第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
4．一元一次不等式（一）
贵州省贵阳市第十七中学 蒋继媛 凌 禹
一、学生知识状况分析
学生已经经历了不等式的基本性质、不等式的解集的学习，对不等关系已经有了初步的认识和体会，但是对于不等式形成的现实背景、实际应用价值仍然不甚明了，很少学生能够自觉由已有知识归纳出一元一次不等式，因此，在本课时学生的认识终点可按照学生的程度分成两个，符号感、数感较好的学生尽量达到自觉由实际问题抽象出一次不等式甚至是一次函数的终点，稍差一点的学生也应达到初步感知实际问题对不等式解集的影响，积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。
二、教学任务分析
本节课的教学内容是一元一次不等式的形成及其解集的表示。一元一次不等式是学生在对不等式的基本知识有一定认识后的一个提高，是学生实现由线（不等式解集数轴）向面（一元一次函数坐标系）顺利过渡的一个中转站，本节内容既加深了对解不等式的训练又提出了一元一次不等式的形成过程，巧妙地实现了单纯的解不等式向不等式的内在含义的转化。
本课时的学习任务主要有两个：第一是让学生体会和经历一元一次不等式概念的形成过程；第二是让学生会解简单的一元一次不等式并能在数轴上表示其解集，最终实现提高学生分析问题、解决问题的能力的任务。
1、教学目标：
知识与技能：会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
过程与方法：设置情境让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法。
情感与态度：初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析、解决问题的能力。
2、教学重点：掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。
3、教学难点：将实际问题抽象成数学问题的思维过程。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入课题；第二环节：合作探究，解决问题；第三环节：范例解析；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节 创设情境，引入课题
活动内容1：
小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约15厘米。问：(1)大约几周后树苗长高到1米？(2)大约几周后树苗的高度超过1.3米？请列出算式。
活动目的：通过解决这一情境问题，让学生回顾一元一次方程的概念和解一元一次方程的步骤，以及不等式的意义，不等式的基本性质和不等式的解集，为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件。同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特殊与一般的关系。
活动的注意事项：学生分组讨论，派学生代表进行交流。引导学生自己去解决问题，在学生交流过程中，对说理清楚、表达完整的学生予以肯定，对列式错误的学生提出问题，共同讨论反思，在学生独立完成后展示结果。
活动内容2：
观察下列不等式：
(1)40+15x>130 (2)2x-2.5≥1.5 (3)x≤8.75 (4)x<4 (5)5+3x>240
这些不等式有哪些共同点？
活动目的：引导学生自主通过对上述不等式的观察、比较，发现其异同，结合一元一次方程的概念类比，学生不难得出一元一次不等式的概念。让学生意识到不等式也可以像方程那样去研究，培养其化归、转换的意识。
活动的注意事项：学生自行归纳总结，发言讨论，教师在总结学生发言的基础上再次引出新问题。
活动内容3：分步展示一元一次不等式的概念及想一想
“左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式(linear inequality with unknown)”
（注意向学生强调一元一次不等式的主要特征）
想一想：在前面几节课中，你列出了哪些一元一次不等式？试举两例，并与同伴交流。
活动目的：让学生理解一元一次不等式的概念，不仅会识别一元一次不等式，而且回味得到不等式的建模过程，体会一元一次不等式是最基本、最重要的不等式。
活动的注意事项：学生先独立思考，再进行交流。
第二环节 合作探究，解决问题
活动内容：
例1.解不等式3-x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上。
提出问题：
你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试。
在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？
在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？
活动目的：1.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1。在（1）和（5）中，如果乘数或除数是负数，要把不等号的方向改变。2.在数轴上表示不等式的解集时，要注意不等号以及端点的情况。
活动的注意事项：学生自己探索用不等式的基本性质去求解并相互交流做法，通过观察、探讨、交流、归纳一元一次不等式的解法。
第三环节 范例解析
活动内容：
例2.解不等式≥，并把它的解集表示在数轴上。
解：去分母，得 3(x-2) ≥2(7-x)
去括号，得 3x-6≥14-2x
移项、合并同类项，得 5x≥20
两边都除以5，得 x≥4
这个不等式的解集在数轴上表示如下
活动目的：通过师生共同探讨，经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1（即化为“x>a”或“x
活动的注意事项：老师分析解题过程，要求学生参与其中，共同探讨。
第四环节 练习提高
活动内容：随堂练习
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上；
（1）5x＜200 (2) ＜3
(3) x-4≥2(x+2) (4)＜
活动目的：通过学生独立对随堂练习的演算，及时发现问题解决问题，强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解。
活动的注意事项：随机抽取学生上台演算，其余学生自行独立计算，教师就演算进行讲评。
第五环节 课堂小结
通过本堂课的学习，你学到了那些知识？（什么是一元一次不等式以及一元一次不等式的解法。）
你学会了哪些数学方法？（类比的数学方法。）
你觉得在一元一次不等式的解题步骤中，应该注意些什么问题？（如果乘数或除数是负数，不等号的方向要改变。）
活动目的：课后小结设计成问题的形式，是为了培养学生自主学习、自主思维的能力。通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆。
活动的注意事项：给学生充分的时间相互交流，由学生用自己的语言进行表达，同时通过互相补充修正。
第六环节 布置作业
习题1.4
四、教学反思
本节课以 “小树长高”这样一个学生在学习一元一次方程已经解决的问题情境的基础上设置第2个问题，让学生回顾一元一次方程的同时为后面归纳一元一次不等式概念及解法做好准备。利用与等式（方程）对比进行教学，这样有利于学生认识不等式，体会知识之间的内在联系，加强学生对知识的整体认识，发展学生的辩证思维．
对于一元一次不等式概念的教学中采用开放式的教学方法，切实让学生通过回顾、观察、思考、归纳出一元一次不等式的概念, 发展学生分析问题，解决问题的能力，提高学生的学习能力．并让学生列举出前几节课中一元一次不等式，不仅让学生能准确识别一元一次不等式，而且让学生回味不等式的建模过程。
对于一元一次不等式解法的教学中采用探究式的教学方法，首先鼓励学生运用不等式的性质和不等式的解集自主尝试求解，再交流解答过程，并进行适当的归纳总结。类比解方程的方法，并比较其异同。在教学过程中不能急于求成，不要包办代替学生的活动，给学生充分的时间思考、交流，适时给予恰当的引导。再通过范例与学生共同经历解一元一次不等式的过程。
0
1
-1
-2
2
3
4
5
6(共13张PPT)
复 习
不等式的基本性质
不等式的基本性质１：不等式两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．
不等式的基本性质２：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
不等式的基本性质３：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
贵阳十七中 金萍 聂慧
在某次数学竞赛中,老师对优秀学生给予奖励,花了30元买了3个笔记本和若干支笔,已知笔记本每本4元,笔每支2元,问最多能买多少支笔
解：设至少可买Ｘ支笔
买笔记本的总价格与买笔的总价格的和不超过30元 ，则有：
3×4 + 2Ｘ ≤ 30
∴ Ｘ ≤ 9
而Ｘ为整数，因此Ｘ最多为9支．
２、燃放礼花时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到１０米以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为０.０２m/s，人离开的速度为 4 m/s,那么导火线的长度应是多少厘米？
解：设导火线的长度为x cm,即0.01x m
人离开的时间为：
导火线的燃烧时间为：
依题意得：
由不等式的基本性质２得：x>5
(s)
2
5
4
10
=
(s)
x
x
2
02
.
0
01
.
0
=
１、某人要完成一件工作，要求他完成这项工作的时间不得少于４小时，你知道他允许用的时间是多少吗？
（Ｘ≥４）
想一想
１）x=5,6,8能使x>5成立吗？
２）你能找出几个使不等式x>5成立的x的值吗？
１）x=5不能使x>5成立， x=6,8能使x>5成立
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时无解．
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式解集的过程叫做解不等式．
议一议
1）x=9是不是x>5的解，x=10,13呢 你能用自己的方式将x>5的解集表示在数轴上吗？
不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示。在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内。
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2）你能将x-5≤ -1的解集表示在数轴上吗？
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
不等式x-5≤-1的解集可以用数轴上表示4的点的左边部分来表示。在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内。
(x≤4)
注意 :
将不等式的解集表示在数轴上时,要注意:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左.
2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
例题
根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集表示在数轴上．
（１）x-2≥ -4
(2)2x ≤ 8
(3)-2x-2 > -10
解：两边同时加２得：
x ≥ -2
-3 -2 -1 0 1 2
解：两边同时除以２得：
x ≤ 4
-1 0 1 2 3 4
解：两边同时加２得：
-2x > -8
两边同时除以－２得：
x < 4
-1 0 1 2 3 4
随堂练习
1,判断正误:
(1)不等式x-1>0有无数个解 ( )
(2)不等式2x-3 ≤0的解集为 x ≥ 2/3 ( )
2,将下列不等式的解集分别表示在数轴上:
(1)x>4
(2)x<-1
(3)x≥-2
(4)x≤6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
√
×
3,填空
1)方程2x=4的解有( )个,不等式
2x<4的解有( )个
2)不等式5x≥-10的解是( )
3)不等式x≥-3的负整数解是( )
4)不等式x-1<2的正整数解是( )
1
无数
x≥-2
-3, -2, -1
2, 1
作业
P12,习题１.３拓展练习
1、小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解，这两种灯的照明效果和使用寿命都一样，已知小王所在地的电价为每千瓦时0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。
解：设使用寿命为x小时，选择节能灯才合算，依题意，可列不等式：
2＋0.5×x＞32＋0.5×x
解得 x＞1000.
答：当这两种灯使用寿命超过1000小时时，小王选择节能灯才合算。
2、某种商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商家准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，你认为该商品至多可以打几折？
解：设该商品打x折销售，依题意得
×100%≥5%
解不等式得 x≥7
答：该商品至多打折7折。
3、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元。
（1）符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由。
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？
解：（1）设轿车要购买x辆，那么面包车要购买（10－x）辆，由题意得
7x＋4(10－x)≤55
解得x≤5
又因轿车至少要买3辆，所以x≥3
∴x=3，4，5
所以采购方案有三种：方案一：轿车购买3辆，面包车购买7辆；
方案二：轿车购买4辆，面包车购买6辆；
方案三：轿车购买5辆，面包车购买5辆。
（2） 方案一的日租金为3×200＋7×110=1370（元）
方案二的日租金为4×200＋6×110=1460（元）
方案三的日租金为5×200＋5×110=1550（元）
为保证日租金不低于1500元，应选择方案三。
4、某家电商场出售A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1千瓦时，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55千瓦时。现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的），问商场至少打几折，消费者购买A型冰箱才合算（按使用期限为10年，每年365天，每千瓦时电0.4元计算）
解：设商场将A型冰箱打x折出售，由题意得
2190×＋365×10×1×0.4 ≤2190（1＋10%）＋365×10×0.55×0.4
解得x≤8.
故家电商场将A型冰箱至少打八折，消费者购买才比较合算。第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
6．一元一次不等式组（三）
贵州省清镇市第三中学 罗显华
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学过基本的不等式以及对不等式组的解法已经有一定的掌握，对其特点有所了解，初步理解了不等式组的概念；
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些方程组和不等式组的一些活动，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生对不等式以及对不等式组的概念和解法已基本掌握的基础之上，提出了本课的具体学习任务和本节课的教学目标是：
（一）知识认知要求
能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的问题.
（二）能力训练要求
通过例题的讲解，让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学的知识解决问题，发展应用意识.
（三）情感与价值观要求
通过解决实际问题，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
三、教学过程分析
本节课由五个教学环节组成，它们是：①情境激趣，适时点题；②合作交流，探究新知；③双基训练 巩固提高；④ 师生交流，归纳小结；⑤作业布置。
第一环节、情境激趣，适时点题
活动内容：一、
二、创设问题情境，引入新课
1、我们学习了一元一次不等式组能解决哪些实际问题呢？本节课我们将进行探索.
活动目的：
加强学生对旧知识的复习和巩固，以达到对本节课内容的一个铺垫，引入新课.
活动效果：
通过学生完成情况，能正确地反映出学生以往知识的掌握程度，同时能够达到复习旧知识和创设问题情境，引入新课的效果.
第二环节、合作交流，探究新知
活动内容：
（1）、甲以5 km/h的速度进行有氧体育锻炼，2 h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲.根据他们两人的约定，乙最快不早于1 h追上甲，最慢不晚于1 h15 min追上甲.乙骑车的速度应当控制在什么范围？
活动目的：
通过大家互相交流后列出不等式组求解的过程，进一步让学生体会不等式组在生活中的运用的作用.
活动效果：
学生讨论列出下列不等式组可能有一定的难度，教师可以引导学生认真分析题目中的一些关键语句，让学生从中找出解题的突破口.这样有助于培养学生的分析问题和解决问题的能力.但教师千万不要包办.这样就达不到这一效果.（学生列出后，教师利用课件展示出下列结果）
解：设乙骑车的速度为x km/h，根据题意，得
解不等式组得13≤x≤15
答：骑车的速度应当控制在13km/h到15km/h这个范围。.
完成（1）后，教师相继给出下列情景题，这样会更进一步体现不等式组的生活化.
（2）、
第三环节、双基训练 巩固提高
活动内容：
1.一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数.
2.已知利民服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需A种布料0.6米，B种布料0.9米，做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？
活动目的：
让学生更进一步体会数学知识生活化，并能利用不等式组解决实际问题。
活动效果：
能达到培养学生学习数学的学习兴趣，让学生体会数学就在自己的生活中，从而让学生感到学习数学是一件很有趣的事情.
（学生完成后，教师展示出以下答案，以达到学生对照正误的目的和效果）
1.解：设小朋友的人数为x，则玩具数为（2x+3）件，根据题意，得
解不等式组，得
4＜x≤6
因为x是整数，所以x=5,6，则2x+3为13，15.
因此，当有5个小朋友时，玩具数为13个；当有 6个小朋友时，玩具数为15个.
