，FN⊥BC.求证：BC＝DM＋FN

如图，正方形ABCD中，P是BC上一点，E是BC延长线上一点.
(1)若PA＝PQ且PA⊥PQ，求证：CQ平分∠DCE
(2)若?PA⊥PQ，CQ平分∠DCE，求证：PA＝PQ

5.如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点(不与C、D重合)，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.
(1)判断△AEF的形状并证明；
(2)连接EF，取EF的中点M，连接BM，当E在CD上移动时，BM与CE之间是否存在某种确定的数量关系?请写出结论并证明；
(3)在(2)的条件下求false的值;
(4)以BF为边作正方形BFHG，AF与CG相交于P点，当点E在边CD上运动时(不与C、D重合)，问∠APD的大小是否发生变化?若不变，请求其值；若变化，请说明理由.

微专题6正方形中全等三角形的证明
1.如图，正方形ABCD中，P为BC上一点，且∠BAP＝22.5°，PC＝2，求AB.
解：连接AC，过P作PE⊥AC
∵四边形ABCD为正方形
∴∠BAP＝∠EAP＝22.5°∠B＝∠AEP＝90°
又∵AP＝AP ∴△ABP≌△AEP(AAS)
∴∠EPC＝180°－∠BPA－∠EPA＝45°.
∴BP＝EP,∠BPA＝∠EPA＝90°－∠BAP＝67.5°
∴∠EPC＝∠ECP
又∵PE⊥CE，PC＝2 ∴PE＝false，BP＝false，∴AB＝BC＝2＋false

2.如图，正方形ABCD的边长为2，G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4
(1)求证:△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长
(1)证明:∵∠1＝∠2,∠3＝∠4,AB＝AD
∴△ABE≌△DAF(ASA)
(2)解：∵四边形ABCD为正方形
∴AD∥BC,∠ABG＝90°
∴∠1＝∠AGB＝30°,∠4＝90°－∠AGB＝60°
∴∠2＋∠4＝∠1＋∠3＝90°
∴BE⊥AG,DF⊥AG
∵AE＝1，AF＝false，则EF＝AF－AE＝false－1
3.如图，正方形ABDE和正方形ACFG中，DM⊥BC，FN⊥BC.求证：BC＝DM＋FN
证明：过点A作AP⊥BC
∵四边形ABDE为正方形
∴DB⊥AB且DB＝AB ∴∠DBM＋∠PBA＝90°
又∵DM⊥BC
∴∠MDB＋∠DBM＝90°∵∠MDB＝∠PBA
又∵AP⊥BC
∴∠M＝∠APB
又∵DB＝AB
∴△MDB≌△PBA(AAS) ∴DM＝BP
同理可得FN＝PC
∴BC＝BP＋PC＝DM＋FN

4.如图，正方形ABCD中，P是BC上一点，E是BC延长线上一点.
(1)若PA＝PQ且PA⊥PQ，求证：CQ平分∠DCE
(2)若?PA⊥PQ，CQ平分∠DCE，求证：PA＝PQ
证明：在线段AB上取点N，使得AN＝PC，连PN
(1)∵PA⊥PQ ∴∠APB＋∠QPC＝90°
又∵四边形ABCD为正方形 ∴∠B＝90°AB＝BC，∴∠PAN＋∠APB＝90°∴∠PAN＝∠QPC
又∵AN＝PC,PA＝PQ ∴△PAN≌△QPC(SAS) ∴∠ANP＝∠PCQ
∵AB＝BC，AN＝PC，∴BN＝BP
∴∠BNP＝45°∴∠ANP＝135°＝∠PCQ ∴∠QCE＝45° ∴CQ平分∠DCE
(2) ∵CQ平分∠DCE ∴∠QCE＝45°
又∵四边形ABCD为正方形 ∴∠PCD＝90 ∵∠PCQ＝135°
由(1)知∠ANP＝135°＝∠PCQ ∠PAN＝∠QPC
又∵AN＝PC ∴△PAN△QPC(ASA) ∴PA＝PO

5.如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点(不与C、D重合)，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.
(1)判断△AEF的形状并证明；
(2)连接EF，取EF的中点M，连接BM，当E在CD上移动时，BM与CE之间是否存在某种确定的数量关系?请写出结论并证明；
(3)在(2)的条件下求false的值;
(4)以BF为边作正方形BFHG，AF与CG相交于P点，当点E在边CD上运动时(不与C、D重合)，问∠APD的大小是否发生变化?若不变，请求其值；若变化，请说明理由.

解：(1)△AEF为等腰直角三角形
证明：∵四边形ABCD为正方形
∴∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°,AB＝AD ∴∠BAE＋∠DAE＝90°
∴∠ABF＝90
又∵AF⊥AE ∴∠BAF＋∠BAE＝90°∴∠BAF＝∠DAE
又∵AB＝AD,∠ABF＝∠ADE＝90°
∴△ABP≌△ADE(AAS)，∴AF＝AE ∴△AEF为等腰直角三角形
(2)CE＝falseBM
证明：在BC上截取CN＝EC，连接EN，∴DE＝BN，由(1)知BF＝DE＝BN ∴BM为△FNE中位线
∴BM＝falseNE，而NE＝falseCE，∴CE＝falseBM
(3) false＝false＝false＝false＝false
(4)可证△CGB≌△AFB ∴可得CP⊥AF，且CG＝AF 过D作DR⊥PD交PC的延长线于R.
∵∠APC＝∠PDR＝90° ∴∠APD＝∠CRD ∵∠ADC＝∠PDR ∴∠ADP＝∠CDR 又∵AD＝CD，∴△DAP≌△DCR(AAS), ∴PD＝DR ∴∠DPF＝45°∴∠APD＝45°