8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3） 课件(共39张PPT)
文档属性
| 名称 | 8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3） 课件(共39张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-20 16:11:20 | ||
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文档简介
2021年春人教版七年级（下）数学
第八章 二元一次方程组
学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.
进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程.
学习目标
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
温故知新
生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？
新课导入
例1:如图,长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5 元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
·
长青化工厂
公路10千米
例题讲解
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关. 因此，我们必须知道产品数量和原料数量．
销售款
原料费
运输费（公路和铁路）
产品数量
原料数量
要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”由此我们必须知道什么？
本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．
产品 x 吨
原料 y 吨
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
8000x
1000y
你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
产品 x 吨
原料 y 吨
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
8000x
1000y
解：化简方程组，得 2????+????=1000,①11????+12????=8100.②
由①，得 y=1000-2x，③
把③代入②，得 11x+12(1000-2x)=8100，解得 x=300，
把 x=300 代入③，得 y=1000-2×300，解得 y=400.
所以这个方程组的解是 ????=300,????=400.
?
销售款：8000×300=2400000；
原料费：1000×400=400000；
运输费：15000+97200=112200．
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
这个实际问题的答案是什么？
在什么情况下考虑选择设间接未知数？
当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数．
总结提升
实际问题
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
消元
检验
总结提升
一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表(两次两种货车都满载)：
第一次
第二次
甲种货车的车辆数（辆）
2
5
乙种货车的车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？
针对练习
解:设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x吨、y吨，
解得
x=4，
y=2.5.
2x+ 3y=15.5，
5x+ 6y=35.
第一次
第二次
甲种货车的车辆数（辆）
2
5
乙种货车的车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
总运费为：
30×(3x+ 5y)=30×(3×4+ 5×2.5)=735(元).
例2：某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金/万元
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种植,且资金正好够用？
例题讲解
作物品种
种植面积/公顷
需要人数
投入资金/万元
蔬菜
x
5x
1.5x
荞麦
y
4y
y
合计
-----
18
5
将题中出现的量在表格中呈现
解：设蔬菜种植x 公顷,荞麦种植y 公顷
根据题意可列出方程组：
解方程组，得：
故，承包田地的面积为： x+y=4 公顷
人员安排为为：
5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人)
答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.
北京和上海都有某种仪器可供外地使用,其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示.有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用.
运费表
单位：（元
/
台）
终点
起点
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
针对练习
解:设从北京运往武汉x台，则运往重庆(10-x)台，
设从上海运往武汉y台，则运往重庆(4-y)台，
解方程组得
x=4，
y=2.
x+ y=6，
400x+ 300y+800(10-x)+ 500(4-y)=8000.
运费表
单位：（元
/
台）
终点
起点
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
答:从北京运往武汉4台，运往重庆6台，从上海运往武汉2台，运往重庆2台.
例3：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
分析： 将题中出现的量在表格中呈现
产品类型
所需人数
生产总量
螺钉
x
螺母
y
螺母总产量是螺钉的2倍
人数和为22人
1200x
2000y
例题讲解
解：设生产螺钉的x人，生产螺母的y人.
依题意，可列方程组：
解方程组，得
答：设生产螺钉的10人，生产螺母的12人.
解决配套问题要弄清：
（1）每套产品中各部分的比例；
（2）生产各部分的工人数之和=工人总数.
一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套?
解：设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人y人，根据题意列出方程组得
解得
答：生产圆形铁片的工人24人，生产长方形铁片的工人18人.
针对练习
1.李三水果店在批发市场用 2220 元购进甲、乙两种水果共 100 千克进行零售．已知甲种水果购进价为 15 元/千克，零售价为 20 元/千克，乙种水果购进价为 24 元/千克，零售价为 33 元/千克．该水果店销售这两种水果获得的毛利润是多少元？(毛利润=销售金额-进货金额)
课堂练习
解：设该水果店购进 x 千克甲种水果，y 千克乙种水果，
依题意，得 ????+????=100,15????+24????=2220.
解这个方程组，得 ????=20,????=80.
∴ 20x+33y-2220=20×20+33×80-2220=820.
答：该水果店销售这两种水果获得的毛利润是 820 元.
?