2.解：生产N型号的时装套数为x时，则生产M型号的时装套数为（80－x），根据题意，得
解不等式组，得40≤x≤44
因为x是整数，所以x的取值为40，41，42，43，44.
因此，生产方案有五种.
（1）生产M型40套，N型40套；
（2）生产M型39套，N型41套；
（3）生产M型38套，N型42套；
（4）生产M型37套，N型43套；
（5）生产M型36套，N型44套.
第四环节、师生交流，归纳小结
活动内容：
结合课本的内容，讨论有关的问题，并说说学习这节课的收获和体会。同时谈谈
运用不等式组解决实际问题的基本过程.
活动目的：
师生交流、归纳小结的目的是让学生准确全面的表述自己的观点，培养及时归纳
知识的习惯。
活动效果：课堂上，学生发言非常积极，而且能够准确全面的表述。
第五环节、布置作业
四、教学反思
通过这几节课的学习，学生能够大致对不等式组的解法和不等式组的运用有一定的理解和掌握，能够大体体会数学知识在现实生活中的运用。本节课的例题较多，教学时可以减少。学法指导及拓展习题
一、学法指导
本节重点:理解不等式解与不等式解集的联系与区别,能将不等式的解集准确地表示在数轴上。
1、不等式的解与解集的联系与区别:二者的区别在于,不等式的解是指能使不等式成立的每一个值;不等式的解集是指所有解的全体。联系是不等式的所有解组成一个解集,或者说不等式的解集包含不等式的每一个解。
2、不等式的解集在数轴上表示时,当解集的符号是“≥”或“≤”时,用实心圆点表示,当解集的符号是“＞”或“＜”时,用空心圆圈表示。
本节难点:正确地在数轴上表示不等式的解集。
将不等式的解集表示在数轴上,一般分三步:一是正确地画数轴,注意数轴的三要素;二是确定界点,注意区分实心圆点还是空心圆圈;三是辨别方向,大于指向界点的右方,小于指向界点的左方。
本节易错点:
对不等式的解及解集的意义理解不清,二者产生混淆。
【例1】下列结论正确的有( )个。
(1)2是不等式x+1>2的解集
(2)x<1是不等式x+2<3的解
(3)x>3是不等式x-1>4的解集
(4)不等式x+2>5的解有无数个,而它的解集只有一个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
错解:D
正确答案:A
错解分析:(1)题中2是不等式x+1>2的一个解,不是它的解集,解集应是所有解的全体,即x>1;(2)题中x<1是不等式x+2﹤3的解集,不是其中的一个解;(3)题中x>3不是不等式x-1>4的解集,解集应为x。>5;(4)是正确答案。
在数轴上表示不等式的解集时,易忽略实心圆点与空心圆圈的区别。
【例2】将不等式的解集x≥1表示在数轴上。
错解:如图
正确解法:如图
错解分析:解集x≥1包括边界点1,故应该用实心圆点表示,而用空心圆圈表示不包括x=1,这种表示方法是错误的。
二、情境材料
我公安人员接到通知:一逃犯在距我处10千米的地方正在以50千米/时的速度逃窜,要求公安人员在2小时内将逃犯抓获,那么公安人员的速度应为多少
通过以上材料,你有什么感想,你能运用所学知识解决这个问题吗
三、拓展例题
【例1】：我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于3m/s的时间共约160天，其中日平均风速不小于６m/s的时间约为60天。为了充分利用风能这种资源，该地拟建一个小型风力发电场，依据产品说明，这种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表，根据下面的数据回答问题．
日平均风速v/（m/s） v＜3 3≤v＜6 v≥6
日发电量／kW·h Ａ型发电机 0 ≥36 ≥150
Ｂ型发电机 0 ≥24 ≥90
若这个发电场购x台A型发电机,则预计这些A型发电机一年的发电总量为＿＿＿kW·h．
已知A型发电机每台0．3万元，Ｂ型发电机每台0．2万元，该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2．6万元，而建成的风力发电场每年平均发电总量不少于102000 kW·h，请你提供符合条件的购机方案．
分析：从表中得知3≤v＜6，约100天，而v≥6，约60天，则一台A型发电机一年的发电总量为（100×36+60×150）kW·h，而一台B型发电机一年的发电总量为（100×24+60×90）kW·h．
解答：（１）x台A型发电机一年的发电总量≥（100×36+60×150）x＝12600x
（２）若恰好将购机款用完，则0。3x＋
0.2（10－x）＝2.6，解得x＝6．
若x＝6，则年总发电量至少为12600×
6＋7800（10－6）＝106800＞102000（符合题中要求）
所以，可购A型发电机6台，B型发电机4台．
【例2】已知不等式3x-a≤0的正整数解是1,2,3,求a的取值范围。
分析:首先要正确理解题意。关于x的不等式3x-a≤0的“正整数解是1,2,3”
的意思是: 3x-a≤0的解集中包含了正整数1,2,3,且仅有1,2,3。
借助数轴思考探索
（1)在数轴上找出表示1,2,3的点;
（2)解集是x≤，解集的起点在3到4之间,包括3,但不包括4。
解:解不等式3x-a≤0得x≤
∵不等式的正整数解是1,2,3,
∴3≤＜４
∴９≤＜12
故的取值范围为９≤＜12
四、创新习题
下列不等式中，解集不包括的是 （ ）
A．x< B．x>- C．x<3 D．x≥
2．使不等式2x>x+1成立的值中，最小的整数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．给出四个命题：①若a>b,c=d, 则ac>bd ;②若ac>bc,则a>b;③若a>b,则ac2>bc2;④若ac2>bc2,则a>b。正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．图中表示的是不等式的解集，其中错误的是 （ ）
A．x≤２ B．ｘ＞１
C．x≠０ D．x＜０
５．如图所示,在数轴上表示了某不等式的解集,则这个不等式可能是 ( )
A．3x≤1 B．3x≤-1
C．3x≥1 D．3x≥-1
6．不等式x≤3的正整数解是＿＿＿＿
7．二次根式有意义,则x的取值范围是＿＿＿＿
8．不等式-9+3x≤0的非负整数解的和为＿＿＿＿
9．如果2-3a<-4a,则a的取值范围是＿＿＿＿
10．求不等式x-2≤5的正整数解。
11．某种商品的进价为150元，出售时的标价为225元，由于销售情况不好，商店决定降价销售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降价多少元出售此商品？
创新习题答案：
1)A； 2)C； 3)A; 4)A; 5)D; 6)1,2,3; ７)x≥2; ８)6; ９)a<-2;
1０)1,2,3,4,5,6,7; 11)60元
0 1 2
0 1 2
解析
这是一道文字叙述量很大的题，做此题要注意认真审题，找出量与量之间的关系．
0 1 2 3 4 5
０
１
2
0
1
0
1
0
1
-1/3
0一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例
一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。
巧用不等式的性质
例1 要使a5＜a3＜a＜a2＜a4成立，则a的取值范围是（ ）
A.0＜a＜1 B. a＞1 C.－1＜a＜0 D. a＜－1
分析：由a3＜a到a2＜a4，是在a3＜a的两边都乘以a，且a＜0来实现的；在a3＜a
两边都除以a，得a2＞1，显然有a＜－1。故选D
点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定
a的取值范围。
例2 已知6＜＜10，≤≤，，则的取值范围是 。
分析：在≤≤的两边都加上，可得≤≤，再由6＜＜10可得9＜＜30，即9＜＜30
点评：本题应用不等式的基本性质，在≤≤的两边都加上后，直接用关于的不等式表示，再根据6＜＜10求出的取值范围。
由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围
例3 若关于的不等式组
的解集为，则的取值范围是 。
分析：由①得 ，解之得。
由②得 。
因为原不等式组的解集为，所以，所以。
点评：本题直接解两个不等式得到且。 若，则其解集为，若，则其解集为，而原不等式的解集为，所以，即。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。
若不等式的解集是，则不等式
。
分析：原不等式可化为。
因为，所以
由②得 ，代入①得 ＜0，
所以。
由 得。
把代入得 。
点评：本题先由不等式解集的不等号方向判断＜0，从数值上判断，从而确定的关系及的符号。
不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。
利用不等式求代数式的最大值
设均为自然数，且，又，则的最大值是 。
分析：均为自然数，且，
所以在这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，
159=，
，所以的最大值为19。
当取最大值时，，
140≥，
，所以的最大值为20。
当、都取最大值时，
120=，
所以， 所以的最大值为22。
所以的最大值是19+20+22=61。
点评：本题根据已知条件先分别确定、、的最大值，再求出的最大值。其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于、、的不等式。
例6 在满足，的条件下， 能达到的最大值是 。
分析：将转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。
∵，∴，。
∴。
∵ ∴，∴。
即
故 能达到的最大值是6。
点评：由字母的取值范围可以确定含字母的代数式的取值范围，从而可以确定代数式的最大值或最小值。
例７ 若整数满足不等式组
试确定的大小关系
分析：利用不等式的性质，原不等式组可化为
，
所以，
即。
所以。
点评：本题根据已知不等式组中各不等式的特点，对各不等式进行变形，使它们都含有，利用不等式的传递性，得到的大小关系。第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
2．不等式的基本性质
贵州省贵阳市第十七中学 尹 媛
一、学生知识状况分析
本章是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上，开始研究简单的不等关系。通过前面的学习，学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的，但面对大量的同类量，最容易使人想到的就是它们有大小之分。学习时可以类比七年级上册学习的等式的基本性质。
二、教学任务分析
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，掌握不等式的基本性质。
本节课教学目标：
（1）知识与技能目标：
①掌握不等式的基本性质。
②经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
（2）过程与方法目标：
①能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。
②进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（3）情感与态度目标：
①尊重学生的个体差异，关注学生的学习情感和自信心的建立。
②关注学生对问题的实质性认识与理解。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：情景引入，提出问题；第二环节：活动探究，验证明确结论；第三环节：例题讲解及运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。
第一环节：情景引入，提出问题
活动内容：利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。问题1：怎样比才公平？
活动目的：让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时，比较才是公平的，高的同学仍然高，矮的同学仍然矮，这是不可能改变的事实。
活动实际效果：学生对能自己参与的活动很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。
第二环节：活动探究，验证明确结论
活动内容： 参照教材与多媒体课件提出问题：
还记得等式的基本性质吗？
等式的基本性质1用字母可以表示为：，那么不等式的基本性质1是什么？先猜一猜。
如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流。
不等式的基本性质与等式的基本性质类似，对于等式的基本性质2，用字母可以表示为：，其中。对应的大家能不能归纳出不等式的基本性质2是什么呢？
例如：如果比高度的两个人不是同时增加或减少相同的高度，而是成倍的增加（或缩小）自身的高度，结果又会怎样？
例如：商场A种服装的标价高于B种服装的标价，如果都打八折出售，那么还是A种服装价格高。通过这些例子，你发现了什么？能得到一个什么类似的结论？
如果乘以（或除以）同一个负数呢？
通过实际的计算、观察、与同伴交流，得出什么类似的结论？
活动目的：通过等式的基本性质对比不等式的基本性质，由数学情境转化成数学问题，由特殊的数值到字母代表数，从中归纳出一般性结论。进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。
活动实际效果：以问题串的形式引导学生一步步从对比中自己先猜想不等式的基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来。因此在整个教学教程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引。这时，学生对于由自己推导出性质定理感到非常兴奋。
第三环节：例题讲解及运用巩固
活动内容：1、在上一节课中，我们猜想，无论绳长取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即。你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？
2、将下列不等式化成“”或“”的形式：
（1） （2）
3、将下列不等式化成“”或“”的形式：
（1） （2） （3）
4、已知，下列不等式一定成立吗？
（1） （2） （3） （4）
活动目的：在讲解例题的过程中要求学生说出每一步变形的依据，加强学生对不等式的基本性质的理解。随堂练习学生独立完成，师生共同讲解，能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯，并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的。
活动实际效果：学生在讲解例题与练习的过程中，思维非常活跃，都非常踊跃的举手要求上黑板示范，并且每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范，达到预期教学目的。
第四环节：课堂小结
活动内容：学生自己总结今天这节课有什么收获，思考后对全班说出，与全班同学讨论交流。
活动目的：学生说出自己的收获与感想与全班交流，若有任何疑问可以当堂提出供大家讨论。教师要学会倾听并鼓励学生的回答，关注学生对问题的实质性认识与理解，尊重学生的个体差异，关注学生的学习情感和自信心的建立。
活动实际效果：学生自我总结本节课所学到的知识和重点注意的问题，畅所欲言自己的切身感受与实际收获，除了今天所学新的内容之外，还复习巩固了等式的基本性质，体会新旧知识的联系与区别。
第五环节：布置作业
习题1.2
四、教学反思
对于不等式的基本性质的引入，生活中不相等的量有很多，具体教学时可以根据实际情况列举不同的例子。
本节课是以比高矮这个贴近生活的例子引入，充分的调动学生积极性。教学中问题串的设置均与等式的基本性质相联系，引导学生一步步从类比中自己先猜想不等式基本性质的雏形、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳完善性质定理并能用字母表示出来。在接下来的讲解例题与练习的过程中，全班同学思维活跃，踊跃的举手要求上黑板示范，并且每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范。
在整个教学教程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引，学生对于由自己推导出性质定理感到非常兴奋。
再教设计：在探索及运用不等式的基本性质时，应该让学生多举一些生活中的不等关系，更加容易加深学生的理解。设计运送方案
火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型车厢的运费是0.5万元，每节B节车厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型车厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型车厢，按此要求安排A、B两种车厢的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少。
解：设A型车厢用x节，则B型车厢用（50－x）节，根据题意，得
解不等式组，得
28≤x≤30。
因为x为整数，所以x取28，29，30。
