第1章
解三角形
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
利用正、余弦定理解三角形
【例1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a
cos
B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
[解] (1)证明：由正弦定理得sin
B＋sin
C＝2sin
A
cos
B，故2sin
A
cos
B＝sin
B＋sin
(A＋B)＝sin
B＋sin
A
cos
B＋cos
A
sin
B，于是sin
B＝sin
(A－B).
又A，B∈(0，π)，故0
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝，得ab
sin
C＝，故有
sin
B
sin
C＝sin
2B＝sin
B
cos
B，
因为sin
B≠0，所以sin
C＝cos
B，
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.
1．如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos
∠ADC＝.
(1)求sin
∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
[解] (1)在△ADC中，
因为cos
∠ADC＝，
所以sin
∠ADC＝.
所以sin
∠BAD＝sin
(∠ADC－∠B)
＝sin
∠ADC
cos
B－cos
∠ADC
sin
B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理，得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos
B
＝82＋52－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．
[解] 法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，
得2sin
B＝sin
A＋sin
C.
∵B＝60°，∴A＋C＝120°.
∴2sin
60°＝sin
(120°－C)＋sin
C.
展开整理得sin
C＋cos
C＝1.
∴sin
(C＋30°)＝1.
∵0°∴C＋30°＝90°.
∴C＝60°，则A＝60°.
∴△ABC为等边三角形．
法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac
cos
B.
∵B＝60°，b＝，
∴＝a2＋c2－2ac
cos
60°，
化简得(a－c)2＝0.
∴a＝c.
又B＝60°，∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形．
根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系．判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．
2．在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．
[解] 由已知＝＝＝，得＝.
可有以下两种解法．
法一：(利用正弦定理，将边化角)
由正弦定理得＝，∴＝，即sin
C
cos
C＝sin
B
cos
B，
即sin
2C＝sin
2B.
∵B，C均为△ABC的内角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.
即B＝C或B＋C＝90°.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
法二：(利用余弦定理，将角化边)
∵＝，
∴由余弦定理得＝，
即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2).
∴a2c2－c4＝a2b2－b4，
即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0.
∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，
即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0.
∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，
即b＝c或a2＝b2＋c2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
正、余弦定理的实际应用【例3】
如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8
km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5
km.
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1
km)
(参考数据：≈1.73，sin
75°≈0.97，cos
75°≈0.26，tan
75°≈3.73，sin
53°≈0.80，cos
53°≈0.60，tan
53°≈1.33，sin
38°≈0.62，cos
38°≈0.79，tan
38°≈0.78)
思路探究：(1)以BD为边的三角形为△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB.
(2)以CD为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．
[解] (1)设BD＝x
km，则在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8x
cos
30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.因为4＋3>8，应舍去，所以x＝4－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9
km.
(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以sin
∠ABD＝sin
∠CBD＝·sin
∠ADB＝＝0.8，所以cos
∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin
∠DCB＝sin
(∠CBD＋∠BDC)＝sin
(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin
∠DBC×≈3.9.故景点C与景点D之间的距离约为3.9
km.
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．
3．如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20
km和54
km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8
s后监测点A，20
s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5
km/s.
(1)设A到P的距离为x
km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01
km).
[解] (1)由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km).
∴PB＝x－12，PC＝18＋x.
在△PAB中，AB＝20
km，
cos
∠PAB＝
＝＝.
同理cos
∠PAC＝.
∵cos
∠PAB＝cos
∠PAC，
∴＝，解得x＝.
(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PA
cos
∠APD＝PA
cos
∠PAB＝x·＝≈17.71(km).
所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71
km.
与三角形有关的综合问题
[探究问题]
1．如图所示，向量与的夹角是∠B吗？在△ABC中，·的数量积与余弦定理有怎样的联系？
[提示] 向量与的夹角是∠B的补角，大小为180°－∠B，由于·＝||·||cos
A＝bc
cos
A.
所以·＝bc
cos
A＝(b2＋c2－a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题．
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？
[提示] 用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论．
【例4】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos
B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos
(B－C)的值．
思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．
(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．
[解] (1)由·＝2得ca
cos
B＝2.
又cos
B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2ac
cos
B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin
B＝＝＝，由正弦定理，得sin
C＝sin
B＝×＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos
C＝＝＝.
于是cos
(B－C)＝cos
B
cos
C＋sin
B
sin
C
＝×＋×＝.
1．(变条件，变结论)将本例中的条件“a>c，·＝2，cos
B＝，b＝3”变为“已知S△ABC＝30且cos
A＝”求·的值．
[解] 在△ABC中，cos
A＝，
∴A为锐角且sin
A＝，
∴S△ABC＝bc
sin
A＝bc·＝30.