2.今年洛阳牡丹文化节期间龙门石窟旅游景点共接待游客 92.4 万人，和去年同时期相比，游客总数增加了 10%，其中省外游客增加了 14%，省内游客增加了8%.若省外游客每位门票均价约为 100 元，省内游客每位门票均价约为 80 元，则今年文化节期间该景点的门票收入大约是多少万元？
解：设该景点去年牡丹文化节期间接待的省外游客为 x 万人，省内游客为 y 万人，
根据题意，得 ????+????×(1+10%)=92.4,1+14%????+1+8%????=92.4.
解得 ????=28,????=56.
今年文化节期间该景点的门票收入大约是
28×(1+14%)×100+56×(1+8%)×80=8030.4(万元).
答：今年文化节期间该景点的门票收入大约是 8030.4万元.
?
3.有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和个位数字组成的两位数(原个位数字仍作为个位数字)小 3，求原三位数.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成的两位数为 y.
根据题意，得 10????+????=100????+?????45,9????=?????3.
解这个方程组，得 ????=4,????=39.
所以原三位数为 4×100+39=439.
答：原三位数为 439.
?
4.某商场计划用 40000 元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求.已知该厂家生产三种型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部 1200 元，乙型号手机每部 400 元，丙型号手机每部 800 元.
(1)若全部资金只用来购进其中两种型号的手机，共 40 部，则商场共有哪几种进货方案？
解：(1)①若购进甲、乙两种型号的手机，设购进甲型号手机 x1 部，乙型号手机 y1 部.
根据题意，得 ????1+????1=40,1200????1+400????1=40000.
解得 ????1=30,????1=10.
?
②若购进甲、丙两种型号的手机，设购进甲型号手机 x2 部，丙型号手机 y2 部.
根据题意，得 ????2+????2=40,1200????2+800????2=40000.
解得 ????2=20,????2=20.
?
③若购进乙、丙两种型号的手机，设购进乙型号手机 x3 部，丙型号手机 y3 部.
根据题意，得 ????3+????3=40,400????3+800????3=40000.
解得 ????3=?20,????3=60.
因为 x3 表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况应舍去.
?
综上所述，商场共有两种进货方案.
方案一：购进甲型号手机 30 部，乙型号手机 10 部；
方案二：购进甲型号手机 20 部，丙型号手机 20 部.
(2)商场每销售一部甲型号手机可获利 120 元，每销售一部乙型号手机可获利 80 元，每销售一部丙型号手机可获利 120 元，在(1)的条件下，为使销售时获利最大，商场应选择哪种进货方案？
解：(2)方案一获利：120×30+80×10=4400(元)；
方案二获利： 120×20+120×20=4800(元).
所以方案二获利较多，
所以商场应购进甲型号手机 20 部，丙型号手机20部.
5.据统计，某市今年五月份外来与外出旅游的总人数为 226 万人，分别比去年同期增长 30% 和 20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多 20 万人.分别求出该市今年五月份外来和外出旅游的人数.
解：设去年五月份外来旅游的人数为 x 万人，外出旅游的人数为 y 万人.
由题意得 ?????????=20,1+30%????+1+20%????=226.
解这个方程组，得 ????=100,????=80.
所以(1+30%)x=130，(1+20%)y=96.
答：该市今年五月份外来和外出旅游的人数分别是 130 万人和 96 万人.
?
6.小丽购买学习用品的收据如下表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：
(1)小丽购买自动铅笔、记号笔各几支？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}商品名
单价/元
数量/个
金额/元
签字笔
3
2
6
自动铅笔
1.5
记号笔
4
软皮笔记本
2
9
圆规
3.5
1
合计
8
28
解：(1)设小丽购买自动铅笔 x 支、记号笔 y 支.
根据题意，得 ????+????=8?(2+2+1),1.5????+4????=28?(6+9+3.5).
解这个方程组，得 ????=1,????=2.
答：小丽购买自动铅笔 1 支、记号笔 2 支.
?
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费 15 元，则有哪几种不同的购买方案？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}商品名
单价/元
数量/个
金额/元
签字笔
3
2
6
自动铅笔
1.5
记号笔
4
软皮笔记本
2
9
圆规
3.5
1
合计
8
28
解：(2)设小丽购买软皮笔记本 m 本、自动铅笔 n 支.
根据题意，得 92????+1.5????=15.
∵ m，n 为正整数，
∴ ????=1,????=7 或 ????=2,????=4 或 ????=3,????=1.
∴ 共有三种方案.
方案一：1 本软皮笔记本与 7 支自动铅笔；
方案二：2 本软皮笔记本与 4 支自动铅笔；
方案三：3 本软皮笔记本与 1 支自动铅笔.