因此运送方案有三种：
（1）A型车厢28节，B型车厢22节；
（2）A型车厢29节，B型车厢21节；
（3）A型车厢30节，B型车厢20节。
设运费为y万元，则y=0.5x+0.8（50－x）=40－0.3x。
当x=28时，y=31.6；
当x=29时，y=31.3；
当x=30时，y=31。
因此，选第三种方案，即A型车厢30节，B型车厢20节时运费最少。用函数观点看方程（组）与不等式
一、知识归纳
1、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程都可以转化为ax＋b=0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，相当于已知直线y=ax＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值。
2、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围。
3、规律总结
一次函数y=kx＋b与一元一次方程kx＋b=0及一元一次不等式的关系：函数y=kx＋b的图象在x轴上方的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b=0的解；在x轴下方的点所对应的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集。
4、一次函数与一次方程（组）
（1）以二元一次方程ax＋by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数
的图象相同。
（2）二元一次方程组
的解可以看成是两个一次函数
的图象的交点。
5、一次函数与方程（组）的应用
在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解。
二、典型例题
例1、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.57元计费；每月用电超过100千瓦时，前100千瓦时仍按原标准收费，超过部分按每千瓦时0.50元计费。
（1）设月用x千瓦时电时，应交电费y元，当x≤100和x>100时，分别写出y (元)关于x (千瓦时)的函数关系式；
（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：
月份 一月份 二月份 三月份 合计
交费金额 76元 63元 45.60元 184.60元
问：小王家第一季度用电多少千瓦时？
分析：（1）当x≤100时，费用为0.57x元，当x>100时，
前100千瓦时应交电费100×0.57=57(元)，
剩下的(x－100)千瓦时应交电费0.50 (x－100)元。
（2）从交费情况看，一、二月份用电均超过100千瓦时，三月份用电不足100千瓦时。
解：（1）当x≤100时，y=0.57x，
当x>100时，y=0.5x＋7。
（2）显然一、二月份用电超过100千瓦时，三月份用电不足100千瓦时，
故将y=76代入y=0.5x＋7中得x=138（千瓦时），
将y=63代入y=0.5x＋7中，得x=112（千瓦时），
将y=45.6代入y=0.57x中，得x=80（千瓦时）。
故小王家第一季度用电138＋112＋80=330（千瓦时）。
例2、用画函数图象的方法解不等式：－2x＋3<3x－7。
分析：由一次函数与一元一次不等式的关系可先将其化为一般形式，再画图求解。也可以将－2x＋3与3x－7看成是两个关于x的一次函数，即y1=－2x＋3，y2=3x－7，于是不等式的解集即对应着y1解法1：原不等式化为5x－10>0，画出直线y=5x－10如图所示。可以看出x>2时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=5x－10>0，所以不等式的解集为x>2。
解法2：将原不等式的两边分别看成是两个一次函数，画出直线︰y1=－2x＋3，y2=3x－7，如图所示。可以看出它们的交点的横坐标为2。
当x>2时，对于同一个x，直线y=－2x＋3上的点在直线y=3x－7上相应的点的下方，这时－2x＋3<3x－7，所以不等式的解集为x>2。
例3、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元。根据商场情况，如何购销获利较多？
分析：由于题设中商场投资情况是未知的，不能直接比较，应根据投资情况列函数解析式，分类进行比较判断。
解：设商场投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元，
在月末出售，可获利y2元，则
y1=15%x＋10% (x＋15%x) =0.265x，
y2=0.3x－700。
在直角坐标系中，作出两函数的图象如图所示，得两图象的交点坐标为（20000,5300）。
由图象知当x>20000时，y2>y1；
当x=20000时，y1=y2；当x<20000时，y2例4、用作图象的方法解方程组
分析：用图象法解二元一次方程组的关键是要作出两个二元一次方程表示的函数的图象，找出它们的交点。
解：由2x－3y＋3=0得
由5x－3y－6=0得
在同一直角坐标系中作出直线和的图象，
如图所示，得交点（3，3）
所以方程组
例5、哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元。若设一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元，那么
（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；
（3）求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯方式费用相同；
（4）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式较合算？
分析：（1）全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；（2）运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；（3）可利用方程组求解，也可以根据图象回答；（4）寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大。
解：（1）y1=50＋0.4x (x≥0)，y2=0.6x (x≥0)。
（2）图象如图所示。
（3）根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯方式的收费相同。
另解： 当y1=y2时，得x=250，
即当通话250分钟时，两种通讯方式的收费相同。
（4）当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值。即选取全球通更合算。
另解：当y1=200时有0.4x＋50=200, 所以x1=375；
当y2=200时有0.6x=200, 。
显然所以选用全球通更合算。
例6、随着教学手段不断更新，要求计算器进入课堂。某电子厂家经过市场调查，发现某种计算器的供应量x1(万个)与单价y1（元）之间的关系如图中供应线所示，而需求量x2（万个）与单价y2（元）之间的关系如图中需求线所示。如果你是这个电子厂厂长，应计划生产这种计算器多少个？每个售价多少元，才能使市场达到供需平衡？
解：设供应线的函数解析式为y1=k1x＋b1，需求线的函数解析式为y2=k2x＋b2，由图象知，y1的图象过点（0，60），（30，70）两点，求得，同理求得y2=－x＋80。令y1=y2得x=15，故生产这种计算器15万个，每个售价65元，才能使市场达到供需平衡。用不等式判断一类杠杆失衡问题
杠杆平衡的条件是F1L1=F2L2，如图1所示，若F1L1≠F2L2，则杠杆不平衡，当F1L1＞F2L2时，B点上升A点下降；当F2L2＞F1L1时，则A点上升B点下降，也就是杠杆会向着力和力臂乘积大的那个力的方向转动．根据这一道理，用不等式判断杠杆失衡问题既快速又准确．
例1 如图2所示，一根粗细均匀的杠杆AB，在两端A、B处有竖直向下的力F1和F2作用时，杠杆处于水平位置平衡，若使F1、F2同时减小4牛的力，则杠杆不再平衡，A端被抬起，B端下降，由此可知杠杆的支点位置 [ ]
(A)在AB的中点处 (B)在靠近杠杆A端处
(C)在靠近杠杆B端处 (D)无法判断
分析：设此杠杆的支点为O，由于处于平衡状态，F1·OA=F2·OB，F1、F2同时减小4牛的力后，左端力和力臂的乘积为(F1－4)·OA，右端力和力臂的乘积为(F2－4)·OB，根据A端被抬起，B端下降，有
(F1－4)·OA＜(F2－4)·OB，
即OB＜OA，靠近杠杆B端，故选C．
例2 如图3，已知OA∶OB=2∶3，在杠杆A、B两端各挂上一袋细沙甲和乙，这时杠杆恰好平衡，若在甲、乙细沙袋上扎个小孔，使每秒流出细沙质量相等，经3秒钟后其杠杆将 [ ]
(A)还保持平衡 (B)不平衡，B端下沉 (C)不平衡，A端下沉
分析：当杠杆平衡时，有G甲·OA=G乙·OB，由于甲、乙两沙袋每秒钟流出的细沙质量相等，则3秒钟流出的细沙的重力也相等．设流出的细沙重力均为G，由于
OA·G漏﹤OB·G漏，
所以(G甲－G漏) ·OA＞(G乙－G漏) ·OB，A端下沉，故选C．
例3 如图4所示，杠杆上挂着7个相同的钩码，这时杠杆恰好处于平衡状态．若在杠杆的两端再同时各增加一个相同的钩码，则杠杆[ ]
(A)右端向下倾斜 (B)左端向下倾斜 (C)仍保持平衡
分析：设左端力臂为L1，右端力臂为L2，每个砝码重为G，杠杆平衡时4L1G=3L2G，由于L1＜L2，有L1G＜L2G，在杠杆的两端再同时各增加一个相同的钩码后，4L1G＋L1G＜3L2G＋L2G，右端向下倾斜，故选A．
例4 如图5所示，杠杆两端悬挂A、B两物体时，杠杆正好平衡．如果A、B两物体的重力比原来增加了10牛，要使杠杆平衡，杠杆的支点应 [ ]
(A)向左移动 (B)向右移动 (C)位置不变
分析：杠杆平衡时，Ga·OA=Gb·OB，由于OA＞OB，当A、B两物体的重力比原来增加了10牛时，100A＞100B，则
Ga·OA＋10OA＞Gb·OB＋10OB，
所以A会下降，B会上升，要使杠杆平衡，杠杆的支点应向左移动，故选A．
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
6．一元一次不等式组（二）
贵州省清镇市第三中学 罗显华
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学过基本的不等式以及对不等式组的解法已经有一定的掌握，对其特点有所了解，初步理解了不等式组的概念；
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些方程组和不等式组的一些活动，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
《新课程与教学改革》中要求教学必须进行价值本位的转移，突出对人的生命存在及其发展的整体关怀。本课时教学让学生自己动手，让学生大胆去说，去观察，探讨，引导学生去发现与归纳。注重的是学生自己动手的投入程度和积极性，突出“以人为本，张扬个性”的教学价值理念。
教科书基于学生对一元一次不等式组的概念已基本掌握的基础之上，提出了本课的具体学习任务和本节课的教学目标是：
（一）知识认知要求
1.进一步巩固解一元一次不等式组的过程.
2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形.
（二）能力训练要求
通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生全面系统的总结概括能力.
（三）情感与价值观要求
1.加强运算的熟练性与准确性.
2.培养思维的全面性.
三、教学过程分析
本节课由四个教学环节组成，它们是：（1）创设问题情境，导入新课；（2） 合作交流，探究新知；（3）验证新知，同化知识；（4） 师生交流，归纳小结；（5）作业布置.其具体内容与分析如下：
第一环节、创设问题情境，导入新课
活动内容：
（1）解下列不等式组
（a） （b）
2、做一做：在什么条件下，长度为3cm，7cm，xcm的三条线段可以围成三角形？
活动目的：
学生已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，通过学生的练习，以达到加强解法的熟练性和准确性，同时为全面地对所有解的情况进行总结打下坚实的基础.
活动效果：
学生对这种复杂的一元一次不等式组的解决有一定的困难，此时教师可以引导学生从解方程组中获得一些信息，以达到正确解这些不等式组的效果.以此同时，在做这组练习题之前，教师可以先引导学生回忆一下求一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集的步骤，以及三角形三边的关系等知识，达到学生对旧知识的一个很好的回忆和掌握.通过上述练习的完成，教师可以请四位同学上台板演下列题目，若时间不允许的话，可以请四个组，一组一题的完成，只要能正确地解出正确结果即可.
⑴ ⑵
⑶ ⑷
第二环节、合作交流，探究新知
活动内容：
请大家认真观察一下这四组解，你发现了什么？
活动目的：
1、认真讨论解的情况；
2、从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律.
活动效果：
通过学生之间的交流和讨论，对照各组解的情况可能如下：
⑴由得x＞1; ⑵由;
⑶由得＜x≤4;⑷由得，无解.
此时，教师可以让学生说说自己组的讨论结果，并代表本组作总结性的发言.最后教师引导学生得出以下结论：
由（1）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是大于号，在数字1和－4中取大数1，不等号取大于号.
由（2）得，两个不等式的解集中不等号的方向都是小于号，在不等式组的解集中不等号的方向取小于，而数字取比较小的数字.
由（3）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，数字＜4，并且是
x＞,x≤4，最后的结果中是x取大于小数而小于大数，即＜x≤4.
由（4）得，两个不等式的解集中不等号的方向有大于也有小于，并且是x＞4,x＜3,因为4＞3，即x应取大于4而小于3的数，而这样的数根本不存在，所以原不等式组的解集为无解.
最后，教师利用课件将此结论理论化，并用课件展示出来：
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.
设a＜b,那么
（1）不等式组的解集是x＞b;
（2）不等式组的解集是x＜a;
（3）不等式组的解集是a＜x＜b;
（4）不等式组的解集是无解.
这是用式子表示，也可以用语言简单表述为：
大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小题无解.
第三环节、验证新知，同化知识：
活动内容：
1.解下列不等式组
（1）（2）
2.补充练习：解下列不等式组
1.2.
活动目的：
让学生利用大家探讨出来的结论，将不等式组的解集直接表示出来.
活动效果：
部分学生对解不等式组中的每一个不等式存在问题，还有些是对刚才总结的结论运用上有难度.但是通过教师对本题的订正，我相信会有不错的效果.
第四环节、师生交流，归纳小结
活动内容：
师生共同总结出如下内容.
1.练习了解一元一次不等式组.
2.总结了由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的四种情况.
活动目的：
学生总结时有一定的难度，教师可以引导学生完成小结过程，但不能包办，这样的目的是激起学生的学习兴趣和自主学习的能力，
活动效果：
达到培养学生的归纳总结的能力.
第五环节、作业布置
活动内容：
习题1.9以及课件补充
活动目的：
加强学生对新知识的巩固.
活动效果：
课堂上，学生发言非常积极，而且能够准确全面的表述。具体问题要在作业批改的过程中才能真正发现.
四、教学反思
1、辩证的看待任何事情，包括教学，是科学的态度，也是课改应坚持的原则，传统的课堂有没有优势？有没有可取之处？回答应是肯定的。如何找到一个最佳结合点？即如何寻求热烈的课堂氛围与扎扎实实地落实“双基”的有机结合，这都要求现代教师要具备超强的驾驭课堂的能力与扎实的专业水平作后盾。
2、学生总是从自己已有的想法、认知结构和思维方式去理解教学中碰到的新事物。学生曲解，甚至修正新知识的含义，以适应原有的认识结构和思维方式。学生们想当然的自己制造一个定理去解决所遇到的题目，以至于错想成自己的答案百分之百正确。其中的一部分原因应追究在教学过程中，没有让学生真正了解知识的来龙去脉，即知识的发生、发展过程。
3、课改、新教材显示了其强大的优越性和广阔的前景。只要在把握新教材的育人理念的前提下，立足双基，巩固提高，再恰当地采用形式多样的授课方式和手段，那么大面积地提高教学质量就顺理成章了。第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
3．不等式的解集
贵州省贵阳市第十七中学 金 萍 聂 慧
一、学生知识状况分析
学生在初一时已经学过数轴，对数轴有一定的了解,掌握了数轴的画法，知道实数与数轴上的点成一一对应关系，并且建立了一定的数形结合思想.以前学生所学的方程的解具有唯一性,而不等式的解的个数有无数个,这对学生来说是全新的开始;在前一课时，学习了不等式的基本性质，学生可利用性质解一些简单的不等式,为本节内容打下了基础。但对不等式解集的含义及表示方法还全然不知,因而在教学中要作更进一步的探索和学习.