∴bc＝156.
∴·＝||·||cos
A
＝bc
cos
A＝156×＝144.
2．(变条件，变结论)在“母题探究1”中再加上条件“c－b＝1”能否求a的值？
[解] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc
cos
A＝(b－c)2＋2bc(1－cos
A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝＝5.
正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．
(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．
(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．
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1
-第3课时 三角形中的几何计算
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握三角形的面积公式的应用．(重点)2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)
1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算素养．2.借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象素养．
1．三角形的面积公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；
(2)S＝ab
sin
C＝bc
sin
A＝ca
sin
B；
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径).
思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？
(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？
[提示] (1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．
2．三角形中常用的结论
(1)A＋B＝π－C，＝－；
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
(4)三角形中的诱导公式
sin
(A＋B)＝sin
C，cos
(A＋B)＝－cos
C，
tan
(A＋B)＝－tan
C，
sin
＝cos
，cos
＝sin
．
1．下列说法中正确的是
(填序号).
①已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；
②在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝，则A＝60°；
③在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6；
④在△ABC中，若sin
2A＝sin
2B，则A＝B.
③ [①中三角形的面积S＝(a＋b＋c)r.
②由S＝bc
sin
A可得sin
A＝，
∴A＝60°或120°.
④在△ABC中由sin
2A＝sin
2B得A＝B或A＋B＝.]
2．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积为
．
9 [由题知A＝180°－120°－30°＝30°，由＝知b＝6，∴S＝ab
sin
C＝18×＝9.]
3．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为
．
3 [由题知S△ABC＝ab
sin
C＝15得sin
C＝.
又由＝2R得c＝2×＝3.]
三角形面积的计算
【例1】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos
A＝，b＝.
(1)求sin
C的值；
(2)求△ABC的面积．
[解] (1)∵角A，B，C为△ABC的内角，且B＝，
cos
A＝，∴C＝－A，sin
A＝.
∴sin
C＝sin
＝cos
A＋sin
A＝.
(2)由(1)知sin
A＝，sin
C＝.
又∵B＝，b＝，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.
∴△ABC的面积S＝ab
sin
C＝×××＝.
1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用．
2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．
1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin
A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为( )
A．6
B．3
C．2
D．2或3
D [因为S△ABC＝bc
sin
A＝2，
所以bc＝6，又因为sin
A＝，
所以cos
A＝，又a＝3，
由余弦定理得9＝b2＋c2－2bc
cos
A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.]
三角恒等式证明问题
【例2】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
证明：＝.
思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开．
[证明] 法一：(边化角)由余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc
cos
A，b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，∴a2－b2＝b2－a2－2bc
cos
A＋2ac
cos
B，
整理得：＝.
依正弦定理有＝，＝，
∴＝＝.
法二：(角化边)＝
＝＝＝.
1．三角恒等式证明的三个基本原则
(1)统一边角关系．
(2)由繁推简．
(3)目标明确，等价转化．
2．三角恒等式证明的基本途径
(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．
(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．
2．在△ABC中，求证：＝.
[证明] 由正弦定理得
右边＝
＝
＝
＝＝＝左边．
∴原等式成立．
解三角形中的综合问题
[探究问题]
1.如图所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，∠B是哪些三角形的内角？
[提示] 在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段AD是△ADC与△ABD的公共边，∠B既是△ABC的内角，又是△ABD的内角．
2．在探究1中，若sin
B＝sin
∠ADB，则△ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知∠ADB＝α，AB＝m，DC＝n，如何求出AC?
[提示] 若sin
B＝sin
∠ADB，则△ABD为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC.
【例3】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，b
sin
－c
sin
＝a.
(1)求证：B－C＝；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
思路探究：(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知等式即证．
(2)结合第(1)问可直接求出B，C，再利用面积公式求值．
[解] (1)证明：由b
sin
－c
sin
＝a，应用正弦定理，得sin
B
sin
－sin
C
sin
(＋B)＝sin
A，所以sin
B(sin
C＋cos
C)－sin
C(sin
B＋cos
B)＝，
整理得sin
B
cos
C－cos
B
sin
C＝1，
即sin
(B－C)＝1，因为0(2)因B＋C＝π－A＝，所以B＝，C＝.
由a＝，A＝得b＝＝2sin
，c＝＝2sin
，所以△ABC的面积S＝bc
sin
A＝sin
·sin
＝cos
sin
＝.
