第十八章 平行四边形章末复习：微专题7 正方形中45°角的问题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第十八章 平行四边形章末复习：微专题7 正方形中45°角的问题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 152.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-20 16:35:17 | ||
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文档简介
微专题7 正方形中45°角的问题
1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，CA平分∠BCD，若AC＝6false，BD＝5，求四边形ABCD的面积.
2.如图，在四边形AECD中，∠E＝∠C＝90°，AE＝CE，M为EC上一点，若∠MAD＝45°，CD＝6，
CM＝8，求EM的长.
3.如图，在正方形ABCD中，E为CD中点, ∠1＝∠2.(1)求证：AE＝45°(2)求false
4.如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的一动点，连接BE.将△ABE沿直线BE折叠，A落在正方形ABCD形内的点F，直线CF交直线BE于P，求证：CF＝falsePD
5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，EF=false，点G、H别为AB、CD边上的点，连接GH，若线段GH与EF的夹角为45°，求GH的长．
6．已知，正方形ABCD中，点M、N为AB、CD上的点，AP⊥M于E，交BC于P．
(1)如图1，求证：AP=MN；
(2)如图2，若EA=EF，连CF，点G为CF中点，连DG、DE，求证：DE=falseDG；
(3)在(2)的条件下，若DA=DE，且DN=false，BM=2，则DG=false．
7．点P为正方形ABCD外一点
(1)如图1，∠APB=45°，∠ABP=30°，求证：AB=falseAP
(2)如图2，PB平分∠APC，AE⊥BP，连DP，求证：PB+PD=2BE；
(3)如图3，AB=1，PA//BD，PB=BD，则PA=false；∠APB=30°
微专题7 正方形中45°角的问题
1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，CA平分∠BCD，若AC＝6false，BD＝5，求四边形ABCD的面积.
解：过点A作AQ⊥CD，AP⊥BC，垂足分别为Q、P，则四边形AQCP为正方形
延长BP至G，使GP＝DQ，易证△AGP≌△ADQ(SAS)，则AG＝AD，∠GAP＝∠DAQ
由∠BAD＝45°可得∠GAB＝45°，则△GAB≌△BAD(SAS)∴BD＝GB
s＝S正方形APCQ－S△AGB＝36－falseGB×AP＝36－false×5×6＝21
2.如图，在四边形AECD中，∠E＝∠C＝90°，AE＝CE，M为EC上一点，若∠MAD＝45°，CD＝6，
CM＝8，求EM的长.
解：延长CD，作AF⊥CD于点F，则四边形AECF为正方形
延长CF至B，使BF＝ME，易证△AEM≌△AFB(SAS)，则AM＝AB，∠EAM＝∠FAB
由∠BAD＝45°,则∠EAM＋∠DAF＝45°
∴∠DAB＝45°,则△MAD≌△BAD(SAS) ∴BD＝MD＝10
设EM＝x ∴DF＝10－x＝8＋x－6； x＝4，即EM＝4
3.如图，在正方形ABCD中，E为CD中点, ∠1＝∠2.(1)求证：AE＝45°(2)求false
(1)证明：过A作AM⊥EF ∵AB∥CD ∴∠AED＝∠1
∵∠1＝∠2 ∴∠AED＝∠2 又∵AE＝AE ∠D＝∠AME＝90°
∴△AEM≌△AED(AAS) ∴AM＝AD ∠MAE＝∠DAE
同理可证△ABF≌△AMF ∴∠BAF＝∠FAM ∴∠FAE＝false∠BAD＝45°
(2)解：设正方形边长为2a BF＝x ∵E为CD中点，∴DE＝CE＝a，CF＝2a－x
由(1)知FE＝BF＋DE＝a＋x 在Rt△CEP中，由勾股定理得a2＋(2a－x)2＝(a＋x)2
∴x＝false∴false＝false
4.如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的一动点，连接BE.将△ABE沿直线BE折叠，A落在正方形ABCD形内的点F，直线CF交直线BE于P，求证：CF＝falsePD
证明：作DQ⊥PC，BH⊥FC，易证△DQC≌△CHB ∴DQ＝HC＝HF
易证BH＝HP＝QC ∴PQ＝HC＝HF ∴PD＝falsePQ＝falseHC