二、教学任务分析
1、教材分析：
通过前面的学习, 学生已初步体会到生活中量与量之间的关系,不仅有相等而且有大小之分,为了弄清这种大小关系,教材在此创设了丰富的实际问题情境,引出不等式的解的问题，进一步探索出不等式的解集，同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来,从而渗透了“数----形”结合的思想,发展了学生符号表达的能力以及分析问题、解决问题的能力。教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系,认识数轴上的点是有序的,实数是可以比较大小的,体现了新教材循序渐进,螺旋上升的特点.
2、教学目标：
（1）知识与技能目标：
①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义
②能够在数轴上表示不等式的解集
（2）过程与方法目标:
①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。
②经历求不等式的解集的过程，并试着把不等式的解集在数轴上表示出来，发展学生的创新意识。
（3）情感态度与价值观目标：
从实际问题中抽象出数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造。
3、教学重点：
（1）理解不等式中的相关概念
（2）探索不等式的解集并能在数轴上表示出来
4、教学难点：
探索不等式的解集并能在数轴上表示出来
三、教学过程分析
本节课设计了七个环节，第一环节——复习旧知识；第二环节——情境引入；第三环节——课堂探究；第四环节——例题讲解；第五环节——随堂练习；第六环节——课堂小结；第七环节——布置作业。
第一环节：复习旧知识
活动内容：师：上节课，对照等式的性质类比地学习了不等式的基本性质，并且也探索出了它们的异同点，下面我们来回顾一下不等式的基本性质。（多媒体呈现）
活动目的：让学生回顾前一节内容，也为本节课教学做准备，起到承上启下的作用。
活动效果：学生基本掌握不等式的基本性质。
第二环节：创设情境，导入新课
活动内容：在某次数学竞赛中,教师对优秀学生给予奖励,花了30元买了3个笔记本和若干支笔,已知笔记本每本4元,笔每支2元,问最多能买多少支笔
活动目的：由一个实际生活情景引入，能引起学生学习的积极性，具有实际生活意义。
活动效果：学生1：3个笔记本共花去12元,还剩18元,可买9支笔.
学生2:我认为可以买1,2,3…9支,最多9支.
此时学生讨论激烈，具有较高的学习热情，探索欲望极强。为以下不等式的解集作下铺垫.
第三环节：师生互动，课堂探究
活动内容：通过学生们的相互交流，抽象到数学上：设至少可买X支笔,那么买笔记本的总价格与买笔的总价格的和不超过30元,因此: 3×4+2X≤30,利用不等式的基本性质可解得X≤9.
(一)提出问题,引发讨论探索交流:
1、若某人要完成一件工作，要求他完成这项任务的时间不得少于4小时，你知道他允许用的时间有多长吗？（X≥4）
2、燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10米以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少㎝？
分析：人转移到安全区域需要的时间最少为（S），导火线燃烧的时间为秒，要使人转移到安全地带，必须有：＞
解：设导火线的长度为x（㎝），则：
＞
∴x＞5
（二）想一想：
（1）x=5、6、8能使不等式成立吗？
（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？
（三）导入知识，解释疑难：
通过以上问题情境的引入可知：所列出的不等式中都含有未知数，而符合条件的未知数的值很多，只要将其中任一个未知数的值代入原不等式中，均能使不等式成立，把“能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。”不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时无解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。
既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解，那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢？请同学们相互交流，发表自己的见解。
（四）议一议：
请同学们用自己的方式将不等式X＞5的解集和不等式X-5≤-1的解集分别表示在数轴上，并与同伴进行交流
学生1：
X＞5 X≤4
学生2：
X＞5 X≤4
教师：同学1他这样表示无法区别有“等于”和没有“等于”。同学2的方法让人认为解集是在两个数之间，也容易引起误解。那么我们怎么来解决呢？以上两个解集应表示为：
注意：将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：
1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左.
2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
活动目的：通过生活情境导入不等式的意义及解集的含义，从而引发表示不等式解集的必要性。学习在数轴上表示不等式解集时，先鼓励学生用自己的方法表示，以发展他们的创新意识。
活动效果：本环节从生活实际情境引入，大力激发了学生的学习热情，较简单的问题串，让学生获得了成功的感受。最后在数轴上表示不等式的解集，充分体现了学生的创新能力。
第四环节：例题讲解
活动内容：根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集表示在数轴上
（1）X-2≥-4 （2）2X≤8 -2X-2＞-10
解：（1）X≥-2
（2）X≤4
（3）X＜4
活动目的：给学生做个示范，给出格式及方法。
活动效果：学生基本都能轻松掌握
第五环节：随堂练习
活动内容：
1、判断正误：
（1）不等式X-1﹥0有无数个解
（2）不等式2X-3≤0的解集为X≥
2、将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）X＞4 （2）X≤-1 （3）X≥-3 （4）X≤5
3、填空
1)方程2x=4的解有( )个,不等式2x<4的解有( )个
2)不等式5x≥-10的解是( )
3)不等式x≥-3的负整数解是( )
4)不等式x-1<2的正整数解是( )
活动目的：对本课知识进行巩固练习。
活动效果：学生都能利用不等式的基本性质解简单的不等式，并能在数轴上表示不等式的解集。
第六环节：课时小结
活动内容：
1、理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念
2、会根据不等式的基本性质解不等式,并把解集表示在数轴上。
活动目的：鼓励学生回顾本节课所学内容，用自己的语言叙述什么是不等式的解、不等的解集、解不等式的概念以及怎样把不等式的解集表示在数轴上。
活动效果：学生能用自己的语言较为准确地描述不等式解、解集、解不等式的概念，对在数轴上表示不等式解集的方法及注意事项都能准确表述。
第七环节：作业
习题1、3
四、教学反思
1、要充分领会教材和使用教材：
教师在教学过程中应充分领会教材，注重知识的衔接，在教学中充分体现数——形结合思想的渗透，同时也不时渗透集合的概念为高中学习作好衔接，设置问题情境让他们有兴趣参与探究、学习，从而去思考。培养学生动手、动脑、合作的精神，教学中重点放在不等式解集的探索过程。
2、充分体现学生的合作交流、积极参与
通过教师的引入让学生体会采用类比法思想自己推导出不等式的性质，进一步通过问题情况的引入，积极参与交流探索，最后老师作进一步诱导，能及时发现学生在分析问题解决问题中的不同见解，以及思维的误区，及时进行纠正、指导。把学生在课堂上学习的热情激发出来，使得人人参与交流、探索，给每个学生展示自己的平台。
3、需注意的方面：
在给予学生充分交流的同时，老师需积极参与，与学生一起创建建模的理念，并不时纠正不正确的思维。老师在小组活动中应给予学生充分的启发引导，对合作交流中出现的问题要及时更正，对困难学生要给予帮助，使小组合作学习更具有实效性。
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
（ ）
（ ）
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
X＞5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
X≤4
-2 -1 0 1 2 3 4
X≤4
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
X＞5
-3 -2 -1 0 1
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
5．一元一次不等式与一次函数（一）
贵州省清镇市第三中学 唐礼猛
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数，会求一次函数的表达式和画一次函数的图象，在本章前面几节课中，又学习了一元一次不等式概念，具备了解一元一次不等式的基本技能；
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经利用一次函数和一元一次不等式解决了一些简单的现实问题，感受到了一次函数和一元一次不等式解决问题的必要性和作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课属于八下第一章第五节《一元一次不等式与一次函数》第一课时内容，从属于“数与代数”这一数学学习领域，因而务必服务于数与代数教学的远期目标，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。教科书基于学生对一元一次不等式和一次函数认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务，本节课的教学目标是：
1、了解一元一次不等式与一次函数的关系.
2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较
3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.
4、训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.
5、体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：活动探究、合作学习；第三环节：运用巩固、练习提高；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。
第一环节：情境引入
活动内容：
上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？
活动目的：以“旧”引“新”，由原有的知识为基础，探讨新的内容。
活动效果：学生在回忆中探索本课时的内容，从而降低了学生们“入室”的门槛.
第二环节：活动探究、合作学习
活动内容：
下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.
1.导探激励
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0 （3）x取哪些值时，2x－5＜0
（2）x取哪些值时，2x－5＞0 （4）x取哪些值时，2x－5＞3
学生活动：讨论后回答。
活动目的：通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。
（1）当y=0时，2x－5=0,
∴x=, ∴当x=时，2x－5=0.
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知 y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0;
（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0;
（4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3.
活动效果：学生由讨论可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式。
2.想一想
活动内容：
如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0
学生活动：在刚才讨论的基础上，学生尝试解决问题。
活动目的：通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。
首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图：
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以当x取小于－2.5的值时，y＞0。
活动效果：通过完成这题进一步培养了学生的数形结合意识。
3.达测深化
活动内容：先画出图象，然后讨论回答。
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
（4）你是怎样求解的？与同伴交流.
活动目的：感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。
［解］设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得
y1=4x y2=3x+9
函数图象如图：
从图象上来看：
（1）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；
（2）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；
（3）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m;
（4）从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题，在回答第（3）题时，过y 轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m.
活动效果：绝大部分学生都能画出函数图象，并能借助函数图象完成上述问题。
第三环节：运用巩固、练习提高
已知y1=－x+3，y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.
活动内容：让学生分小组交流后作出解答，教师进行点评。
活动目的:一方面对上环节中解决此类问题的方法进行巩固，另一方面，让学生在合作学习的过程中进一步体验一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合是解决此类问题核心所在.
解：如图所示：
当x取小于的值时，有y1＞y2.
活动效果:学生在解答上述问题时,表现出极大的兴趣， 90%的学生能够顺利完成.
第四环节：课时小结
活动内容：
本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系，并且能根据一次函数的图象求解不等式。
活动目的：让学生通过自我反思性活动增强对相关知识和方法的理解水平。感受到数学的作用。
第五环节：布置作业
读一读 习题1.6 1、2
四、教学反思
函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型。本节的目的就是通过具体例子渗透三者之间的内在联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用。本节课的教学过程中应注意引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法，渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想，拓宽学生视野。相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
2、教学过程中要为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3、注意改进的方面：
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
1．不等关系
贵州省贵阳市第十七中学 唐 煌
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过一些不等式的相关知识，了解“大于”、“小于”等符号的用法和意义；在本章学习的前面，学生已经能比较两数的大小，并能用数学的语言表达；
学生活动经验基础：在相关的知识学习过程中，学生已经经历了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的形式，获得并积累了解决实际问题的数学经验的基础，同时在以前的学习中学生已经有了很多合作的过程。具备了一定的合作交流能力，为本章的学习奠定了知识与经验的基础。
二、教学任务分析
（一）教学目标：
1、知识与技能目标
①理解不等式的意义.
②能根据条件列出不等式.