(变条件，变结论)将例题中的条件“A＝，b
sin
－c
sin
＝a”改为“△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)”．求：
(1)角C的大小；
(2)求sin
A＋sin
B的最大值．
[解] (1)由题意可知ab
sin
C＝×2ab
cos
C.
所以tan
C＝，因为0所以C＝.
(2)由已知sin
A＋sin
B＝sin
A＋sin
＝sin
A＋sin
＝sin
A＋cos
A＋sin
A
＝sin
≤，
当A＝，即△ABC为等边三角形时取等号．所以sin
A＋sin
B的最大值为.
1．解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键．
2．三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用．
处理三角形问题时常用的公式
(1)l＝a＋b＋c(l为三角形的周长).
(2)A＋B＋C＝π.
(3)三角形内切圆的半径：r＝.特别地，当△ABC为直角三角形，c为斜边时，r＝.
(4)三角形的面积S＝，这里p＝(a＋b＋c)，这就是著名的海伦一秦九韶公式．
(5)三角形的面积S＝＝2R2sin
A
sin
B
sin
C(R为△ABC外接圆的半径).
1．判断正误
(1)公式S＝ab
sin
C适合求任意三角形的面积．
( )
(2)三角形中已知三边无法求其面积．
( )
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] 已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错．
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
C＝，b
cos
A＋a
cos
B＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A．4
π B．8
π C．9
π D．36
π
C [由余弦定理及题意得
b·＋a·＝2，
即＝2，
整理得c＝2，由cos
C＝得sin
C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π.]
3．在△ABC中，已知B＝，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为
．
5 [在△ADC中，∵AD＝10，AC＝14，DC＝6，
∴cos
∠ADC＝＝＝－.
又∵∠ADC∈(0，π)，∴∠ADC＝，
∴∠ADB＝.
在△ABD中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝5.]
4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinA
sin
C.
(1)若a＝b，求cos
B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
[解] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos
B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，
故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.
所以△ABC的面积为××＝1.
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8
-第2课时 角度问题
学
习
目
标
核
心
素
养
1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题．(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题．(难点)3.能根据题意画出几何图形．(易错点)
通过研究利用正弦定理和余弦定理在解决与角度有关的实际问题，提升学生的数学建模与数学运算素养．
方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示).
从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示).
方位角的取值范围：[0°，360°)．
思考：方位角的范围为什么不是(0，π)?
[提示] 方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是[0，2π).
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是( )
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
B [由仰角与俯角的水平线平行可知α＝β.]
2．在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60°，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )
A．10°
B．50°
C．120°
D．130°
D [如图所示：
∠BAC＝130°.]
3．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3千米到B处，再沿正东方向行走2千米到C处，则A、C两地的距离为________千米．
7 [如图所示，由题意可知
AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3×2·cos
150°＝49，AC＝7.所以A，C两地的距离为7千米．]
,角度问题
【例1】 (1)如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6
m，下底长为10
m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( )
A．，60°
B．，60°
C．，30°
D．，30°
(1)D (2)B [(1)由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10
m，CD＝6
m，高DE＝2
m，则AE＝＝2
m，
∴tan
∠DAE＝＝＝，
∴∠DAE＝60°.]
测量角度问题画示意图的基本步骤
1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20
km/h；水的流向是正东，流速是20
km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东
，大小为
km/h.
60° 20 [
如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos
120°＝1
200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.]
求航向的角度
【例2】 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？
②在△ABC中，能求出BC与∠ABC吗？
③在△BCD中，如何求出∠BCD?
[解] 设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos
120°＝6，
∴BC＝，且sin
∠ABC＝·sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin
∠BCD＝＝
＝，∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在上时，用正、余弦定理皆可．
2．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a
n
mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n
mile?
[解]
如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x
n
mile，则AC＝x，
由正弦定理得sin
θ＝＝，而θ<60°，∴θ＝30°，
∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.
∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a
n
mile.
求解速度问题
[探究问题]
1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4
km，从B到C，方位角是120°，距离是8
km，从C到D，方位角是150°，距离是3
km，试画出示意图．
[提示] 如图所示：
2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？
[提示] 在上图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝
＝4，则此人的最小速度为v＝＝8(km/h).
3．在探究1中若投递员以24
km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16
km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？
[提示] 投递员到达C点的时间为t1＝＝(时)＝30(分)，追投递员的人所用时间由探究2可知
t2＝＝(时)＝15分；由于30>15＋10，所以此人在C点
【例3】 如图所示，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里/时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin
θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)
思路探究：根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决．
[解] 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，
则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，
由余弦定理得，
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，即128t2－60t－27＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)，
∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里).