而FC＝2HC，∴?FC＝falsePD
5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，EF=false，点G、H别为AB、CD边上的点，连接GH，若线段GH与EF的夹角为45°，求GH的长．
解：过B作BM//EF，BN//GH由题意得∠MBN=45
∴AM+CN=MN
又∵EF=false，AB=2，∴AM=1，设NC=x
∴DN=2－x，MN=x+1∴(x+1)2=(2－x)2+1，∴x=false
∴GH=BN=false
6．已知，正方形ABCD中，点M、N为AB、CD上的点，AP⊥M于E，交BC于P．
(1)如图1，求证：AP=MN；
(2)如图2，若EA=EF，连CF，点G为CF中点，连DG、DE，求证：DE=falseDG；
(3)在(2)的条件下，若DA=DE，且DN=false，BM=2，则DG=false．
证明：(1)作BF//MN，∴四边形MBFN为平行四边形∴MN=BF
可证△BFC≌△APB，∴BF=AP，∴AP=MN
(2)连EG并延长使得EG=QG，连CQ，∴CQ平行且等于EF
连DQ，可证∠DCQ=∠CNE=∠EAD且CQ=EF=AE
∴易证△DAE≌△DCQ，∴DE⊥DQ且DE=DQ
∴△DEG为等腰Rt△，∴DE=falseDG
7．点P为正方形ABCD外一点
(1)如图1，∠APB=45°，∠ABP=30°，求证：AB=falseAP
(2)如图2，PB平分∠APC，AE⊥BP，连DP，求证：PB+PD=2BE；
(3)如图3，AB=1，PA//BD，PB=BD，则PA=false；∠APB=30°
证明：(1)作AM⊥BP，设AM=a
AP=falsea，而AB=2a，∴AB=falseAP
(2)作BM⊥PC，BN⊥AP
∴BP平分∠APC，∴BN=BM，又∵BA=BC，∴△ABN≌△CBM，∴∠MAB=∠MCB
∴∠BAP+∠BCP=180°，∴∠ABC+∠APC=180°，∴∠APB=∠BPC=45°
作CQ⊥PC交PB的延长线于点Q，可证△PDC≌△QBC
∴∠Q=∠DPC=45°，∴PD+PB=falsePC
过C作CH⊥BP，可证CH=BE
又∵PC=falseHC，∴PC=falseBE，∴PB+PD=2BE
1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，CA平分∠BCD，若AC＝6false，BD＝5，求四边形ABCD的面积.
2.如图，在四边形AECD中，∠E＝∠C＝90°，AE＝CE，M为EC上一点，若∠MAD＝45°，CD＝6，
CM＝8，求EM的长.
3.如图，在正方形ABCD中，E为CD中点, ∠1＝∠2.(1)求证：AE＝45°(2)求false
4.如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的一动点，连接BE.将△ABE沿直线BE折叠，A落在正方形ABCD形内的点F，直线CF交直线BE于P，求证：CF＝falsePD
5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，EF=false，点G、H别为AB、CD边上的点，连接GH，若线段GH与EF的夹角为45°，求GH的长．
6．已知，正方形ABCD中，点M、N为AB、CD上的点，AP⊥M于E，交BC于P．
(1)如图1，求证：AP=MN；
(2)如图2，若EA=EF，连CF，点G为CF中点，连DG、DE，求证：DE=falseDG；
(3)在(2)的条件下，若DA=DE，且DN=false，BM=2，则DG=false．
7．点P为正方形ABCD外一点
(1)如图1，∠APB=45°，∠ABP=30°，求证：AB=falseAP
(2)如图2，PB平分∠APC，AE⊥BP，连DP，求证：PB+PD=2BE；
(3)如图3，AB=1，PA//BD，PB=BD，则PA=false；∠APB=30°
微专题7 正方形中45°角的问题
1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，CA平分∠BCD，若AC＝6false，BD＝5，求四边形ABCD的面积.
解：过点A作AQ⊥CD，AP⊥BC，垂足分别为Q、P，则四边形AQCP为正方形
延长BP至G，使GP＝DQ，易证△AGP≌△ADQ(SAS)，则AG＝AD，∠GAP＝∠DAQ
由∠BAD＝45°可得∠GAB＝45°，则△GAB≌△BAD(SAS)∴BD＝GB
s＝S正方形APCQ－S△AGB＝36－falseGB×AP＝36－false×5×6＝21
2.如图，在四边形AECD中，∠E＝∠C＝90°，AE＝CE，M为EC上一点，若∠MAD＝45°，CD＝6，
CM＝8，求EM的长.