?
实际问题
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
消元
检验
课堂小结
第八章 二元一次方程组
学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.
进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程.
学习目标
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
温故知新
生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？
新课导入
例1:如图,长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5 元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
·
长青化工厂
公路10千米
例题讲解
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关. 因此，我们必须知道产品数量和原料数量．
销售款
原料费
运输费（公路和铁路）
产品数量
原料数量
要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”由此我们必须知道什么？
本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．
产品 x 吨
原料 y 吨
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
8000x
1000y
你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
产品 x 吨
原料 y 吨
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
8000x
1000y
解：化简方程组，得 2????+????=1000,①11????+12????=8100.②
由①，得 y=1000-2x，③
把③代入②，得 11x+12(1000-2x)=8100，解得 x=300，
把 x=300 代入③，得 y=1000-2×300，解得 y=400.
所以这个方程组的解是 ????=300,????=400.
?
销售款：8000×300=2400000；
原料费：1000×400=400000；
运输费：15000+97200=112200．
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
这个实际问题的答案是什么？
在什么情况下考虑选择设间接未知数？
当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数．
总结提升
实际问题
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
消元
检验
总结提升
一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表(两次两种货车都满载)：
第一次
第二次
甲种货车的车辆数（辆）
2
5
乙种货车的车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？
针对练习
解:设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x吨、y吨，
解得
x=4，
y=2.5.
2x+ 3y=15.5，
5x+ 6y=35.
第一次
第二次
甲种货车的车辆数（辆）
2
5
乙种货车的车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
总运费为：
30×(3x+ 5y)=30×(3×4+ 5×2.5)=735(元).
例2：某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金/万元
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种植,且资金正好够用？
例题讲解
作物品种
种植面积/公顷
需要人数
投入资金/万元
蔬菜
x
5x
1.5x
荞麦
y
4y
y
合计
-----
18
5
将题中出现的量在表格中呈现
解：设蔬菜种植x 公顷,荞麦种植y 公顷
根据题意可列出方程组：
解方程组，得：
故，承包田地的面积为： x+y=4 公顷
人员安排为为：
5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人)
答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.
北京和上海都有某种仪器可供外地使用,其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示.有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用.
运费表
单位：（元
/
台）
终点
起点
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
针对练习
解:设从北京运往武汉x台，则运往重庆(10-x)台，
设从上海运往武汉y台，则运往重庆(4-y)台，
解方程组得
x=4，
y=2.
x+ y=6，
400x+ 300y+800(10-x)+ 500(4-y)=8000.
运费表
单位：（元
/
台）
终点
起点
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
答:从北京运往武汉4台，运往重庆6台，从上海运往武汉2台，运往重庆2台.
例3：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
分析： 将题中出现的量在表格中呈现
产品类型
所需人数
生产总量
螺钉
x
螺母
y
螺母总产量是螺钉的2倍
人数和为22人
1200x
2000y
例题讲解
解：设生产螺钉的x人，生产螺母的y人.
依题意，可列方程组：
解方程组，得
答：设生产螺钉的10人，生产螺母的12人.
解决配套问题要弄清：
（1）每套产品中各部分的比例；
（2）生产各部分的工人数之和=工人总数.
一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套?
解：设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人y人，根据题意列出方程组得
解得
答：生产圆形铁片的工人24人，生产长方形铁片的工人18人.
针对练习
1.李三水果店在批发市场用 2220 元购进甲、乙两种水果共 100 千克进行零售．已知甲种水果购进价为 15 元/千克，零售价为 20 元/千克，乙种水果购进价为 24 元/千克，零售价为 33 元/千克．该水果店销售这两种水果获得的毛利润是多少元？(毛利润=销售金额-进货金额)
课堂练习
解：设该水果店购进 x 千克甲种水果，y 千克乙种水果，
依题意，得 ????+????=100,15????+24????=2220.
解这个方程组，得 ????=20,????=80.
∴ 20x+33y-2220=20×20+33×80-2220=820.
答：该水果店销售这两种水果获得的毛利润是 820 元.
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2.今年洛阳牡丹文化节期间龙门石窟旅游景点共接待游客 92.4 万人，和去年同时期相比，游客总数增加了 10%，其中省外游客增加了 14%，省内游客增加了8%.若省外游客每位门票均价约为 100 元，省内游客每位门票均价约为 80 元，则今年文化节期间该景点的门票收入大约是多少万元？
解：设该景点去年牡丹文化节期间接待的省外游客为 x 万人，省内游客为 y 万人，
根据题意，得 ????+????×(1+10%)=92.4,1+14%????+1+8%????=92.4.