根据正弦定理，
得sin
∠BAC＝＝，
则cos
∠BAC＝＝.
又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，
sin
θ＝sin
(45°－∠BAC)
＝sin
45°cos
∠BAC－cos
45°sin
∠BAC＝.
(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．
[解]
设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，
∠ABC＝135°.
由正弦定理得＝，
即＝.
所以x＝＝
＝14海里/时．
故乙船的速度为14海里/时．
解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．
正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
1．判断正误
(1)如图所示，该角可以说成北偏东110°.
( )
(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.
( )
(3)方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)说成南偏东70°或东偏南20°.(2)方位角的范围是[0，2π).
2．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( )
A．北偏西34°27′
B．北偏东55°33′
C．北偏西55°33′
D．南偏西34°27′
A [由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.]
3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东5°
B．北偏西10°
C．南偏东5°
D．南偏西10°
B [由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.]
4．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α＜β)，则点A离地面的高度AB等于( )
A．
B．
C．
D．
A [结合题图可知∠DAC＝β－α.
在△ACD中，由正弦定理得
＝，
∴AC＝＝.
在Rt△ABC中，
AB＝AC
sin
β＝.]
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-
1
-1.2 应用举例
第1课时 解三角形的实际应用举例
学
习
目
标
核
心
素
养
1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)
通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养．
1．基线的概念与选择原则
(1)定义
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．
(2)性质
在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
[提示] 利用正弦定理和余弦定理．
2．测量中的有关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示).
(2)方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)
(3)视角
从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图所示，视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度．
思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？
[提示] 东南方向．
1．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为( )
A．α＋β
B．α－β
C．β－α
D．α
C [如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]
2．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据( )
A．α，a，b
B．α，β，a
C．a，b，γ
D．α，β，b
C [选择a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝求解．]
3．某人先向正东方向走了x
km，然后他向右转150°，向新的方向走了3
km，结果他离出发点恰好为
km，那么x的值为( )
A．
B．2
C．2或
D．3
C [如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6x
cos
30°，
即x2－3x＋6＝0，解之得x＝2或.]
4．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60
m，则树的高度为( )
A．(30＋30)m
B．(30＋15)m
C．(15＋30)m
D．(15＋3)m
A [由正弦定理可得＝，则PB＝＝(m)，设树的高度为h，则h＝PB
sin
45°＝(30＋30)m.]
测量距离问题
【例1】 海上A，B两个小岛相距10
海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A．10
海里
B．海里
C．5海里
D．5海里
D [
根据题意，可得如图所示．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.
由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里).]
三角形中与距离有关的问题的求解策略
(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．
(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．
1．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120
m，则河的宽度为
m.
60 [由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽＝BD＝120·sin
30°＝60(m).]
测量高度问题
【例2】 (1)如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100
m，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100
m
B．50
m
C．50
m
D．50(＋1)m
(2)在一幢20
m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )
A.20
m
B．20(1＋)m
C．10(＋)m
D．20(＋)m
思路探究：(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解．
(2)解决本题关键是画出示意图．
(1)D (2)B [(1)设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝h，∴h－h＝100，即h＝50(＋1).
(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD＝20
m，BC＝AD＝20
m.
在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20
m，
∴EC＝CD·tan
60°＝20
m，
∴BE＝BC＋CE＝(20＋20)m.选B.]
解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图：根据已知条件画出示意图．
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．
2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4
m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan
α＝1.24，tan
β＝1.20，请据此算出H的值．
[解] 由AB＝，BD＝，
AD＝及AB＋BD＝AD，
得＋＝，
解得H＝＝＝124.
因此电视塔的高度H是124
m．
与立体几何有关的测量问题
[探究问题]
1．已知A，B是海平面上的两个点，相距800
m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．
[提示] 用线段CD表示山，用△DAB表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示．
2．在探究1中若要求山高CD，怎样求解？
[提示] 由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.
【例3】 如图所示，为了测量河对岸的山高AB，有不同的方案，其中之一是选取与山底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200
m，在C点和D点测得山顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求山高AB.
思路探究：利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝＝h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．
[解] 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.
在△BCD中，由余弦定理可得
CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．
(变条件)若将例题中的条件“CD＝200
m，在C点和D点测得山顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°”改为“CD＝800
m，在D点测得山顶A的仰角为45°，∠CDB＝120°，又在C点测得∠DCB＝45°.”求山高AB.
[解] 在△BCD中，∠CBD＝180°－120°－45°＝15°，CD＝800
m，∠BCD＝45°，
由正弦定理，＝，
BD＝＝
＝800(＋1)m，
又∠ADB＝45°，AB＝BD.