2、过程与方法目标
通过认识实际问题中的不等式关系，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力。
3、情感与态度目标
通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并激发学生学习数学的信心和兴趣。
（二）教学重点：
通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。
三、教学过程分析
本节分为七个教学环节：第一环节引入新课、第二环节问题提出、第三环节活动探究、第四环节猜想归纳、第五环节运用巩固、第六环节课时小结、第七环节课后作业。
第一环节：创设问题情景，引入新课
活动内容：寻找相等的量和不等的量
师：我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题，同时，我们也知道现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题，本章我们就来了解不等式有关的内容。
师：既然不等式关系在实际生活中并不少见，大家肯定能举出不少例子。
生：可以，比如每天我都比他早起5分钟
师：很好，还有其他例子吗？
（同学们各抒己见）
师：我这里也有一些例子。拿出给同学们参考一下。
展示投影片
活动目的：通过这一活动，希望学生体会不等关系如相等关系一样处处存在，培养学生观察生活、乐于探究的品质。
活动效果：学生举出了许多不等的例子，不仅能从数字上，还能从现象、感觉上去体会不等关系。
第二环节：问题提出
活动内容：
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量对比来工作的．
师：那么，如何用式子来表示不等关系呢？
展示投影片
活动目的：在总结前面学生举例的基础上，提出该问题，引起学生进一步思考，培养学生深入思考问题的习惯。
活动效果：学生在层层深入的思考中，亲身体会到不等关系在生活中的重要性，现在再思考该问题正好激发了学生探究的欲望。
第三环节：活动探究
活动内容：在抗击“非典”时期，某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为xm(x<5m)的装潢条镶嵌（不计接缝），8年级1班数学研究性学习小组设计两种方案。如下图:
问 题：
探 究：
师：本题大家首先要弄明的两个问题，正方形和圆的面积公式，另一个是了解什么是“大于”、“不大于”。
生：正方形的面积等于边长的平方；
圆的面积是πR2；
两数比较有大于、等于、小于三种情况，不大于就是等于或小于
师：下面请大家讨论，按题意进行解答
（学生讨论、解答后，教师根据情况进行点评）
投影B
通过测量一棵树围（树干的周长）可以计算出它的树龄。通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约为3㎝，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4米？（只列关系式）
师：请大家互相讨论后列出关系式
生：设这棵树至少生长X年其树围才能超过2.4米，得
3X+5＞240
活动目的：在生活中去感受没有数学语言表达的困难之处，激发学生主动的解决问题。
活动效果：学生对大于、小于等关系容易理解，而对不大于等概念理解有一定难度，但讨论的气氛很热烈，学生各抒己见。
第四环节：猜想归纳
活动内容：观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？
生：由≤25
＞100
＞
3x+5＞240
得，这些关系式都是用不等号连接的式子，由此可知：
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
活动目的：学生自己总结出不等式的概念，培养学生总结归纳的能力。
活动效果：在实际总结中，部分学生的语言组织不够精炼。
第五环节：运用巩固
活动内容：按课本做随堂练习题
活动目的：对本节知识进行巩固练习
活动效果：学生基本都能运用适当的不等号表示不等关系，并收到了较好的教学效果。
第六环节：课时小结
活动内容：师生相互交流，总结本节难点：能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解。通过不等关系的式子归纳出不等式的概念。
活动目的：理清本节思路
活动效果：学生畅所欲言自己的感受与收获，并能总结难点。
第七环节：课后作业
习题1、1
四、教学反思
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本节课通过学生举例和老师的选例，让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外，更多的是不等关系的存在，并通过感受生活中的大量不等关系，初步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要数学模型。经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。
在引入不等式的概念时，有学生问到用“≠”连接的式子是否是不等式，这是课前老师没有预设的，这也充分反映了学生思维的活跃性，广泛性。所以在教学中，我们应该充分相信学生的潜力，让学生真正成为学习的主体，让学生的思维在数学课堂上尽情地驰骋，老师要做好引导者、与学生地位平等的进行交流与学习。
方案二
方案一
圆的面积不小于1.5m2
正方形面积不大于1m2
X满足的关系式
通风口规格
a
12
8
S正与S圆的关系
圆的面积/m2
正方形的面积/m2
x/m根据解集求字母的取值范围
根据解集情况求不等式（组）中字母取值或取值范围的题目，由于涉及的知识点多，解法不固定，同学们在解答时往往比较困难，请看以下两例。
例1 已知不等式(a－1)x＞a－1的解集是x＜1，求a的取值范围。
解析：解答本题需要对a－1进行讨论，显然a－1≠0。
（1）当a－1＞0时，解得x＞1,与题意不符；
（2）当a－1＜0时，解得x＜1，所以a的取值范围由a－1＜0决定，解得a＜1。
例2 已知不等式组无解，则m的取值范围是________________。
解析：原不等式组可化为，由不等式组无解可得
（1）＜（如图1）
图1 图2
（2）是否成立呢？借助数轴观察（如图2），由于原不等式中两个不等式都不含等号，在数轴上都要用空心圆圈表示，因此当时，两个不等式也无公共部分，所以原不等式组仍然无解。
可见原不等式组无解，必须满足，由此解得。
小结：显然，上面例题的难点主要在于对特殊点的取或舍，突破这一点的有效方法是借助数轴，并且要用动态观点观察数轴。同学们学习时要注意仔细领会。
想一想：以上题目作以下变化，结果会是怎样的呢？
1、如果不等式组无解，求m的取值范围。
2、如果不等式组无解，求m的取值范围。
3、如果不等式组有解，求m的取值范围。
参考答案：1、m≥2；2、m＞2；3、m≤2。本章检测题
班级： 姓名： 成绩：
一、填空题
1．用不等式表示：
（1） x与5的差不小于x的2倍： ；
（2）小明的身高h超过了160cm： ．
2．用不等号连接下列各组数：
（1）π 3.14 ； （2）（x－1）2 0 ； （3）
3．请写出解集为的不等式： ．（写出一个即可）
4．不等式的非负整数解是 ．
5．已知点P（m－3，m＋1）在第一象限，则m的取值范围是 ．
6．如果1”、“<”或“=”）
二、选择题
7．函数y＝kx＋b（k、b为常数，k0）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集为（ ）．
A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>2
8．已知，则下列不等式不成立的是 （ ）．
A． B． C． D．
9．将不等式组 的解集在数轴上表示出来，应是（ ）．
10．如图所示，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a0）相交于点P，则不等式kx+b>ax的解集是（ ）
A．x>1 B．x<1 C．x>2 D．x<2
三、解答题
1．解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）
（2）
（3）
（4）
2．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．
（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
3．有一个长方形足球场的长为x m，宽为70m．如果它的周长大于350m，面积小于7560m2，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．
（注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间）
4．已知A、B两个海港相距180海里．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从A港出发到B港航行过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）。根据图象解答下列问题：
（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）快艇出发多长时间后能超过轮船？
（3）快艇和轮船哪一艘先到达 B港？
参考答案
一、填空题
1．（1） （2）h>160cm
2．（1）> （2） （3）<
3．写对一个即可；
4．0、1、2；
5．m>3；
6．<；
二、选择题
7．C 8．D 9．A 10．D
三、解答题
1．（1）解：（x－1）＋22x （2）解：－6＋2x>3x＋6
x－2x－1 2x－3x>6＋6
－x－1 －x>12
∴ x1 ∴ x<－12
（3） （4）
解：解不等式①，得 x1 解：解不等式①，得x<1
解不等式②，得 x<4 解不等式②，得x>－3
故原不等式组的解集是1x<4 故原不等式组的解集是－32．解：（1）在甲超市购物所付的费用是：
300＋0.8（x－300）＝（0.8x＋60）元；
在乙超市购物所付的费用是：
200＋0.85（x－200）＝（0.85x＋30）元；
（2）当0.8x＋60＝0.85x＋30时，解得x＝600，
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
当0.8x＋60>0.85x＋30时，解得x<600，而x>300，
∴300当0.8x＋60<0.85x＋30时，解得x>600，即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．
3．解：根据题意可列不等式组为
解①，得x>105
解②，得x<108
∴105根据国际比赛足球场地的要求，该球场可以用作国际足球比赛．
4．解：(1) 快艇：y=40x-80 轮船：y=20x
(2) 根据题意，可得40x-80>20x
解得 x>4
4-2=2(时)
故 快艇出发2时后能追上轮船．
（3） 快艇先到达 B 港．
D
C
B
A
②
①
①
②
②
①(共11张PPT)
第一章 一元一次不等式和
一元一次不等式组
第四节 一元一次不等式（二）
湖北宜昌市十四中 郑小军
一、复习旧知,方法归纳
1、解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上
2、求不等式4（x+1) ≤20的正整数解
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化成1;
（6）根据题目对解及解集的要求作答.
二、合作探究，解决问题
解：设小明答对了x道题，得4x分，另有（25-x）道要扣分，
而小明评为优秀，即小明的得分应大于或等于85分，则
4x-(25-x) ≥85
解得 x≥22
答：小明至少答对了22道题，他可能答对22，23，24或25道题。
一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答
错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？
三、 例题解析，方法归纳
［例3］小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可能买几支笔？
解:设她还可能买x枝笔,根据题意,得
3x+2.2×2≤21
解这个不等式,得 x≤16.6/3
因为在这一问题中x只能取正整数,所以还可能买1支、2支、3支、4支或5支笔.
解一元一次不等式应用题的步骤：
（1）审题，找不等关系；
（2）设未知数；
（3）列不等式；
（4）解不等式；
（5）根据实际情况，写出全部答案
四、练习提高
2、小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元钱，一盒方便面3元钱，他买了5盒方便面，他还可能买多少根火腿肠？
1、解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化成1.
2、解一元一次不等式应用题的步骤：
（1）审题，找不等关系；
（2）设未知数；
（3）列不等式；
（4）解不等式；
（5）根据实际情况，写出全部答案
家庭作业
1、课本P 18页1、2、3
2、拓展练习(共16张PPT)
第一章 一元一次不等式和
一元一次不等式组
第六节 一元一次不等式组(二)
贵州省清镇市第三中学 罗显华
在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图
所以，原不等式组的解集是
（1）
（2）
（3）
（4）
大家认真观察一下这四组解，你发现了什么？
2.讨论解的情况
我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，
认真观察，互相交流，找出规律.
⑶由
得
＜x≤4;
得x＞1;
⑴由
⑵由
得，无解.
⑷由
补充例题
小结
通过本节课的学习，
你有什么收获？
作业
习题1.9部分
做一做
在什么条件
长度为3c
rcm
的三条绲段可
成一个三角形
之和
第三边
三角形任意边之差小于第三边
依题意。得
y
显然。4新之中!如蹇想上课使用,蹇一样国继
例2.解不等式组
3x-2解:解不等式①,得
解不等式②,得
一条数轴上表示不等式①②的解集,如图
所以。原不等式组的解集为:x
单栏
返回继约
例3.解不等式组:
5x-2>3(x+
解:解不等式①,得
解不等式②,得
4
一条数轴上表示不等式①②的解集,如图
所以,原不等式组的解集为:x>4
长<。琎一步的更新之中!!如变想上课使J返回继约
是否存在实数κ,使得κ3<5,且x-2>4
解不等式组
x-2>4
解:解不普式①,
解不等式②,得
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图
因为它们的解集没有公共部分,因此
单栏
此件还在琎一步的更返回继续
f随堂练习
等式组
x+3<5①
2(x-1)①
x+2
解:解不等式①,得解:解不等式①,得
解不等式②,得
解不等式②,得
因此,不等式组无解
△∠~想上谀用,您一样还需甘费更,巡继妇
元一次不等式组的解集图析(ax>a
单栏
∠正常使
返回继约
元一次不等式组的解集图析(a(同大取大
(同小取小)
x>a
(大大、小小
是无解
单栏
课件还在琎一步的更新之中!!如您:返回退出q
口答题(回答下列不等式组的解集)
同大取大
(同小取
取中
是无解)
具箱
关闭返回继续
解不等式-3≤
分析:本题可以看敵是两
次不等式
2
2x
5连写在一走
连
起的不等式实质也是不等式组
解:把原不等式写成不等式组
解不等式①得x>-4
解不等式②得x<8
因此,原不等式的解集是-4具箱
关闭返回继线有趣的不等式
一、2005年10月12日，我国“神舟”六号飞船在甘肃酒泉卫星发射中心成功发射，千年飞天梦，今朝又成真。这一伟大成就庄严地载入了中华民族的光辉史册，豪情满怀之后，你可曾知道，飞船是必须由火箭运载上天的，并且只有当火箭的速度大于1.12×104米/秒时，飞船才能脱离地球的引力束缚，飞入太空。
二、把看似枯燥的数学问题用朗朗上口的诗歌形式表达出来或编成有趣的小故事，让人们耳目一新，备受喜欢，不少的问题还涉及不等式。请看以下几例。
1、诗歌与不等式
诗歌曰：六丈六尺布，裁成两种裤，
长的七尺二，短的二尺五，
布要全用尽，规格要相等，
各样有几条，请问大师傅？
解：设长裤裁出x条，短裤裁出y条，
根据题意，得7.2x＋2.5y=66,
转化为y=。
显然x，y必是正整数，即＞0，解得x＜9。所以x为1至9的整数。由y=可知，x必须是5的倍数，否则就不是整数。
所以x=5，代入得y=12。
即长裤裁5条，短裤裁12条。
2、建筑物与不等式
一位意大利数学家游玩了比萨斜塔后，提出了一道有趣的问题。他说：比萨斜塔共有8层，其中顶层有12根石柱，中间6层，每层的石柱一样多，底层石柱只有中间每层石柱的一半，而且中间每层和底层的石柱数都是5的倍数。告诉你比萨斜塔是由200多根石柱构成，但不会超过250根。请问比萨斜塔由多少根石柱构成？
解：设比萨斜塔的底层有x根石柱，那么中间6层各有2x根，则比萨斜塔共有（13x＋12）根石柱。
由于中间每层和底层的石柱数都是5的倍数，即x是5的倍数，因此x可取5，10，15，20，…
x取5，10时，总石柱数少于200；x取20时，13x＋12=272＞250，也不符合题意；当x=15时,13x＋12=207，符合要求。
因此比萨斜塔由207根石柱构成。
（湖北省宜昌市十四中 郑小军）(共8张PPT)
第一章 一元一次不等式和
一元一次不等式组
第五节 一元一次不等式
与一次函数(二)
贵州清镇市第三中学 唐礼猛
回顾思考
4、某商品原价200元，现打七五折，则现价
是 元
1、一元一次不等式、一次函数（方程）的关系
2、若y1= -2x-2，y2=3x+3，试确定当x取何值时，y13、某商品原价60元，现优惠25%，则现价
是 元
45
150
例题1：某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以先免去一位游客的旅游费用，其余的游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
例题评析
例题2：某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。
甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y1（元）与所买的电脑台数x之间的关系是 。
乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y2（元）与所买的电脑台数x之间的关系 是 。
（1） 什么情况下到甲商场购买更优惠？
（2） 什么情况下到乙商场购买更优惠？
3）什么情况下两家商场的收费相同？
课堂练习
红枫湖门票是每位45元，20人以上（包含20人）的团体票七五折优惠，现在有18位游客买20人的团体票
（1）比买普通票总共便宜多少钱？
（2）不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？
课堂小结：
作业：
习题1.7 1，2
通过本节课的学习，你有哪些收获？(共9张PPT)
贵阳十七中 尹媛
等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
等式的基本性质2：
等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
的方向＿＿＿＿。
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号
的方向＿＿＿＿。
不变
改变
在上一节课中，我们猜想，无论绳长l取何值，
圆的面积总大于正方形的面积，即
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？
（根据不等式的基本性质2）
例1 将下列不等式化成“x＞a”或“x解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
即
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x解：
解：
2.已知x＞y，下列不等式一定成立吗？
不成立
＞
＞
成立
不成立
解：
成立
我今天学到了
……
你今天这节课有什么收获呢？
P9 习题1.2
完成下列填空：第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
5．一元一次不等式与一次函数（二）
贵州省清镇市第三中学 唐礼猛
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数，会求一次函数的表达式和画一次函数的图象，在本章上一节课中，又学习了一元一次不等式与一次函数的关系，结合一元一次不等式与一次函数的图象解决实际问题，具备了数形结合意识。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经利用一元一次不等式与一次函数的关系解决了一些简单的现实问题，感受到了一元一次不等式与一次函数的关系解决问题的重要性和作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本节课是八下第一章第五节《一元一次不等式与一次函数》第二课时的内容，从属于“数与代数”这一数学学习领域，因而务必服务于数与代数教学的远期目标，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。教科书基于学生对一元一次不等式与一次函数的关系认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务，本节课的教学目标是：
1、掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题。
2、通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。
3、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想。
4、训练大家能利用数学知识去解决问题的能力.