解得 ????=28,????=56.
今年文化节期间该景点的门票收入大约是
28×(1+14%)×100+56×(1+8%)×80=8030.4(万元).
答：今年文化节期间该景点的门票收入大约是 8030.4万元.
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3.有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和个位数字组成的两位数(原个位数字仍作为个位数字)小 3，求原三位数.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成的两位数为 y.
根据题意，得 10????+????=100????+?????45,9????=?????3.
解这个方程组，得 ????=4,????=39.
所以原三位数为 4×100+39=439.
答：原三位数为 439.
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4.某商场计划用 40000 元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求.已知该厂家生产三种型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部 1200 元，乙型号手机每部 400 元，丙型号手机每部 800 元.
(1)若全部资金只用来购进其中两种型号的手机，共 40 部，则商场共有哪几种进货方案？
解：(1)①若购进甲、乙两种型号的手机，设购进甲型号手机 x1 部，乙型号手机 y1 部.
根据题意，得 ????1+????1=40,1200????1+400????1=40000.
解得 ????1=30,????1=10.
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②若购进甲、丙两种型号的手机，设购进甲型号手机 x2 部，丙型号手机 y2 部.
根据题意，得 ????2+????2=40,1200????2+800????2=40000.
解得 ????2=20,????2=20.
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③若购进乙、丙两种型号的手机，设购进乙型号手机 x3 部，丙型号手机 y3 部.
根据题意，得 ????3+????3=40,400????3+800????3=40000.
解得 ????3=?20,????3=60.
因为 x3 表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况应舍去.
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综上所述，商场共有两种进货方案.
方案一：购进甲型号手机 30 部，乙型号手机 10 部；
方案二：购进甲型号手机 20 部，丙型号手机 20 部.
(2)商场每销售一部甲型号手机可获利 120 元，每销售一部乙型号手机可获利 80 元，每销售一部丙型号手机可获利 120 元，在(1)的条件下，为使销售时获利最大，商场应选择哪种进货方案？
解：(2)方案一获利：120×30+80×10=4400(元)；
方案二获利： 120×20+120×20=4800(元).
所以方案二获利较多，
所以商场应购进甲型号手机 20 部，丙型号手机20部.
5.据统计，某市今年五月份外来与外出旅游的总人数为 226 万人，分别比去年同期增长 30% 和 20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多 20 万人.分别求出该市今年五月份外来和外出旅游的人数.
解：设去年五月份外来旅游的人数为 x 万人，外出旅游的人数为 y 万人.
由题意得 ?????????=20,1+30%????+1+20%????=226.
解这个方程组，得 ????=100,????=80.
所以(1+30%)x=130，(1+20%)y=96.
答：该市今年五月份外来和外出旅游的人数分别是 130 万人和 96 万人.
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6.小丽购买学习用品的收据如下表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：
(1)小丽购买自动铅笔、记号笔各几支？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}商品名
单价/元
数量/个
金额/元
签字笔
3
2
6
自动铅笔
1.5
记号笔
4
软皮笔记本
2
9
圆规
3.5
1
合计
8
28
解：(1)设小丽购买自动铅笔 x 支、记号笔 y 支.
根据题意，得 ????+????=8?(2+2+1),1.5????+4????=28?(6+9+3.5).
解这个方程组，得 ????=1,????=2.
答：小丽购买自动铅笔 1 支、记号笔 2 支.
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(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费 15 元，则有哪几种不同的购买方案？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}商品名
单价/元
数量/个
金额/元
签字笔
3
2
6
自动铅笔
1.5
记号笔
4
软皮笔记本
2
9
圆规
3.5
1
合计
8
28
解：(2)设小丽购买软皮笔记本 m 本、自动铅笔 n 支.
根据题意，得 92????+1.5????=15.
∵ m，n 为正整数，
∴ ????=1,????=7 或 ????=2,????=4 或 ????=3,????=1.
∴ 共有三种方案.
方案一：1 本软皮笔记本与 7 支自动铅笔；
方案二：2 本软皮笔记本与 4 支自动铅笔；
方案三：3 本软皮笔记本与 1 支自动铅笔.
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实际问题
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
消元
检验
课堂小结