∴AB＝800(＋1)m.
即山的高度为800(＋1)m．
测量高度问题的两个关注点
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
1．本节课要掌握三类问题的解法
(1)测量距离问题．
(2)测量高度问题．
(3)与立体几何有关的测量问题．
2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
1．判断正误
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．
( )
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．
( )
(3)东偏北45°的方向就是东北方向．
( )
(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
[提示] 已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故(1)错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错．
2．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20
m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A．d1>d2
B．d1C．d1>20
m
D．d2<20
m
B [如图，设旗杆高为h，则d1＝，d2＝.
因为tan
50°>tan
40°，所以d13．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80
m到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )
A．110
m
B．112
m
C．220
m
D．224
m
A [
如图，设CD为金字塔，AB＝80
m．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×＝h，h＝40(＋1)≈109(m).从选项来看110最接近，故选A.]
4．在高出海平面200
m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为
m.
200(＋1) [过点A作AH⊥BC于点H，
由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200
m，则BH＝AH＝200
m，CH＝AH·tan
60°＝200
m．
故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m.]
5．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
[解] 由题意，画出示意图．
(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12.
由正弦定理得AD＝·sin
45°＝24(海里).
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC
cos
30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，
∴CD＝8(海里).
即A处与D处之间的距离为24海里，C、D之间的距离为8海里．
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-1.1.2 余弦定理
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用．(重点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
1.借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养．2.通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养．
1．余弦定理
文字表述
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bc
cos
A，b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，c2＝a2＋b2－2ab
cos
C
变形
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝
思考：在△ABC中，若a2[提示] 不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形．
2．余弦定理及其变形的应用
(1)利用余弦定理的变形判定角
在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c2(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．
①已知三边，求三角．
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
思考：已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？
[提示] 由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2＝a2＋b2－2ab
cos
C，c唯一，cos
B＝，因为01．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝
．
2 [根据余弦定理c2＝a2＋b2－2ab
cos
C＝16＋36－2×4×6×cos
120°＝76，c＝2.]
2．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则B＝
．
60° [cos
B＝＝＝，B＝60°.]
3．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝
．
120° [∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos
A＝＝＝－，
又∵A为△ABC的内角，
∴A＝120°.]
4．以下说法正确的是
(填序号).
①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；
②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；
③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；
④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．
②③④ [①错误．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
②正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
③正确．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
④正确．余弦定理可以看作勾股定理的推广．]
已知两边与一角解三角形
【例1】 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，角C和边a.
[解] 法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos
30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理sin
A＝＝＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
法二：由bc
sin
30°＝3×＝知本题有两解．
由正弦定理sin
C＝＝＝，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝＝＝6，
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．
1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．
[解] 根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2ac
cos
B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos
45°＝8，∴b＝2.
又∵cos
A＝
＝＝
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
已知三边解三角形
【例2】 已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC的各角的大小．
思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解．
[解] 设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，
利用余弦定理，有cos
A＝＝
＝，
∴A＝45°.同理可得cos
B＝，B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝75°.
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．
2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
2．在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
[解] 根据余弦定理，
cos
A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
cos
C＝
＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝π，
∴A＝，B＝π，C＝.
正、余弦定理的综合应用
[探究问题]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？
[提示] 设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将a＝2R
sinA，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之将sinA＝，sin
B＝，sin
C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝成立吗？反之若C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示] 因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝＝0，即cos
C＝0，所以C＝，反之若C＝，则cos
C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
【例3】 在△ABC中，若(a－c·cos
B)·sin
B＝(b－c·cos
A)·sin
A，判断△ABC的形状．
思路探究：
[解] 法一：(角化边)∵(a－c·cos
B)·sin
B＝(b－c·cos
A)·sin
A，
∴由正、余弦定理可得：
·b＝(b－c·)·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)·a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：
(sin
A－sin
C
cos
B)sin
B＝(sin
B－sin
C
cos
A)sin
A，
即sin
C
cos
B
sin
B＝sin
C
cos
A
sin
A.
∵sin
C≠0，
∴sin
B
cos
B＝sin
A
cos
A.
∴sin
2B＝sin
2A.
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，
即A＝B或A＋B＝.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
1．(变条件)将例题中的条件“(a－c
cos
B)·sin
B＝(b－c
cos
A)·sin
A”换为“a
cos
A＋b
cos
B＝c
cos
C”其他条件不变，试判断三角形的形状．
[解] 由余弦定理知cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝，代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
2．(变条件)将例题中的条件“(a－c
cos
B)·sin
B＝(b－c
cos
A)·sin
A”换为“lg
a－lg
c＝lgsin
B＝－lg
且B为锐角”判断△ABC的形状．
[解] 由lgsin
B＝－lg
＝lg
，
可得sin
B＝，又B为锐角，∴B＝45°.