5、体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究、合作学习；第三环节：运用巩固、练习提高；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。
第一环节：情境引入
活动内容：
放假期间很多人热衷于旅游，而旅行社瞅准了这个商机，会打着各式各样的优惠来吸引你，那么究竟应该选哪一家呢？下面我们一起来探究这里的奥妙。
活动目的：让学生在一个比较熟悉的氛围中接触学习主题，有利于他们启动思维。
活动效果：引发了学生的兴趣。
第二环节：探究、合作学习
活动内容：学生在分组讨论的基础上，大胆提出自己解决问题的方法，教师点评。
1.［例1］某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
请大家先计划一下，你选哪家旅行社？
分析：首先我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较.而且比较情况只能有三种，即大于，等于或小于.
解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则
y1=200×0.75x=150x
y2=200×0.8（x－1）=160x－160
当y1=y2时，150x=160x－160,解得x=16;
当y1＞y2时，150x＞160x－160,解得x＜16;
当y1＜y2时，150x＜160x－160,解得x＞16.
因为参加旅游的人数为10~25人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少，当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.
由此看来，选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关，而且还和参加旅游的人数有关，那么在以后的旅行中，大家一定不要想当然，而是要精打细算才能做到合理开支，现在，你学会了吗？
活动目的：此处主要是想让学生经历运用不等式解决实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )过程。
活动效果：学生对这类问题比较感兴趣，兴趣是最好的老师，所以在分组讨论交流的过程中，都积极的参与并能大胆提出自己解决问题的办法。
活动内容：
借助刚才的经验，学生借助函数关系建立不等式，解决问题。
2.下面，我们要到商店走一趟，看看商家又是如何吸引顾客的，我们又应该想何对策呢？
［例2］某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.
（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.
（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？
（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？
（4）什么情况下两家商场的收费相同？
解：设要买x台电脑，购买甲商场的电脑所需费用y1元，购买乙商场的电脑所需费用为y2元.则有
（1）y1=6000+（1－25%）（x－1）×6000=4500x+1500
y2=80%×6000x=4800x
（2）当y1＜y2时，有4500x+1500＜4800x
解得，x＞5
即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠；
（3）当y1＞y2时，有4500x+1500＞4800x.
解得x＜5.
即当所购买电脑少于5台时，到乙商场买更优惠；
（4）当y1=y2时，即4500x+1500=4800x
解得x=5.
即当所购买电脑为5台时，两家商场的收费相同.
活动目的：此处主要是想起到示范作用，让学生经历运用不等式解决实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )过程，进一步体会不等式和函数是 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )刻画现实世界的 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )有效数学 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )模型。
活动效果：学生表现得在运用不等式解答问题时，借助函数建立不等关系还是有困难,规范解题不够合理，仍需在作业过程中教师给予适当的指导。
第三环节：运用巩固、练习提高
活动内容：
红枫湖门票是每位45元，20人以上（包含20人）的团体票七五折优惠，现在有18位游客买20人的团体票
（1）比买普通票总共便宜多少钱？
（2）不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？
活动目的：给学生提供进一步巩固对建立方程模型的基本过程和方法的熟悉机会。
解：略.
活动效果：多数学生能达到要求
第四环节：课堂小结
活动内容：
本节课我们进一步巩固了不等式在现实生活中的应用，通过这节课的学习，我们学到了不少知识，真正体会到了学有所用.
活动目的：让学生进一步体会了应用不等式解决现实生活中的问题的作用。
第五环节：布置作业
习题1.7第1、2题.
四、教学反思
1、在一元一次方程的应用中，学生虽然已经接触过做一做和例题这类应用问题，但在本节需要借助函数关系建立不等式，因此做一做和例题这类应用问题对学生来说可能会有一定难度，教学时要引导学生复习以前所学过的有关内容。
2、教学过程中要为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3、这堂课教得生动活泼，教学效果好，在一定程度上体现了新课程理念。让学生感受数学与实际结合的魅力。本节课的可贵之处还在于在引导学生从身边的现实问题转化为数学模型的过程中，教师始终把自己摆在组织者、引导者、参与者的立场上，让学生自己通过分析、实践、探究、总结等活动进行学习，培养学生发现问题，提出问题和解决问题的能力。这节数学课的课堂教学应该说较好地体现了素质教育的真谛。(共11张PPT)
贵阳十七中 唐煌
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量对比来工作的．
看一看
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们用到了生活实践当中．
由此可见，“不相等”处处可见。从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
问题探讨：在抗击“非典”时期，某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为x m的装潢条镶嵌（不计接缝），8年级1班数学研究性学习小组设计两种方案，如下图:
问 题：
方案一
方案二
通风口规格 x满足的关系式
正方形面积不大于1m2
圆的面积不小于1.5m2
（x/4)2<1
x2/4π>1.5
问题探讨：在抗击“非典”时期，某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为x m的装潢条镶嵌（不计接缝），8年级1班数学研究性学习小组设计两种方案，如下图:
方案一
方案二
探 究：
x/m 正方形的面积/m2 圆的面积/m2 S正与S圆的关系
8
12
a
82/16=4
82/4π=5.1
S正122/16=9
122/4π = 11.5
S正S正a 2/16
a2/ 4π
做一做：
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm。这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？
解：设这棵树生长x年其树围才能超过2.4m， 根据题意得：
5＋3x＞240
议一议：由以上问题得到的关系式，它们有什么共同点？
一般地，用符号“＜”（或≤），“＞”（或≥）连接的式子叫做不等式。
随堂练习
试举几个用不等式表示的例子。
用适当的符号表示下列关系：
（1）ａ是非负数；
（2）直角三角形斜边ｃ比它的两直角边 ａ，ｂ都长；
（3）ｘ与17的和比它的5倍小。
a ≥ 0
c>a且c>b
x+17＜5ｘ
小 结
通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？
表示不等关系的符号（不等号）都有哪几种？
什么叫做不等式？
你能从现实生活中举出几个表示不等关系的不等式吗？
课 外 作 业
课本第5页
课本习题1.1
（注意按照“作业要求”完成作业）(共11张PPT)
第一章 一元一次不等式和
一元一次不等式组
第五节 一元一次不等式
与一次函数(一)
贵州清镇市第三中学 唐礼猛
问题1：
作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题：
(1) x取何值时，2x-5=0？
(2) x取哪些值时, 2x-5>0？
(3) x取哪些值时, 2x-5<0
(4) x取哪些值时, 2x-5>3
导探激励
思考
能否将下述 “关于函数值的问题 ”,
改为 “关于x 的不等式的问题” ？
由上述讨论易知：
函数、(方程) 不等式
“关于一次函数的值的问题”
可变换成 “关于一次不等式的问题” ；
反过来， “关于一次不等式的问题”
可变换成 “关于一次函数的值的问题”。
因此，
我们既可以运用函数图象解不等式 ，
也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，
二者相互渗透 ，互相作用。
不等式与函数 、方程是紧密联系着
的一个整体 。
想一想：
如果y=-2x-5,
那么当x取何
值时，y>0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
0
1
2
3
4
x
-5
y
y=-2x-5
解：由图可知，当x<-2.5时,y>0
做一做：
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时哥哥追上弟弟？
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？
（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
(5 ) 你是怎样求解的？与同伴交流。
x
-2
0
10
8
6
4
2
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
/s
y/m
y
y
y
y
哥
哥
弟
弟
（1）何时哥哥追上弟弟？
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？
（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
(5 ) 你是怎样求解的？与同伴交流。
随堂练习：
已知y1=-x+3，y2=3x-4，当x取何值时，y1>y2，你是怎样做的？与同伴交流。
课堂小结：
作业：
必作题： 读一读
习题1.6 1，2
通过本节课的学习，你有哪些收获？(共19张PPT)
第一章 一元一次不等式和
一元一次不等式组
贵州清镇市第三中学 张明华
回顾与思考
本章知识结构图
实际背景
不等式
一元一次不等式
一元一次不等式组
不等式的基本性质
解不等式
解法
解法
解集
数轴表示
解集
解集
数轴表示
数轴表示
实际应用
（一） 等式有哪些基本性质？
等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个代数式，等式仍旧成立.
等式基本性质2：等式的两边都乘以同一个数（或除以同一个不为0的数） ，等式仍旧成立.
如果a=b，那么a±c=b±c
如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）
（二）不等式有哪些基本性质？
不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
如果a＞b,那么a+c＞b+c(或 a-c＞b-c).
如果a＜b,那么a+c＜b+c(或 a-c＜b-c).
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式基本性3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果a＜b,且c＞0,那么ac＜bc
如果a＞b,且c＞0,那么ac＞bc
如果a＜b,且c＜0,那么ac＞bc
如果a＞b,且c＜0,那么ac＜bc
（二）不等式有哪些基本性质？
例题分析
例1. 下列方程或不等式的解法对不对？为什么？
（1）－x=6,两边都乘以－1，得x=－6
（2）－x＞6,两边都乘以－1，得x＞－6
（3）－x≤6,两边都乘以－1，得x≤－6
［解］（1）正确.因为符合等式的性质.
（2）、（3）错误.根据不等式的基本性质3，在不等式两边都乘以－1，不等号的方向要改变，而（2）、（3）都没改变，所以错误.
例题分析
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？
解一元一次不等式的步骤有哪些？
想一想
去分母
去括号
移项
合并同类项
不等式两边同除以未知数的系数。
按要求把不等式的解集在数轴上表示出来.
解一元一次方程 解一元一次不等式
解法步骤 （1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化成1 （1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化成1
在步骤（1）和（5）中，要注意不等式号方向是否改变
解的情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式的解集含有无限多个数
例2. 下面不等式的解法对不对？为什么？
（1）7x+5＞8x+6
7x－8x＞6－5
－x＞1
∴x＞－1
（2）6x－3＜4x－4
6x－4x＜－4+3
2x＜－1
∴x＞
.
例题分析
什么是不等式的解？什么是不等式的解集？
例题分析
想一想
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集
例3. 下列说法正确的是 （ ）
A、x =3是2x ＞3一个解
B、x =3是2x ＞3的解集
C、x =3是2 x ＞3唯一解
D、x =3不是2x ＞3的解
例题分析
A
例题分析
例4. 解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）2（x－3）＞4;（2）2x－3≤5（x－3）;
（3）
（4）
例题分析
运用不等式解决实际问题的基本过程是什么？
想一想
例5 . 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？
①审题，设未知数；
②找不等关系；
③列不等式；
④解不等式；
⑤写出答案.
例题分析
运用不等式解决实际问题的基本过程是:
课堂练习
解下列不等式或不等式组,并把解集在数轴上表示出来：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）;
（2）10－4（x－3）≤2（x－1）;
（3）
（4）
课时小结
1.回顾本章的知识点.
2.通过本章的学习,自己有什么收获 你感觉最困难的是什么 印象最深刻的是哪个部分的知识
课后作业
复习题第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
6．一元一次不等式组（一）
贵州省清镇市第三中学 罗显华
一、学生知识状况分析
“一元一次不等式组”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师大版）八年级下册第一章《一元一次不等式组》的第6节。本节课是学生在学习一元一次不等式和方程后，对一元一次不等式组已具有一定的认知水平，特别是经历了方程组的数学活动，在此基础上引导学生去发现、比较、猜想、类比与归纳。结合学生心理和生理特征，突出了学生对知识的发生及其发展过程的整体认识。
学生本来就存在对新知识的渴求，因而不必担心学生的学习热情、兴趣。教师要组织学生立足基本知识点和基本技能，培养学生比较、猜想、类比与归纳的习惯，相信学生能很好地掌握，为后面的学习打下坚实的基础。
二、教学任务分析
“一元一次不等式组”是从已有的知识构建回顾出发，遵从情景引入的理念，灵活地、创设性的处理教材的一节课。在前面的学习过程中，学生已有“观察，分析，比较情景中的问题→建构数学模型→猜测→总结，交流→验证”的情感体验与经历。本节课由于其内容简单，大部分学生也具备解不等式和列方程的能力，鉴于此，本节课除了让学生体验自主求知的学习兴趣，增强自信之外，还要充分发挥本小节教材与方程组的特点。从注重双基、揭示知识发生过程着手，充分体现老师的主导功能，更好地发展学生有条理地进行归纳、猜想和总结的能力。
本课时教学让学生自己动手，让学生大胆去说，去观察，探讨，引导学生去发现、比较、猜想与归纳。
教科书基于学生对不等式以及对方程组的概念已基本掌握的基础之上，提出了本课的具体学习任务和本节课的教学目标是：
1.理解一元一次不等式组及其解的意义，加强运算的熟练性和准确性，培养思维的全面性；
2.初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法。
3.能运用不等式组解决简单的实际问题，培养学生独立思考的习惯和合作交流意识；
4.初步认识数学与人类生活的密切联系及其对人类历史发展的作用。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：活动探究、合作学习；第三环节：运用巩固、练习提高；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。
第一环节：情境引入
活动内容：
上几节课我们学习了一元一次不等式的解法和以前学习过的方程组，那么，它们有什么联系呢？你能解下列一元一次不等式吗？你能将它们的解集表示在数轴上吗？试试看.
解下列不等式，并在数轴上表示
2X-1>-X 0.5X<3
3X-24X+1
活动目的：
在于从回顾已有的知识出发，遵从情景引入的理念，激发学生学习兴趣，加强学生对旧知识的掌握，以达到对新知识的引入.
活动效果：
在引导学生解一元一次不等式的同时，教师将学生所完成的情况利用展台的作用，对学生的完成情况及时的展示并加以肯定，以达到增强学生自信，并为后面的学习打下坚实的基础. 同时教师利用课件及时展示正确的解答过程，以达到及时纠正部分学生的错误.