解：延长CD，作AF⊥CD于点F，则四边形AECF为正方形
延长CF至B，使BF＝ME，易证△AEM≌△AFB(SAS)，则AM＝AB，∠EAM＝∠FAB
由∠BAD＝45°,则∠EAM＋∠DAF＝45°
∴∠DAB＝45°,则△MAD≌△BAD(SAS) ∴BD＝MD＝10
设EM＝x ∴DF＝10－x＝8＋x－6； x＝4，即EM＝4
3.如图，在正方形ABCD中，E为CD中点, ∠1＝∠2.(1)求证：AE＝45°(2)求false
(1)证明：过A作AM⊥EF ∵AB∥CD ∴∠AED＝∠1
∵∠1＝∠2 ∴∠AED＝∠2 又∵AE＝AE ∠D＝∠AME＝90°
∴△AEM≌△AED(AAS) ∴AM＝AD ∠MAE＝∠DAE
同理可证△ABF≌△AMF ∴∠BAF＝∠FAM ∴∠FAE＝false∠BAD＝45°
(2)解：设正方形边长为2a BF＝x ∵E为CD中点，∴DE＝CE＝a，CF＝2a－x
由(1)知FE＝BF＋DE＝a＋x 在Rt△CEP中，由勾股定理得a2＋(2a－x)2＝(a＋x)2
∴x＝false∴false＝false
4.如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的一动点，连接BE.将△ABE沿直线BE折叠，A落在正方形ABCD形内的点F，直线CF交直线BE于P，求证：CF＝falsePD
证明：作DQ⊥PC，BH⊥FC，易证△DQC≌△CHB ∴DQ＝HC＝HF
易证BH＝HP＝QC ∴PQ＝HC＝HF ∴PD＝falsePQ＝falseHC
而FC＝2HC，∴?FC＝falsePD
5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，EF=false，点G、H别为AB、CD边上的点，连接GH，若线段GH与EF的夹角为45°，求GH的长．
解：过B作BM//EF，BN//GH由题意得∠MBN=45
∴AM+CN=MN
又∵EF=false，AB=2，∴AM=1，设NC=x
∴DN=2－x，MN=x+1∴(x+1)2=(2－x)2+1，∴x=false
∴GH=BN=false
6．已知，正方形ABCD中，点M、N为AB、CD上的点，AP⊥M于E，交BC于P．
(1)如图1，求证：AP=MN；
(2)如图2，若EA=EF，连CF，点G为CF中点，连DG、DE，求证：DE=falseDG；
(3)在(2)的条件下，若DA=DE，且DN=false，BM=2，则DG=false．
证明：(1)作BF//MN，∴四边形MBFN为平行四边形∴MN=BF
可证△BFC≌△APB，∴BF=AP，∴AP=MN
(2)连EG并延长使得EG=QG，连CQ，∴CQ平行且等于EF
连DQ，可证∠DCQ=∠CNE=∠EAD且CQ=EF=AE
∴易证△DAE≌△DCQ，∴DE⊥DQ且DE=DQ
∴△DEG为等腰Rt△，∴DE=falseDG
7．点P为正方形ABCD外一点
(1)如图1，∠APB=45°，∠ABP=30°，求证：AB=falseAP
(2)如图2，PB平分∠APC，AE⊥BP，连DP，求证：PB+PD=2BE；
(3)如图3，AB=1，PA//BD，PB=BD，则PA=false；∠APB=30°
证明：(1)作AM⊥BP，设AM=a
AP=falsea，而AB=2a，∴AB=falseAP
(2)作BM⊥PC，BN⊥AP
∴BP平分∠APC，∴BN=BM，又∵BA=BC，∴△ABN≌△CBM，∴∠MAB=∠MCB
∴∠BAP+∠BCP=180°，∴∠ABC+∠APC=180°，∴∠APB=∠BPC=45°
作CQ⊥PC交PB的延长线于点Q，可证△PDC≌△QBC
∴∠Q=∠DPC=45°，∴PD+PB=falsePC
过C作CH⊥BP，可证CH=BE
又∵PC=falseHC，∴PC=falseBE，∴PB+PD=2BE