由lg
a－lg
c＝－lg
，得＝，
∴c＝a.
又∵b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，
∴b2＝a2＋2a2－2a2×＝a2，
∴a＝b，即A＝B.又B＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再根据边之间的关系判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a
sin
A＋c
sin
C－a
sin
C＝b
sin
B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
[解] (1)由题意及正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac
cos
B.
故cos
B＝，因此B＝45°.
(2)sin
A＝sin
(30°＋45°)＝sin
30°cos
45°＋cos
30°sin
45°＝.
故由正弦定理得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b·＝2×＝.
1．本节课要掌握的题目类型
(1)已知三角形的两边与一角，解三角形．
(2)已知三边解三角形．
(3)利用余弦定理判断三角形的形状．
2．本节课的易错点有两处
(1)正弦定理和余弦定理的选择
已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．
(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．
1．判断正误
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．
( )
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．
( )
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] 由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，(3)错误．
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A． B． C． D．
B [由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos
C＝＝＝，所以C＝，故选B.]
3．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
C [由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，
∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab
cos
C，
∴cos
C＝－，∴C＝120°.]
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a，则cos
A＝
．
[由B＝C，2b＝a，
可得b＝c＝a，
所以cos
A＝
＝＝.]
5．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
[解] 在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac
cos
B＝(a＋c)2－2ac－2ac
cos
B＝82－2×15－2×15×＝19.
∴b＝.
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-
9
-第2课时 正弦定理(2)
学
习
目
标
核
心
素
养
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题．(重点)2.能根据条件，判断三角形解的个数．3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(难点)
1.通过三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理素养．2.借助求解三角形的面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养．
1．正弦定理及其变形
(1)定理内容：＝＝＝2R(R为外接圆半径).
(2)正弦定理的常见变形：
①sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c；
②＝＝＝＝2R；
③a＝2R
sin
A，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C；
④sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝．
思考：在△ABC中，已知a
cos
B＝b
cos
A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
[提示] 可借助正弦定理把边化成角：2R
sin
A
cos
B＝2R
sin
B
cos
A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin
A
cos
B－cos
A
sin
B＝0.
2．对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明
名称
图形
关系式
解的个数
A为锐角
①a＝b
sin
A；②a≥b
一解
b
sin
A两解
asin
A
无解
思考：在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．
[提示] sin
B＝sin
A＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sin
B＝的角有60°也满足A＋B<180°，故三角形有两解．
3．三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝bc
sin
A＝ac
sin
B＝ab
sin
C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
1．在△ABC中，sin
A＝sin
C，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
B [由正弦定理可得sin
A＝sin
C?＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
已知B＝30°，a＝3，c＝2，则△ABC的面积为( )
A．
B．
C．
D．
B [由题意可知，△ABC的面积为ac
sin
B＝×3×2×sin
30°＝.]
3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解
B．两解
C．无解
D．无法确定
A [由b4．在△ABC中，若＝，则B的值为
．
45° [根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin
B＝cos
B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.]
三角形解的个数的判断
【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
[解] (1)a＝10，b＝20，a∵b
sin
A＝20sin
80°>20sin
60°＝10，
∴asin
A，∴本题无解．
(2)a＝2，b＝6，a∵b
sin
A＝6sin
30°＝3，a>b
sin
A，
∴b
sin
A由正弦定理得
sin
B＝＝＝，
又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.
当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；
当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2.
∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2.
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．
1．(1)满足a＝4，b＝3，A＝45°的△ABC的个数为________．
(2)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是________．
(1)1 (2)(2，2) [(1)因为A＝45°＜90°，a＝4＞3＝b，所以△ABC的个数为一个．
(2)由a
sin
B＜b＜a，得x＜2＜x，∴2＜x＜2.]
三角形的面积
【例2】 在△ABC中，若a＝2，C＝，cos
＝，求△ABC的面积S.
思路探究：根据C＝及cos
＝，利用sin
A＝sin
(B＋C)求出sin
A的值．然后利用正弦定理＝求出c值．利用S＝ac
sin
B求解．
[解] ∵cos
＝，
∴cos
B＝2cos2－1＝.
∴B∈，∴sin
B＝.
∵C＝，∴sin
A＝sin
(B＋C)
＝sin
B
cos
C＋cos
B
sin
C＝.
∵＝，
∴c＝＝×＝.