第二环节：活动探究、合作学习
活动内容：
对比方程组的概念，你能将上述你解的不等式进行组合吗？你能将它们的的解集表示在同一条数轴上吗？你能给你所组成的形如“方程组”的式子取个名字吗？试试看.
此时学生可以进行独立思考，小组讨论，交流，最后进行归纳总结.
活动目的：
通过学生之间的交流，讨论，一个是加强学生之间的合作交流学习的目的，另一个是想通过学生自己的归纳总结，达到对新知识的引入.
活动效果：
通过学生之间的讨论和交流，让学生自己总结出结论，可以达到学生对新知识一个更加深刻的印象.同时，教师根据学生总结出来的结论，及时用课件或在黑板上板书出正确的结论，以达到学生自己纠正错误的效果.
（板书或展示内容）
（1）一元一次不等式组的概念：一般地,关于同一未知数的几个一元一次
不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组。
（2）一元一次不等式组的解集的概念：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
（3）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
第三环节：运用巩固、练习提高
活动内容：
1、某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月，如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨。该校计划每月烧煤多少吨？（要求学生能够列出一元一次不等式组即可）
2、想一想
（1）在习题1.1中，如果要配制的饮料同时满足第3、4题的条件，那么你能列出一个不等式组吗？
（2）你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？
（目的：给学生展示不等式组的求解过程）
3、例题讲解：
例 解不等式组：
4、书上随堂练习部分。
活动目的：
通过学生自己的动手操作，一方面使学生能够体会数学的学习是运用于生活的，另一发面，通过学生解不等式组，可以达到巩固新知识的目的.
活动效果：
实际教学中学生纷纷想办法解决问题，老师让学生展开争论,对学生独立思考作了要求，通过对投影课件的对比，同时教师将学生的作业利用展台进行展示，让学生感到一种学有所获的自豪感.
第四环节：课堂小结
活动内容：
学生小结本节内容.
活动目的：
培养学生归纳、总结的目的.同时也培养了学生的语言表达能力，并加强了学生学有所获的乐趣.
活动效果：
学生的学习自主性和学习积极性有所提高.
第五环节：布置作业
活动内容:
课本习题
教师课件补充.
活动目的：
加强学生对新知识的巩固.
活动效果：
课堂上，学生发言非常积极，而且能够准确全面的表述。 具体问题要在作业批改的过程中才能真正发现.
四、教学反思
授课期间，我按照以往的惯例从第一组开始面批，当我发现连续几位学生出现了“由 X+4>4X+1解得x>1”的问题后，就按照预先的设计，复习和强调了不等式基本性质3，及不等式基本性质3与等式基本性质的区别。借此对不等式的三个基本性质进行区分。虽然我及时调整了教学，但总体来说效果不佳，又费了时间。
课后我分析了问题的原因：没有充分考虑不同层次学生的差异。这节课让我更深刻的体会到，关注的对象应该是后进生，把最早的帮助给后进生，把更多的关注留给后进生。对于较好的学生则可以采用分阶段公布答案，让他们自己对答案、自己找错、改错。
另外，在教学中，除了在难点与关键处给以适度的启示与点拨之外，尽量引导学生去独立探索和思考．凡学生力所能及之处，教师一概不包办代替，在课堂内最大限度地给学生创造思维自由驰骋的时间和空间．问题由教师提出，而结论则由学生通过一定的智力活动后而获得．(共17张PPT)
第一章 一元一次不等式和
一元一次不等式组
第六节 一元一次不等式组(三)
贵州省清镇市第三中学 罗显华
一元一次不等式的解集怎么确定？
大约需要188天到563天，小颖的头发才能
生长到16cm到28cm．
一盒饼干的标价可是整数哦!
小朋友,本来你用10元钱买一盒饼干是有多的,但是再买一袋牛奶就不够了!今天是儿童节,我给你买的饼干打9折,两样东西请拿好!还有找你的8角钱.
阿姨,我要买一 盒饼干和一袋牛奶(递上10元钱)
根据对话的内容,试求出饼干和牛奶的
标价各是多少元.
1.一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面
每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数.
2.已知利民服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需A种布料0.6米，B种布料0.9米，做一套N型号时装需用A种布料1.1米， B种布料0.4米，若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？
1.解：设小朋友的人数为x，则玩具数为（2x+3）件，根据题意，得
2.解：生产N型号的时装套数为x时，则生产M型号的时装套数为
（80－x），根据题意，得
补充练习
活动与探究
火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物
1150吨，现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批
货物运至北京，已知每节A型车厢的运费是0.5万元，
每节B节车厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙
种货物15吨可装满一节A型车厢，甲种货物25吨和乙
种货物35吨可装满一节B型车厢，按此要求安排A、B
两种车厢的节数，共有哪几种方案？请你设计出来；
并说明哪种方案的运费最少.
小结
通过本节课的学习，
你有什么收获？
作业
习题1.10部分第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
4．一元一次不等式（二）
湖北省宜昌市第十四中学 郑小军
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面的学习过程中已了解了不等式的基本性质和一元一次不等式的概念，知道解一元一次不等式的依据是不等式的三个基本性质，并且会解简单的一元一次不等式，而且能在数轴上表示其解集。
学生活动经验基础：在方程与方程组的知识学习过程中，学生已经经历了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的形式，获得并积累了解决实际问题的数学经验的基础，同时在以前的学习中学生已经有了很多合作的过程，具备了一定的合作交流能力。
二、教学任务分析
（一）教学目标：
（1）知识与技能目标：
①进一步熟练掌握解一元一次不等式
②利用一元一次不等式解决简单的实际问题
（2）过程与方法目标：
通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型，通过对不等式的求解对实际问题的解决，训练学生的分析和建立数学模型的能力。
（3）情感与态度目标：
通过利用一元一次不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系，以激发学生学习数学的兴趣与信心。
（二）教学重点：一元一次不等式的应用
（三）教学难点：将实际问题抽象成数学问题的思维过程。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习旧知，方法归纳；第二环节：合作探究，解决问题；第三环节：范例解析，方法归纳；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节 复习旧知，方法归纳
活动内容1：
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上
（1） （2）
活动目的：通过对这两个一元一次不等式的求解，让学生回顾解一元一次不等 式的基本步骤以及在数轴上表示解集的方法。
活动效果：绝大多数学生都能独立地、正确地解决，但有一部分学生在用数轴 表示解集时还是把端点值的实心点画成空心圆圈，有的学生甚至把方向也画反了。老师在此应再次强调。
活动内容2:
归纳解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母———不等式性质2或3
注意：
①勿漏乘不含分母的项；
②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号；
③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变.
（2）去括号——去括号法则和分配律
注意：
①勿漏乘括号内每一项；
②括号前面是“－”号，括号内各项要变号.
（3）移项——移项法则（不等式性质1）
注意：移项要变号.
（4）合并同类项——合并同类项法则.
（5）系数化成1——不等式基本性质2或性质3.
注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变
活动目的：让学生进一步明确解一元一次不等式的步骤与注意事项
活动效果：丛后面的练习效果来看，归纳方法是有效且必需的。
活动内容3：
求不等式4(x+1)≤20的正整数解。
活动目的：使学生体会题目的条件与要求对不等式解集的影响，也为后面解决实际问题时要考虑实际意义作铺垫。
活动效果：一部分学生能顺利解答，一部分学生因思维定势与审题不严而做错。
第二环节 合作探究，解决问题
活动内容：利用一元一次不等式解决简单的实际问题
一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？
解：设小明答对了x道题，则得4x分，另有（25-x）道要扣分，而小明评为优秀，即小明的得分应大于或等于85分，则
4x-(25-x) ≥85
解得： x≥22
所以，小明至少答对了22道题，他可能答对22，23，24或25道题。
活动目的：通过学生之间的合作、交流，让学生体会不等式在解决实际问题时的作用，并且发展了学生的合作、交流与数学语言的表达能力。
活动效果：学生发言踊跃，思维活跃，有算术计算的方法，有方程的方法，也有不等式的方法。
第三环节 例题解析，方法归纳
活动内容1：
［例3］小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可能买几支笔？
解:设她还可能买x枝笔,根据题意,得
3x+2.2×2≤21
解这个不等式,得
x≤
因为在这一问题中x只能取正整数,所以还可能买1枝、2枝、3枝、4枝
或5枝笔.
活动目的：进一步让学生体会不等式在解决实际问题时的作用，并且要结合实际问题的意义作出最后的解答，同时也为学生的解题步骤起了一个示范的作用。
活动效果：有助于提高学生解题的规范性，同时为后面的方法归纳作了铺垫。
活动内容2：方法归纳
解一元一次不等式应用题的步骤：
（1）审题，找不等关系；
（2）设未知数；
（3）列不等关系；
（4）解不等式；
（5）根据实际情况，写出全部答案
活动目的：通过例2、例3的解答，让学生通过讨论与交流，归纳出利用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤，培养学生的数学建模的能力。
活动效果：通过类比列方程解应用题的步骤，学生基本上归纳得比较完整，只是最后求出了不等式的解集后，还要根据实际意义来得到最后答案，有些同学容易忽略。
第四环节 练习提高
活动内容：1、解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
2、小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元钱，
一盒方便面3元钱，他买了5盒方便面，他还可能买多少根火腿
肠？
活动目的：通过学生独立对随堂练习的解答，及时发现问题、解决问题，让学生熟练解一元一次不等式，并能利用不等式解决一些实际问题。
活动效果：随机抽取学生上台演示，学生掌握情况良好。
第五环节 课堂小结
活动内容：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
（1）解一元一次不等式的一般步骤及注意事项
（2）利用一元一次不等式可以解决一些实际问题
活动目的：培养学生知识归纳与整理的习惯与能力，通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆。
活动效果：学生各抒己见，畅所欲言，一般都能概括出上述两条来。
第六环节 布置作业
习题1.5 1.2.3
四、教学反思
1、本节课通过复习解一元一次不等式以及在数轴上表示解集开始引入新的问题，学生通过对新问题的讨论、交流与研究，明确了方法与注意事项，并为利用一元一次不等式解决实际问题作了铺垫。这样的程序符合学生的认知规律，教学取得了不错的效果。适时地由学生自己合作、交流，归纳出一般性的方法，对于学生从整体上把握知识以及养成总结的习惯是大有帮助的。
2、本节课的重点是利用一元一次不等式解决实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系。如果能再多涉及到生活中的其他类型的实际问题，学生的体会可能会更好，比如打折问题、销售问题、方案问题等。(共12张PPT)
贵阳十七中 蒋继媛 凌禹
导入
小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约15厘米。
问:(1)大约几周后树苗长高到1米？
(2)大约几周后树苗的高度超过1.3米？
请列出算式。
解：
（1）设大约x周后树苗长高到1米，则有：
40 + 15x=100
（2）设大约x周后树苗高度超过1.3米，则有：
40+15x>130
观察下列不等式：
(1)40+15x＞130 (2)2x-2.5≥1.5
(3)x≤8.75 (4)x＜4
(5)5+3x ＞ 240
这些不等式有哪些共同点？
一元一次不等式的定义
左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式(linear inequality with unknown)
在前面几节课中，你列出了哪些一元一次不等式？试举两例，并与同伴交流。
例一
例1.解不等式3-x ＜ 2x+6，并把它的解集表示在数轴上。
1、你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试。
2、在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？
3、在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？
例1.解不等式3-x ＜ 2x+6，并把它的解集表示在数轴上。
解：
两边都加上-6，得：
3+(-6) ＜ 3x+6+(-6)
合并同类项，得：
-3 ＜ 3x
两边都除以3，得：
-1＜x
即：
x -1
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
解方程的移项变形对于解不等式同样适用
＞
两边都加上x，得：
3-x+x ＜ 2x+6+x
0
1
-1
-2
2
3
4
5
6
-3
合并同类项，得：
3＜3x+6
例1.解不等式3-x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上。
解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：
（1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项；（5）系数化1。
注意:在（1）和（5）中，如果乘数或除数是负数，要把不等号的方向改变。
这个不等式的解集在数轴上表示如下
例2.解不等式 ≥ ，并把它的解集表示在数轴上。
去括号，得 3x-6≥14-2x
移项、合并同类项，得 5x≥20
两边都除以5，得 x≥4
解：
去分母，得 3(x-2) ≥2(7-x)
0
1
-1
-2
2
3
4
5
6
随 堂 练 习
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
(1)5x<200; (2) <3
(3)x-4≥2(x+2) (4) <(4x-5)/3
小结
1、通过本节课的学习，你学到了那
些知识？
2、你学会了哪些数学方法
3、你觉得在解一元一次不等式的步骤中，应该注意些什么问题？
课后练习
课后练习P15习题1.4第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
回顾与思考
贵州省清镇市第三中学 张明华
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过对本章内容的学习，知道了不等式的相关概念、不等式的基本性质、不等式的解法，了解不等式是解决实际问题的一种数学模型。
学生活动能力基础：学生在前面学习过程中已经有了一定的社会实践经验，知道在现实生活中可以通过数学计算选择最优方案；能在数轴上画图表示不等式的解集。
二、教学任务分析
课本以问题串的形式要求学生整理本章学习的主要内容。教学中教师可以让学生自己画一个本章知识联系图，体会知识之间的发展脉络与内在联系。本章的教学难点是解不等式与不等式组，应用不等式解决实际问题。不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效方法，通过本章的学习，让学生增强应用数学知识研究和解决实际问题的良好意识。本节课的具体教学目标是：
（一）知识与技能
1.掌握不等式的基本性质，理解不等式（组）的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示其解集。
2.利用一元一次不等式解决实际问题.