∴S＝ac
sin
B＝×2××＝.
已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝ab·sin
C＝ac·sin
B＝bc·sin
A．
2．(1)在△ABC中，若a＝3，cos
C＝，S△ABC＝4，则b＝
．
(2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于
．
(1)2 (2)或 [(1)∵cos
C＝，∴C∈(0°，90°)，
∴sin
C＝＝，
又S△ABC＝ab
sin
C＝·3·b·＝4，∴b＝2.
(2)由正弦定理得sin
C＝＝＝，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，
∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝AB·AC·sin
A＝或.]
正弦定理的综合应用
[探究问题]
1．你能用坐标法证明S△ABC＝ab
sin
C＝bc
sin
A＝ac
sin
B吗？
[提示] (以已知a，b，C为例)以△ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为(b
cos
C，b
sin
C).
过点A作BC边上的高AE，则根据三角函数的定义可得AE＝b
sin
C，所以△ABC的面积S＝·BC·AE＝·a·b
sin
C＝ab
sin
C.
同理可得S＝bc
sin
A，S＝ac
sin
B.
故S△ABC＝ab
sin
C＝bc
sin
A＝ac
sin
B．
2．应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？
[提示] (1)在△ABC中，A＋B＋C＝π?sin
(A＋B)＝sin
C，cos
(A＋B)＝－cos
C；＝－?sin
＝cos
.
(2)若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，A＋C>，B＋C>；A＋B>?A>－B?sin
A>cos
B，cos
AB．
【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，m·n＝－sin
2C.
(1)求C的大小；
(2)若c＝2，A＝，求△ABC的面积．
思路探究：(1)由m·n＝－sin
2C，利用三角恒等变换求出C的大小；
(2)由正弦定理可得b的大小，利用三角形的面积公式求解．
[解] (1)由题意，m·n＝sin
A
cos
B＋sin
B
cos
A＝－sin
2C，即sin
(A＋B)＝－sin
2C，
sin
C＝－2sin
C
cos
C.
由0C>0.
所以cos
C＝－.C＝.
(2)由C＝，A＝，
得B＝π－A－C＝.
由正弦定理，＝，
即＝，解得b＝2.
所以△ABC的面积S＝bc
sin
A＝×2×2×sin
＝.
(变条件，变结论)将例题中的条件“m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，m·n＝－sin
2C”换为“若a＋c＝2b，2cos
2B－8cos
B＋5＝0”求角B的大小并判断△ABC的形状．
[解] ∵2cos
2B－8cos
B＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.
∴4cos2B－8cosB＋3＝0，
即(2cos
B－1)(2cos
B－3)＝0.
解得cos
B＝或cos
B＝(舍去).
∵0∵a＋c＝2b.
由正弦定理，
得sin
A＋sin
C＝2sin
B＝2sin
＝.
∴sin
A＋sin
＝，
∴sin
A＋sin
cos
A－cos
sin
A＝.
化简得sin
A＋cos
A＝，
∴sin
＝1.
∵0∴A＋＝.
∴A＝，C＝.
∴△ABC是等边三角形．
借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．
1．会用正弦定理的四个变形
(1)(角化边)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
(2)(边化角)a＝2R
sin
A，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C.
(3)(边角互换)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C.
(4)(比例的性质)＝＝
＝.
2．应用正弦定理解三角形时应注意挖掘的三个隐含条件
(1)在△ABC中，a＋b＞c，|a－b|＜c；A＞B?sin
A＞sin
B，A＞B?cos
A＜cos
B；a＞b?A＞B；sin
A＋sin
B＞sin
C．
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π?sin
(A＋B)＝sin
C，cos
(A＋B)＝－cos
C；＝－?sin
＝cos
.
(3)若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，A＋C＞，B＋C＞；A＋B＞?A＞－B?sin
A＞cos
B，cos
A＜sin
B．
1．判断正误
(1)在△ABC中，等式b
sin
A＝a
sin
B总能成立．
( )
(2)在△ABC中，若A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°
( )
(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (2)由正弦定理可知＝，即＝，所以sin
B＝，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.
(3)当b
sin
A2．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．无数多
B [因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC的个数为1.]
3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A．3
B．3
C．6
D．6
B [由S＝ab
sin
C＝×4×3×得S＝3，故选B.]
4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan
A＝2，则sin
A＝
，a＝
．
2 [由tan
A＝2，得sin
A＝2cos
A，
由sin2A＋cos2A＝1，得sinA＝，
∵b＝5，B＝，
由正弦定理＝，
得a＝＝＝2.]
5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．
[解] 由条件得＝＝，∴sin
A＝sin
C.
同理可得sin
B＝sin
C.
∴＝＝－.
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-
1
-1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
第1课时 正弦定理(1)
学
习
目
标
核
心
素
养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)
1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养．2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养学生数学运算的核心素养．
1．正弦定理
思考：如图所示，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？
[提示] ＝＝＝c.
2．解三角形
(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？
[提示] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．
1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是( )
A．＝
B．＝
C．a
sin
B＝b
cos
A
D．a
cos
B＝b
sin
A
B [在△ABC中，由正弦定理＝，得＝.]
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝
．
2 [由正弦定理得：＝，
所以AC＝＝2.]
3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于
．
[AC边上的高为AB
sin
A＝c
sin
A＝2sin
45°＝.]
4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝
．
[由正弦定理得：＝，
所以sin
B＝.
又a>b，所以A>B，所以B＝，
所以C＝π－＝.]
正弦定理证明
【例1】 在钝角△ABC中，证明正弦定理．
[证明] 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：
＝sin
∠CAD＝sin
(180°－A)
＝sin
A，＝sin
B.
∴CD＝b
sin
A＝a
sin
B.
∴＝.
同理，＝.
故＝＝.
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
2．要证＝，只需证a
sin
B＝b
sin
A，而a
sin
B，b
sin
A都对应同一线段．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
1．如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.
[证明] 连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.
∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，
∴sin
A′＝＝，
∴sin
A＝，即＝2R.
已知两角及一边解三角形
【例2】 在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
[解] 因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝10×＝10.
因为sin
75°＝sin
(30°＋45°)＝sin
30°cos
45°＋cos
30°sin
45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5.
已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
2．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
[解] 由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理＝，
得c＝a·＝5·
＝5·
＝5·
＝(＋).
已知两边及一边的对角解三角形
【例3】 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝
．
(2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
(1)75° [由题意得：＝，所以sin
B＝＝＝，因为b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－B－C＝75°.]
(2)[解] 因为＝，所以sin
C＝＝＝.因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C等于( )
A．或
B．
C．
D．
C [由正弦定理，得sin
C＝＝.因为BC＞AB，所以A＞C，则0＜C＜，故C＝.]
三角形形状的判断
[探究问题]
1．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么作用？
[提示] (角化边)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝，
(边化角)a＝2R
sin
A，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C，
(边角互化)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C．
2．三角形中常见边角之间的关系有哪些？
[提示] 在△ABC中，(1)a＋b＞c，|a－b|＜c，
(2)a＞b?A＞B?sin
A＞sin
B，
(3)A＋B＋C＝π?sin
(A＋B)＝sin
C，
sin
＝cos
.
【例4】 在△ABC中，若sin
A＝2sin
B
cos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
思路探究：解决本题的关键是利用sinA＝，sin
B＝，sin
C＝把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sinA＝2sin
B
cos
C求解．
[解] 法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sinB
cos
C＝2sin
B
cos
(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sin
B＝.
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin
B
cos
C，∴sin
(B＋C)＝
sin
B
cos
C＋cos
B
sin
C＝2sin
B
cos
C，∴sin
(B－C)＝0.
又－90°(变条件)将本例题条件“sin
A＝2sin
B
cos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝a
cosC”其他条件不变，试判断△ABC的形状．
[解] ∵b＝a
cos
C，
由正弦定理，得
sin
B＝sin
A
cos
C．
(
)
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin
B＝sin
(A＋C)，从而(
)式变为
sin
(A＋C)＝sin
A
cos
C.
∴cos
A
sin
C＝0.
又∵A，C∈(0，π)，∴cos
A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形．
利用正弦定理判断三角形形状的两条途径
(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2R
sin
A，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C．
1．要掌握正弦定理的三个应用
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
(3)判断三角形的形状．
2．本节课的易错点有两处
(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．
(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．
1．判断正误
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．
( )
(2)正弦定理不适用于直角三角形．
( )
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] 正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．
2．在△ABC中，若c＝2a
cos
B，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．不等边三角形
B [由正弦定理知c＝2R
sin
C，a＝2R
sin
A，
故sin
C＝2sin
A
cos
B＝sin
(A＋B)
＝sin
A
cos
B＋cos
A
sin
B，
所以sin
A
cos
B＝cos
A
sin
B，
即sin
(A－B)＝0，所以A＝B.
故△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于( )
A．5
B．10
C．
D．5
B [由正弦定理得，b＝＝＝10.]
4．已知在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，解这个三角形．
[解] 由正弦定理及已知条件有＝，得sin
A＝.
∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝＝.
综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
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