3.理解一元一次不等式与一次函数之间的关系。
（二）过程与方法
通过回顾本章内容，经历将一些实际问题抽象为不等式的过程，体会不等式也是刻画现时世界中量与量之间关系的有效方法，感受不等式、方程、函数之间的联系与区别，研究用不等式解决实际问题的方法。
（三）情感与价值观要求
关注学生的学习情感，鼓励学生从不同的角度思考问题、解决问题，发展学生个性，使每个学生都能体会学习数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备，整理知识；第二环节：问题情景；第三环节：共同研究，解决问题；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节：课前准备，整理知识
活动内容：学生提前把本章的知识内容进行整理，画出本章知识联系图。
活动目的：学生通过对本章的知识进行整理，进一步理解和掌握本章的知识体系。通过画本章知识联系图，培养学生归纳整理、对比分析的能力，同时在画图的过程中，学生可以互相进行比较、补充，养成交流与合作的习惯。
注意事项：要求学生认真完成知识整理和知识联系图。将学生的知识联系图先收集起来，通过展台投影，让全班同学一起来进行评比。大部分学生的知识联系图比较符合要求，基本体现了学生自主研究学习的过程与能力。但是，有少部分学生完成的质量较差。在教学中要注意这部分学生的态度。
第二环节：问题情景
活动内容：投影展示部分同学所画的知识联系图，让全班同学进行评比，并说明联系图画得比较好的地方与不足之处。然后教师将本章的知识联系图进行投影。投影“本章知识结构图”
教师根据知识结构图，要求学生对每个方框中的知识内容进行回顾，对学生感觉有一定难度的内容，鼓励学生之间进行交流、讨论，互相补充，然后教师给以适当的帮助。
活动目的：通过对本章知识联系图的对比分析，让学生体会知识之间的发展脉络与内在联系；对知识联系图中各知识点的简要回顾，使学生对本章知识内容有进一步的理解和掌握。
注意事项：
要求每个学生在进行知识整理分析时，要把每个知识点所包含的知识内容认真阅读与思考，真正理解每个知识内容的含义。
第三环节：共同研究，解决问题
活动内容：通过对本章知识结构图的分析和理解，学生对本章的知识点已经有了一个全面的理解，本章主要从以下几方面对有关不等式的知识进行研究：
由现实生活中的不等关系推导出不等式的意义，并能根据条件列出不等式；
类比等式的性质，推导不等式的有关性质以及等式性质与不等式性质的异同；
根据不等式的性质求解不等式，并能利用不等式解决实际问题；
一元一次不等式与一次函数；
一元一次不等式组及其应用.
重点知识讲解：
投影“等式的基本性质”和“不等式的基本性质”，学生对这两个性质进行对比。
（1）等式的基本性质：
等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立
如果a=b，那么a±c=b±c
等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成立
如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）
（2）不等式的基本性质：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点？
不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同.
例题分析：
例1. 下列方程或不等式的解法对不对？为什么？
（1）－x=6,两边都乘以－1，得x=－6
（2）－x＞6,两边都乘以－1，得x＞－6
（3）－x≤6,两边都乘以－1，得x≤－6
提问：解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？
解一元一次不等式的步骤有哪些？
学生活动：学生回忆前面学习过程中解一元一次方程和解一元一次不等式的经验与体会，交流、探讨上述问题。
解一元一次不等式的步骤有：（投影）
去分母；去括号；移项；合并同类项；不等式两边都除以未知数的系数.
下面我们对比地学习解一元一次不等式与解一元一次方程的异同
解一元一次方程 解一元一次不等式
解法步骤 （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化成1 （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化成1在步骤（1）和（5）中，要注意不等式号方向是否改变
解的情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式的解集含有无限多个数
［例2］下面不等式的解法对不对？为什么？
（1）7x+5＞8x+6
7x－8x＞6－5
－x＞1 ∴x＞－1
（2）6x－3＜4x－4
6x－4x＜－4+3
2x＜－1 ∴x＞.
提问：什么是不等式的解和解集？
举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集.
［例3］下列说法正确的是 （ ）
A、X=3是2X＞3一个解 B、X=3是2X＞3的解集
C、X=3是2X＞3惟一解 D、 X=3不是2X＞3的解
［例4］解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）2（x－3）＞4;（2）2x－3≤5（x－3）;
（3）（4）
教师活动：教师可以让学生先独自完成上述各小题的解答，然后从学生中抽取部分学生的作业进行投影展示，让学生自己来作评判，找出存在的问题。对于做得比较好的同学，教师给予鼓励。
本例通过对四个不等式或不等组的求解，力图使学生正确的解不等式和不等式组，并能够正确地在数轴上表示它们的解集。
学生活动：归纳解一元一次不等式组的方法，提醒学生借助于在数轴上表示不等式组中各不等式的解集，再取它们的公共部分，从而找到不等式组的解集。
提问：运用不等式解决实际问题的基本过程是什么？
教师引导学生用类比的方法，由列方程解应用题的步骤，猜想出用不等式解决实际问题的步骤.
［例5］ 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？
活动目的：使学生明确本章主要从哪些方面对不等式进行研究；通过对重点知识的讲解，使学生加强对本章重点、难点知识的理解；通过例题讲解学习，使学生掌握本章知识的应用。例1巩固不等式的基本性质；例2进一步说明如何根据不等式的性质解不等式；例3让学生加深对不等式的解与解集的理解；例4巩固不等式及不等式组的解集和在数轴上表示不等式的解集；例5是应用不等式解决实际问题的一个很好的范例，主要目的是培养学生用所学的知识解决现实生活中的相关问题的意识，理解不等式的有关知识来源于实践，又应用于实践。
注意事项：
对于前面四个例题，多数学生基本上能够很好地掌握，重点强调不等式的基本性质3的应用就可以了。对于例5，有相当多的学生还存在一定的理解难度，教学时要多注意基础较差的学生的学习情况，帮助他们克服困难，解决类似的问题。
总结应用不等式解决实际问题的基本过程
①审题，设未知数；
②找不等关系；
③列不等式；
④解不等式；
⑤写出答案.
第四环节：练习提高
活动内容：
解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）;
（2）10－4（x－3）≤2（x－1）;
（3）;
（4）
活动目的：对不等式（组）的解法进行巩固练习。
注意事项：
学生基本都能够顺利完成。个别学生在解不等式组时还存在问题，不会在数轴上准确表示不等式（组）的解集。
第五环节：课堂小结
活动内容：
1.回顾本章的知识点.
2.通过本章的学习,自己有什么收获 你感觉最困难的是什么 印象最深刻的是哪个部分的知识
活动目的：
鼓励学生结合本节课的学习内容，谈自己对本节课的感受。
注意事项：
学生把自己这一节课的学习所得进行交流，互相补充，把自己存在的问题交由大家一起讨论，共同解决问题。
第六环节：布置作业
复习题A组、B组
四、教学反思
1.本节课的教学时间显得比较紧张，原因是教学过程中对一些内容的选取不够精简。比如对基本知识的复习讲解，在已经对本章知识联系图进行分析讲解的基础上，可以通过例题、练习的形式进行巩固复习，不必逐条讲解。
2.学生练习和思考的时间较少，对一些问题的考虑时间不足，学生存在的问题没有充分地暴露出来，这对今后的教学会有一定的影响。
本章知识结构图
实际背景
不等式
一元一次不等式
一元一次不等式组
不等式的基本性质
解不等式
解法
解法
解集
数轴表示
解集
解集
数轴表示
数轴表示
实际应用(共17张PPT)
第一章 一元一次不等式和
一元一次不等式组
第六节 一元一次不等式组(一)
贵州省清镇市第三中学 罗显华
复习巩固
解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集
2x-1>-x
② 0.5x＜3
③ 3x-2④ x+4>4x+1
解得：x>
1
3
解得：x ＜ 6
解得：x＜
3
2
解得：x ＜ 1
③ 3x-20
1
3
1
3
0
3
2
3
2
0
－1
1
0
－6
6
1、将上面内容进行组合,如：
思考：
(1) 你能为它取个名字吗？
(2) 你能将它们的解集在数轴上表示出来吗？
哪一部分是它的最后解集呢？
①独立思考；②小组讨论；
③小组交流；④归纳总结。
关键：
（1）分别解出不等式；
（2）将结果在数轴上表示出来；
（3） 取公共部分
2x-1>-x
0.5x<3
3x-2x+5>4x+1
一元一次不等式组
像这样,关于同一未知数的几个一元一次
不等式合在一起,就组成一个
2X-1>-X
0.5X<3
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共
部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.
求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月.如果每月比计
划多烧5吨煤, 那么取暖用煤总量将超过100吨;如果每
月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量不足68吨，该
校计划每月烧煤多少吨
解：设该校计划每月烧煤x吨,根据题意,得
未知数x同时满足① ②两个条件,把① ②两个不等式合在一起,
就组成一个一元一次不等式组,记作:
4(x+5)>100 ①
且 4(x-5)<68 ②
4(x+5)>100
4(x-5)<68
｛
用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料
的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
甲种原料 乙种原料
维生素C/（单位/千克） 600 100
原料价格/（元/千克） 8 4
维生素及价格
原料
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位
的维生素C，试写出所需甲种饮料的质量x（千克）
应满足的不等式．
600x+100（10－x）≥4200
用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料
的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
甲种原料 乙种原料
维生素C/（单位/千克） 600 100
原料价格/（元/千克） 8 4
维生素及价格
原料
在上题的条件下，如果要求购买甲、乙两种原料
的费用不超过72元，那么你能写出x（千克）应满
足的另一个不等式吗？
8x+4（10－x）≤72
（1）在本题中，如果要配制的饮料同时满足两问的话，那么你能列出一个不等式组吗？
8x+4（10－x）≤72
600x+100（10－x）≥4200
（2）你能尝试找出符合上面一元一次不等式组
的未知数的值吗？与同伴交流.
4(x+5)>100
4(x-5)<68
｛
因此，原不等式组的解集为20注意：这个点
是空心的哦！
注意：这个点
也是空心的哦！
什么情况
下的点是
实心的呢？
1.解下列不等式组:
2x>1
x-3<0
｛
(1)
x-2<-1
3x+1<8
｛
(2)
课堂小结:
1.一元一次不等式组中各个不等式的解集的
公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.
求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.
2.解一元一次不等式组的步骤:
①求出这个不等式组中各个不等式的解集.
②利用数轴求出这些不等式解集的公共部分.
③表示这个不等式组的解集.
家庭作业：书上习题部分
补充：典型习题
1、对于一次函数，当为何值时，
（1）？ （2）？ （3）？
答案：（1）令，则，
即当时，一次函数中的值大于0．
（2）令，则，
即当时，一次函数中的值等于0．
（3）令，则，
即当时，一次函数中的值小于0．
2、一艘轮船以20km/h的速度从甲港驶往160km远的乙港，2h后，一艘快艇以40km/h的速度也从甲港驶往乙港．请你分别列出轮船和快艇行驶的路程(km)与时间(h)的函数关系式，在图中的直角坐标系中画出函数图象，并观察图象回答下列问题：
（1）何时轮船行驶在快艇的前面？
（2）何时快艇行驶在轮船的前面？
（3）哪一艘船先驶过60km？哪一艘船先驶过100km？
答案：轮船和快艇行驶的路程(km)与时间(h)的函数关系式分别为：
；
．
画出的图象如图所示．
观察图象可得：
（1）快艇出发后离甲港80km内，轮船行驶在快艇的前面．
（2）离甲港80km外，快艇行驶在轮船的前面．
（3）轮船先驶过60km处，快艇先驶过100km处．
3、一次函数与轴的交点坐标为，则一元一次不等式的解集为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：(A)
4、小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，如果每支钢笔5元，每本笔记本2元，那么小明最多能买 支钢笔．
答案：13
5、作出函数的图象，观察图象，回答下列问题：
（1）取什么值时，大于？
（2）取什么值时，小于？
（3）取什么值时，大于0．
答案：（1） （2） （3）
6、已知，当取何值时，
答案：
7、声音在空气中的传播速度(m/s)（简称音速）与气温(℃)满足关系式：
．求音速超过349m/s时的气温．
答案：
8、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签定月租车合同．设汽车每月行驶，应付给个体车主的月费用为元，应付给汽车出租公司的月费用为元，分别与之间的函数关系图象（两条射线）如图所示，观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内，租国营公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2 300km，那么这个单位租哪家车合算？
答案：由图象可知：（1）每月行驶的路程小于1 500km时，租国营公司的汽车合算．
（2）每月行驶的路程为1500km时，租两家车的费用相同．
（3）如果每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租个体车主的车合算．
9、某移动通讯公司开设两种业务．“全球通”：先缴50元月租费，然后每通话1跳次，再付0.4元；“神州行”：不缴月租费，每通话1跳次，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话）．若设一个月内通话跳次，两种方式的费用分别为元和元．
（跳次：1min为1跳次，不足1min按1跳次计算，如3.2min为4跳次．）
（1）写出与之间的函数关系式．
（2）一个月内通话多少跳次时，两种费用相同？一个月内通话多少跳次时，一种费用大于另一种费用？
（3）某人估计一个月内通话300跳次，选择哪一种合算？
答案：（1）．（为正整数）．
（2）当时，两种费用相同；当时，“全球通”的费用少于“神州行”的费用；当时，“全球通”的费用大于“神州行”的费用．
（3）应选择“全球通”合算．
1
2
3
4
5
6
7
8
20
40
60
80
100
120
140
160
y/km
x/h
O
1
2
3
4
5
6
7
8
20
40
60
80
100
120
140
160
y/km
x/h
O
轮船
快艇
0
500
1 500
2 500
1 000
2 000
3 000学法指导
在归纳总结一元一次不等式的解法时要理解每一步骤的知识依据，而不必死记硬背。
例如，解一元一次不等式大致要分五个步骤进行，每一步的依据如下：
（1）去分母（根据不等式性质2或3）。
（2）去括号（根据整式运算法则）。
（3）移项（根据不等式性质1）。
（4）合并同类项（根据整式运算法则）。
（5）系数化1（根据不等式性质2或3）。
本节除了要学会解简单一元一次不等式外，还应该理解一元一次不等式的概念。 例如：
1、下列不等式中是一元一次不等式的有____________。
(1)3x＞-9
(2)3(x+2)-4x＜x-3
(3)
(4)
2。给你的同桌出一道一元一次不等式的题目,求出解集,并把解集表示在数轴上。